그래프의 평행이동과 반사Shifting & Reflecting Graphs

(1) 바깥 $-4$: 출력이 줄어든다 — 아래로 $4$.

(2) 안쪽 $+5$: $f(x+5) = f(x - (-5))$ — 왼쪽으로 $5$. 안쪽 부호는 반대로 읽는다.

(3) 출력의 부호 반전 — $x$축 반사.

(1) Outside $-4$: outputs drop — down $4$.

(2) Inside $+5$: $f(x+5) = f(x - (-5))$ — left $5$. Inside signs read backwards.

(3) Output signs flip — $x$-axis reflection.

오른쪽 $4$는 안쪽 $-4$, 아래 $1$은 바깥 $-1$:

꼭짓점은 $(0, 0)$에서 이동을 따라 $(4, -1)$로. 검산: $x = 4$에서 $y = -1$ ✓, 좌우 한 칸씩($x = 3, 5$)에서 $y = 0$ ✓.

Right $4$ is inside $-4$; down $1$ is outside $-1$:

The corner follows the shift from $(0, 0)$ to $(4, -1)$. Check: $y = -1$ at $x = 4$ ✓, and $y = 0$ one step either side ($x = 3, 5$) ✓.

(1) 오른쪽 $2$, 위 $4$: $(3 + 2, 5 + 4) = (5, 9)$.

(2) 아래로 $6$: $(3, 5 - 6) = (3, -1)$.

그래프 전체가 옮겨 가므로 점 하나하나가 같은 걸음을 걷는다 — 변환 단원의 평행이동 그대로다.

(1) Right $2$, up $4$: $(3 + 2, 5 + 4) = (5, 9)$.

(2) Down $6$: $(3, 5 - 6) = (3, -1)$.

The whole graph relocates, so every point takes the same step — the transformation unit's translation, verbatim.

(1) 출력 부호 반전: $(2, 7)$.

(2) 입력 부호 반전: $(-2, -7)$.

(3) 둘 다: $(-2, 7)$ — 원점 대칭($180°$ 회전)이다.

두 반사의 합성이 점대칭이 되는 것은 기하 변환 단원의 "축 반사 두 번 $=$ $180°$ 회전" 그대로다 — 거울선이 두 좌표축인 경우다.

(1) Output sign flips: $(2, 7)$.

(2) Input sign flips: $(-2, -7)$.

(3) Both: $(-2, 7)$ — point symmetry ($180°$ rotation).

Two reflections composing into a point symmetry is the geometry unit's "two axis reflections $=$ $180°$ rotation," with the coordinate axes as mirrors.

(1) $f(-x) = x^4 - 3x^2 = f(x)$ — 짝(지수가 전부 짝수).

(2) $g(-x) = -x^3 + x = -(x^3 - x) = -g(x)$ — 홀(지수가 전부 홀수).

(3) $h(-x) = x^2 - x$ — $h(x)$도 $-h(x)$도 아니다: 둘 다 아님(짝수 항과 홀수 항이 섞였다).

다항식이면 지수만 훑어도 결론이 보인다 — 전부 짝수면 짝, 전부 홀수면 홀, 섞이면 둘 다 아님.

(1) $f(-x) = x^4 - 3x^2 = f(x)$ — even (all exponents even).

(2) $g(-x) = -x^3 + x = -(x^3 - x) = -g(x)$ — odd (all exponents odd).

(3) $h(-x) = x^2 - x$ — neither $h(x)$ nor $-h(x)$: neither (even and odd terms mixed).

For polynomials, scanning the exponents already tells: all even — even; all odd — odd; mixed — neither.

식을 읽는 순서대로:

1. 왼쪽 $1$ ($x + 1$): 시작점 $(0, 0) \to (-1, 0)$.
2. $x$축 반사 (앞의 $-$): $(-1, 0)$은 $y = 0$이라 제자리, 곡선은 아래로 뒤집힌다.
3. 위로 $2$ ($+2$): $(-1, 0) \to (-1, 2)$.

결과: $(-1, 2)$에서 시작해 오른쪽 아래로 내려가는 곡선. 검산 — $x = 3$: $y = -\sqrt{4} + 2 = 0$, 점 $(3, 0)$이 곡선 위에 ✓.

Reading the formula:

1. Left $1$ ($x + 1$): endpoint $(0, 0) \to (-1, 0)$.
2. $x$-axis reflection (the leading $-$): $(-1, 0)$ has $y = 0$, so it stays; the curve flips downward.
3. Up $2$ ($+2$): $(-1, 0) \to (-1, 2)$.

Result: a curve starting at $(-1, 2)$ and descending to the right. Check at $x = 3$: $y = -\sqrt{4} + 2 = 0$, so $(3, 0)$ lies on it ✓.

단계대로 식을 쌓는다:

반사가 마지막이므로 $+3$까지 통째로 부호가 바뀐다 — $-(x+2)^2 + 3$이 아니다. 검산: 꼭짓점 $(-2, 3)$이 반사로 $(-2, -3)$에 가야 하는데, $-(x+2)^2 - 3$의 꼭짓점이 정확히 $(-2, -3)$ ✓. 변환의 순서가 식의 모양을 정한다 — 다음 차시의 주제가 예고된 셈이다.

Build the formula step by step:

The reflection comes last, so even the $+3$ flips — it is not $-(x+2)^2 + 3$. Check: the vertex $(-2, 3)$ must reflect to $(-2, -3)$, and $-(x+2)^2 - 3$ has vertex exactly there ✓. The order of transformations shapes the formula — next lesson's theme, foreshadowed.

새 함수 $g(x) = f(x - 3)$이 입력 $x$에서 내놓는 값은, 원래 함수 $f$가 입력 $x - 3$에서 내놓던 값이다. 즉

— 원래 $a$에서 일어나던 모든 사건(최고점, 절편, 꺾임)이 새 그래프에서는 $a + 3$에서 일어난다. 사건의 주소가 일제히 $3$씩 커지는 것 — 그것이 "오른쪽으로 $3$"이다.

한 문장으로: 안쪽의 $-3$은 입력에서 $3$을 미리 깎는 보정이므로, 같은 출력을 받으려면 $3$만큼 더 큰 입력으로 가야 한다. 부호가 "반대로 보이는" 것은 규칙이 출력이 아니라 입력을 손대기 때문이다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 설명도 만점)

• $g(x) = f(x-3)$의 값 대응($g(a+3) = f(a)$ 꼴) (1점)
• "사건의 주소가 $+3$"로 번역 (1점)
• 안쪽 부호가 입력 보정임을 결론 (1점)

The new function $g(x) = f(x - 3)$ outputs, at input $x$, what the original $f$ produced at input $x - 3$. That is,

— every event of the original at $a$ (a peak, an intercept, a corner) happens on the new graph at $a + 3$. Every event's address grows by $3$ — and that is "right by $3$."

In one sentence: the inside $-3$ pre-deducts $3$ from the input, so receiving the same output requires an input $3$ larger. The sign only "looks backwards" because the rule edits the input, not the output.

Rubric (any logically correct explanation earns full credit)

• The value correspondence $g(a+3) = f(a)$ (1 pt)
• Translating to "event addresses shift $+3$" (1 pt)
• Concluding the inside sign is an input correction (1 pt)

꼭짓점꼴로 고쳐라 — 완전제곱.

Convert to vertex form — complete the square.

완전제곱으로:

$x + 3 = x - (-3)$이므로 왼쪽 $3$, 바깥 $+2$로 위 $2$.

검산: 꼭짓점 $(-3, 2)$ — 대입하면 $9 - 18 + 11 = 2$ ✓. 전개된 식 뒤에 숨은 이동을 완전제곱이 드러낸다 — 다음 단원의 이차함수 심화에서 이 왕복이 주 무기가 된다.

Complete the square:

Since $x + 3 = x - (-3)$: left $3$; the outside $+2$: up $2$.

Check: the vertex $(-3, 2)$ — substituting gives $9 - 18 + 11 = 2$ ✓. Completing the square exposes the shift hiding inside an expanded formula — the round trip that becomes the main weapon of the next unit's quadratics.

(1) $f$, $g$가 짝이면, 합 $s(x) = f(x) + g(x)$에 대해

— 짝함수다. $\blacksquare$

(2) $f$가 짝, $g$가 홀이면, 곱 $p(x) = f(x)\,g(x)$에 대해

— 홀함수다. $\blacksquare$

부호가 곱해지는 구조다 — 짝($+$)과 홀($-$)의 곱셈표를 만들면 홀수·짝수의 덧셈처럼 움직인다: 짝×짝 = 짝, 홀×홀 = 짝, 짝×홀 = 홀. $x^4 \cdot x^3 = x^7$(짝 지수 $+$ 홀 지수 $=$ 홀 지수)이 이 표의 표본이고, "짝·홀"이라는 이름이 우연이 아님을 여기서 알 수 있다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• (1) 정의 대입과 결론 (1점)
• (2) 정의 대입과 부호 처리 (1점)
• 두 증명 모두 "모든 $x$"에 대한 항등임을 명시 (1점)

(1) If $f$, $g$ are even, then for $s(x) = f(x) + g(x)$,

— even. $\blacksquare$

(2) If $f$ is even and $g$ odd, then for $p(x) = f(x)\,g(x)$,

— odd. $\blacksquare$

The signs multiply — tabulate even ($+$) against odd ($-$) and it behaves like parity addition: even×even = even, odd×odd = even, even×odd = odd. The specimen is $x^4 \cdot x^3 = x^7$ (even exponent $+$ odd exponent $=$ odd exponent) — proof that the names "even" and "odd" are no accident.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• (1) substituting the definitions and concluding (1 pt)
• (2) substituting with the sign handled (1 pt)
• Both proofs stated as identities for all $x$ (1 pt)

$(a, b)$가 $y = f(x)$의 그래프 위에 있다고 하자 — 곧 $b = f(a)$다.

원점 중심 $180°$ 회전은 $(a, b)$를 $(-a, -b)$로 보낸다(변환 단원의 규칙 $(x, y) \mapsto (-x, -y)$). 이 점이 그래프 위에 있으려면 $-b = f(-a)$여야 하는데, $f$가 홀함수이므로

— 성립한다. 그러므로 그래프의 모든 점의 $180°$ 회전상이 다시 그래프 위에 있다: 그래프는 원점 대칭이다. $\blacksquare$

(역도 같은 계산을 거꾸로 읽으면 된다 — 그래프가 원점 대칭이면 모든 $a$에서 $f(-a) = -f(a)$.)

"홀함수"라는 대수적 조건과 "$180°$ 회전 대칭"이라는 기하적 성질이 같은 문장임이 확인됐다 — 기하 마지막 단원의 대칭 언어가 함수론의 표준 어휘로 흡수되는 장면이다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• $b = f(a)$ 설정과 회전 규칙 (1점)
• 홀 조건으로 $f(-a) = -b$ 확인 (1점)
• "모든 점"에 대한 결론 (1점)

Suppose $(a, b)$ lies on $y = f(x)$ — that is, $b = f(a)$.

The $180°$ rotation about the origin sends $(a, b)$ to $(-a, -b)$ (the transformation unit's rule $(x, y) \mapsto (-x, -y)$). For that point to lie on the graph we need $-b = f(-a)$ — and since $f$ is odd,

— it holds. So every point's $180°$ image lands back on the graph: the graph is origin-symmetric. $\blacksquare$

(The converse is the same computation read backwards — an origin-symmetric graph forces $f(-a) = -f(a)$ for all $a$.)

The algebraic condition "odd" and the geometric property "$180°$ rotation symmetry" are the same sentence — the symmetry language of geometry's last unit, absorbed into the standard vocabulary of functions.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• Setting $b = f(a)$ and the rotation rule (1 pt)
• The odd condition giving $f(-a) = -b$ (1 pt)
• The conclusion for every point (1 pt)

이동 규칙으로

통분하면

검산 — $x = 2$: 이동 전 $\frac11 = 1$의 점 $(1, 1)$이 $(2, 3)$으로 가야 하는데, $\frac{4 - 1}{2 - 1} = 3$ ✓.

거꾸로 읽으면 더 중요하다 — $\dfrac{2x-1}{x-1}$처럼 생긴 유리함수는 전부 $\frac1x$의 이동이라는 것이 유리함수 단원의 중심 정리가 된다. 이동이 만든 새 "중심" $(1, 2)$가 그 그래프의 점근선 교점이다.

By the shift rule,

and over a common denominator,

Check at $x = 2$: the point $(1, 1)$ (from $\frac11 = 1$) must land at $(2, 3)$, and $\frac{4 - 1}{2 - 1} = 3$ ✓.

Read backwards it matters more — that every rational function shaped like $\dfrac{2x-1}{x-1}$ is a shift of $\frac1x$ becomes the central theorem of the rational functions unit. The shift's new "center" $(1, 2)$ is that graph's asymptote crossing.

$f(1 + t)$와 $f(1 - t)$를 계산해 더해 보라 — 점 $(1, 2)$ 대칭은 "두 값의 평균이 항상 $2$"라는 뜻이다.

Compute $f(1 + t)$ and $f(1 - t)$ and add — symmetry about $(1, 2)$ means "the two values always average $2$."

$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$로 놓고, 대칭 중심 후보 $(1, 2)$의 좌우 같은 거리에서 값을 잰다:

더하면

즉 $(1 + t, f(1+t))$와 $(1 - t, f(1-t))$의 중점이 항상 $(1, 2)$다 — 그래프의 모든 점이 $(1, 2)$에 대한 점대칭 짝을 그래프 안에 갖는다: 곡선은 $(1, 2)$에 대해 점대칭이다. $\blacksquare$

달리 읽으면: 원점을 $(1, 2)$로 옮긴 새 변수에서 $g(t) = f(1+t) - 2 = t^3 - 3t$는 홀함수다 — "홀함수의 이동"이 점대칭의 정체이고, 모든 삼차함수가 이런 대칭 중심(변곡점)을 하나씩 갖는다는 사실이 다항함수 단원에서 재회한다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점 — 이동 후 홀함수 확인 포함)

• $f(1 \pm t)$ 전개 (1점)
• 합 $= 4$ (또는 $g(t)$의 홀성) (1점)
• 중점 논증으로 점대칭 결론 (1점)

Let $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ and measure at equal distances either side of the candidate center $(1, 2)$:

Adding,

So the midpoint of $(1 + t, f(1+t))$ and $(1 - t, f(1-t))$ is always $(1, 2)$ — every point of the graph has its point-symmetric partner about $(1, 2)$ on the graph: the curve is point-symmetric about $(1, 2)$. $\blacksquare$

Another reading: in coordinates recentered at $(1, 2)$, the function $g(t) = f(1+t) - 2 = t^3 - 3t$ is odd — point symmetry unmasked as "a shifted odd function." That every cubic owns one such center (its inflection point) returns in the polynomial unit.

Rubric (any logically correct proof earns full credit — including verifying the shifted function is odd)

• Expanding $f(1 \pm t)$ (1 pt)
• The sum $= 4$ (or the oddness of $g$) (1 pt)
• The midpoint argument concluding point symmetry (1 pt)