유리방정식Rational Equations

교차 곱(LCD 곱과 같다): $3(x + 2) = 5x \Rightarrow 6 = 2x \Rightarrow x = 3$.

검사: 분모 $3 \ne 0$, $5 \ne 0$ ✓ — 유효한 해다.

Cross-multiply (same as the LCD): $3(x + 2) = 5x \Rightarrow x = 3$.

Check: denominators $3 \ne 0$ and $5 \ne 0$ ✓ — a valid solution.

$x - 3$을 곱하면 $2 = 5(x - 3) \Rightarrow 5x = 17 \Rightarrow x = \dfrac{17}5$.

검사: $x - 3 = \dfrac25 \ne 0$ ✓. 대입하면 $2 \div \frac25 = 5$ ✓.

Multiply by $x - 3$: $2 = 5(x - 3) \Rightarrow x = \dfrac{17}5$.

Check: $x - 3 = \dfrac25 \ne 0$ ✓, and $2 \div \frac25 = 5$ ✓.

좌변을 통분하면 $\dfrac{2 + 1}{2x} = \dfrac{3}{2x}$:

검사: $x \ne 0$ ✓. 대입: $2 + 1 = 3$ ✓.

Combine the left side: $\dfrac{2 + 1}{2x} = \dfrac{3}{2x}$:

Check: $x \ne 0$ ✓, and substituting gives $2 + 1 = 3$ ✓.

$x - 2$를 곱하면

검사: $x = 2$는 분모를 $0$으로 만든다 — 무연근이다. 다른 후보가 없으므로 해가 없다.

절차가 해를 내놓았는데 답은 "없음" — 검사가 결론을 뒤집는 표본이고, 유리방정식에서 검사가 풀이의 일부인 이유다.

Multiplying by $x - 2$:

Check: $x = 2$ zeroes the denominators — extraneous. With no other candidate, no solution.

The procedure produced a value, yet the answer is "none" — the specimen of a check overturning the conclusion, and why checking is part of the solution.

$x$를 곱하면 $x^2 + 6 = 5x$:

검사: 둘 다 $0$이 아니다 ✓. 대입 — $2 + 3 = 5$ ✓, $3 + 2 = 5$ ✓.

"수와 그 역수 배"가 더해진 방정식은 이차로 승격된다 — 두 해가 곱 $6$, 합 $5$인 쌍인 것은 근과 계수 그대로다.

Multiply by $x$: $x^2 + 6 = 5x$:

Check: neither is $0$ ✓; substituting, $2 + 3 = 5$ ✓ and $3 + 2 = 5$ ✓.

An equation adding a number to a multiple of its reciprocal promotes to a quadratic — and the pair with product $6$, sum $5$ is Vieta on display.

등식의 양변에 $0$이 아닌 수를 곱하는 것은 가역적이다(같은 수로 다시 나눌 수 있다) — 해집합이 보존된다.

그러나 LCD는 수가 아니라 식이다 — 어떤 $x$에서는 $0$이 된다. 그 $x$에서는 "양변 $\times 0$"이 일어난 셈이고, $0 = 0$은 원래 등식이 성립하든 말든 참이다 — 성립하지 않던 값이 곱한 뒤의 방정식에서는 해 행세를 할 수 있다.

그래서 가짜가 숨어들 수 있는 자리는 정확히 LCD가 $0$이 되는 값, 곧 분모의 근뿐이다 — 검사가 "모든 해 재대입"이 아니라 "분모 $0$ 여부 확인"만으로 충분한 이유다. (해를 잃는 일은 없다 — 곱하기는 해를 보태면 보탰지 지우지 않는다.)

채점 기준 (논리가 맞는 다른 설명도 만점)

• $0$ 아닌 곱 = 가역, 식 곱 = $0$ 가능성 (1점)
• $0 = 0$ 현상으로 가짜 해 설명 (1점)
• 용의자 = 분모의 근 결론 (1점)

Multiplying both sides by a nonzero number is reversible (divide back) — the solution set is preserved.

But the LCD is an expression, not a number — at some $x$ it equals $0$. There, "both sides $\times 0$" has occurred, and $0 = 0$ holds whether or not the original did — a value that failed the original can masquerade as a solution of the multiplied equation.

So the only hiding places for fakes are exactly the values zeroing the LCD — the denominators' roots. That is why the check need not re-substitute everything: confirming "no denominator hits $0$" suffices. (No solutions are ever lost — multiplication can add pretenders, never erase truths.)

Rubric (any logically correct explanation earns full credit)

• Nonzero multiplication reversible; expression may be $0$ (1 pt)
• The $0 = 0$ phenomenon creating fakes (1 pt)
• Suspects $=$ denominator roots (1 pt)

일률이 더해진다:

검산 — $2$시간 동안 A는 $\frac26 = \frac13$, B는 $\frac23$을 해서 합이 $1$(일 전체) ✓. 빠른 쪽($3$시간)보다도 빨라지는 것이 협업의 산수다.

Rates add:

Check — in $2$ hours A does $\frac26 = \frac13$ and B does $\frac23$: total $1$ (the whole job) ✓. Faster even than the faster worker's $3$ hours — the arithmetic of collaboration.

배수는 음의 일률이다:

검산: $12$시간 동안 급수 $3$수조 분량, 배수 $2$수조 분량 — 알짜 $1$수조 ✓. 반대 방향의 일률은 빼면 된다 — 부호 하나가 채움과 비움을 가른다.

Draining is a negative rate:

Check: in $12$ hours the supply delivers $3$ tankfuls, the drain removes $2$ — net $1$ ✓. Opposing rates subtract — one sign separates filling from emptying.

LCD $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$을 곱하면

검사: $5 \ne \pm 3$ ✓. 대입 — 좌변 $\frac12 + \frac18 = \frac58$, 우변 $\frac{10}{16} = \frac58$ ✓.

우변 분모가 좌변 분모들의 곱이라는 구조를 읽으면 통분이 한 줄로 끝난다.

Multiply by the LCD $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$:

Check: $5 \ne \pm 3$ ✓; substituting, left $\frac12 + \frac18 = \frac58$, right $\frac{10}{16} = \frac58$ ✓.

Spot that the right denominator is the product of the left ones, and the clearing takes one line.

$x - 1$을 곱하면

검사: $x = 1$은 분모 $0$ — 무연근. $x = 2$: 좌변 $\frac{4}{1} = 4$, 우변 $\frac21 + 2 = 4$ ✓.

이차에서 나온 후보 둘 중 하나가 탈락 — 무연근이 규칙적으로 출몰하는 전형적 구조($x - 1$ 인수가 방정식 자체에 심겨 있다)다.

Multiplying by $x - 1$:

Check: $x = 1$ zeroes denominators — extraneous. $x = 2$: left $\frac41 = 4$, right $\frac21 + 2 = 4$ ✓.

One of the quadratic's two candidates falls — the archetype where extraneous roots appear on schedule (the factor $x - 1$ is planted in the equation itself).

A의 시간을 $t$로 놓으면 B는 $t + 5$ — 일률 방정식을 세워라.

Let A's time be $t$, so B's is $t + 5$ — set up the rate equation.

A의 시간을 $t$, B는 $t + 5$:

$6t(t+5)$를 곱하면

시간은 양수 — $t = 10$: A $10$시간, B $15$시간.

검산: $\frac1{10} + \frac1{15} = \frac{3 + 2}{30} = \frac16$ ✓. 음의 근 $-3$은 상황 정의역이 걸러낸다 — 모델링 문제의 마지막 관문은 언제나 "답이 상황에 맞는가"다.

With A's time $t$ and B's $t + 5$:

Multiplying by $6t(t+5)$:

Time is positive — $t = 10$: A takes $10$ hours, B $15$.

Check: $\frac1{10} + \frac1{15} = \frac{5}{30} = \frac16$ ✓. The negative root $-3$ is filtered by the situation's domain — a modeling problem's final gate is always "does the answer fit the story?"

(1) 분모가 같으니 분자 비교 — $x = 2$. 그런데 $2$는 정의역 밖: 무연근. 해 없음.

(2) $x - 2$를 곱하면 $x = 2 + (x - 2)$, 곧 $0 = 0$ — 항등식이다. 정의역 안의 모든 $x$, 곧 $x \ne 2$인 모든 실수가 해다.

한 끗 차이($+1$)로 "아무도 아님"과 "거의 전부"가 갈렸다. (2)를 확인하면: $\dfrac{x}{x-2} - \dfrac{2}{x-2} = \dfrac{x-2}{x-2} = 1$ — 좌변이 애초에 $1$과 같은 식(단, $x \ne 2$)이었던 것이다. 방정식의 해집합은 "몇 개"가 아니라 공집합부터 거의 전체까지 어떤 것이든 될 수 있다 — 풀이 절차보다 해집합 개념이 앞선다는 교훈이다.

(1) Equal denominators, compare numerators — $x = 2$. But $2$ is outside the domain: extraneous. No solution.

(2) Multiplying by $x - 2$: $x = 2 + (x - 2)$, i.e. $0 = 0$ — an identity. Every $x$ in the domain solves it: all reals except $2$.

One nudge ($+1$) split "nobody" from "almost everybody." Verify (2): $\dfrac{x}{x-2} - \dfrac{2}{x-2} = \dfrac{x-2}{x-2} = 1$ — the left side was the constant $1$ all along (for $x \ne 2$). A solution set can be anything from empty to nearly everything — the concept of solution sets outranks any solving procedure.

$\dfrac1x$과 $\dfrac1y$를 새 문자로 치환하면 일차 연립이 된다.

Substitute new letters for $\dfrac1x$ and $\dfrac1y$ — the system turns linear.

$u = \dfrac1x$, $v = \dfrac1y$로 치환하면 일차 연립:

더하면 $2u = 1 \Rightarrow u = \dfrac12$, 빼면 $2v = \dfrac46 \Rightarrow v = \dfrac13$:

검산: $\frac12 + \frac13 = \frac56$ ✓, $\frac12 - \frac13 = \frac16$ ✓.

역수를 통째로 새 문자로 — 치환이 유리 연립을 일차 연립으로 강등시켰다. "복잡한 덩어리에 이름 붙이기"는 복이차·연분수에 이어 세 번째 출근이고, 이 과정 내내 다시 나온다.

With $u = \dfrac1x$, $v = \dfrac1y$, the system is linear:

Adding: $u = \dfrac12$; subtracting: $v = \dfrac13$:

Check: $\frac12 + \frac13 = \frac56$ ✓, $\frac12 - \frac13 = \frac16$ ✓.

Naming the reciprocals demoted a rational system to a linear one — "name the messy block," clocking in for its third shift after biquadratics and continued fractions, with more shifts ahead all course long.