포물선과 초점Parabolas & the Focus

$4p = 8 \Rightarrow p = 2$ — 위로 열린 포물선이므로 초점 $(0, 2)$, 준선 $y = -2$.

$4p = 8 \Rightarrow p = 2$ — opening upward, so the focus is $(0, 2)$ and the directrix $y = -2$.

$y^2$형은 좌우로 열린다 — $4p = 12 \Rightarrow p = 3$: 초점 $(3, 0)$, 준선 $x = -3$.

제곱된 변수($y$)의 축이 아닌 $x$축 방향으로 열림에 주의.

The $y^2$-type opens sideways — $4p = 12 \Rightarrow p = 3$: focus $(3, 0)$, directrix $x = -3$.

Note it opens along the $x$-axis — not the squared variable's axis.

$x^2 = y$이므로 $4p = 1 \Rightarrow p = \dfrac14$:

첫 포물선을 그린 날부터 이 두 요소는 늘 그 자리에 있었다 — 정의가 바뀐 것이 아니라 보는 눈이 늘었다.

From $x^2 = y$, $4p = 1 \Rightarrow p = \dfrac14$:

They have sat there since the first parabola was ever drawn — not a new curve, just new eyes.

점 $P(x, y)$의 두 거리를 놓는다:

자취의 조건 $\overline{PF} = d(P, l)$에서 양변이 모두 $0$ 이상이므로 제곱은 동치 변형이다(음수 가지가 없어 무연근이 생길 수 없다 — 무리방정식에서 세운 그 기준):

역도 성립한다 — 위 식들은 전부 동치 변형이므로 $x^2 = 4py$인 점은 모두 등거리 조건을 만족한다: 방정식과 자취가 정확히 같은 집합이다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 두 거리의 식 (1점)
• 제곱의 동치성 근거 (1점)
• 전개·정리와 역방향 언급 (1점)

Write both distances for $P(x, y)$:

In the locus condition $\overline{PF} = d(P, l)$, both sides are nonnegative, so squaring is an equivalent transformation (no negative branch, so no extraneous roots — the criterion built in the radical equations lesson):

The converse holds too — every step was an equivalence, so each point satisfying $x^2 = 4py$ meets the equidistance condition: equation and locus are exactly the same set.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• Both distance expressions (1 pt)
• The justification for squaring (1 pt)
• Expansion and the converse noted (1 pt)

초점이 $x$축 위, 준선이 수직선 — 오른쪽으로 열린 $y^2 = 4px$형이고 $p = 2$:

검산: 점 $(2, 4)$에서 초점까지 $\sqrt{0 + 16} = 4$, 준선까지 $2 + 2 = 4$ ✓ — 등거리.

Focus on the $x$-axis, vertical directrix — the rightward $y^2 = 4px$ type with $p = 2$:

Check: at $(2, 4)$, distance to focus $\sqrt{0 + 16} = 4$ and to directrix $2 + 2 = 4$ ✓ — equidistant.

초점의 높이 $y = p$를 방정식에 넣으면

— 현의 두 끝이 $(\pm 2p, p)$이므로 길이는 $4p$. $\blacksquare$

$x^2 = 8y$는 $4p = 8$ — 통경 $8$.

방정식의 계수 $4p$가 곡선 위의 실제 길이로 나타난다 — 계수를 재는 자가 곡선 자신에 그려져 있는 셈이다. (통경의 반 $2p$는 초점에서 곡선까지의 수평 거리 — 초점 거리 공식 $y_0 + p = p + p = 2p$로도 확인된다 ✓.)

Substitute the focus height $y = p$:

— endpoints $(\pm 2p, p)$, so the length is $4p$. $\blacksquare$

For $x^2 = 8y$: $4p = 8$ — latus rectum $8$.

The coefficient $4p$ appears as an actual length on the curve — the curve carries its own ruler. (Half of it, $2p$, is the horizontal run from focus to curve — confirmed by the focal distance formula $y_0 + p = p + p = 2p$ ✓.)

$4p = 12 \Rightarrow p = 3$. 정의에 의해 초점까지 거리는 준선 $y = -3$까지 거리와 같다:

검산(거리 공식): 초점 $(0, 3)$까지 $\sqrt{36 + 0} = 6$ ✓.

정의 한 줄이 거리 공식을 대신한다 — 좌표 하나 읽고 끝나는 이 지름길이 초점 거리 문제의 표준이다.

$4p = 12 \Rightarrow p = 3$. By definition, the focal distance equals the distance to the directrix $y = -3$:

Check (distance formula): to the focus $(0, 3)$, $\sqrt{36 + 0} = 6$ ✓.

One line of definition replaces the distance formula — read a coordinate, done: the standard shortcut for focal distances.

$y^2 = 4x$ ($p = 1$, 오른쪽 열림)를 왼쪽 $2$, 위로 $1$ 이동한 것 — 변환 문법 그대로다:

• 꼭짓점: $(0,0) \to (-2, 1)$
• 초점: $(1, 0) \to (-1, 1)$
• 준선: $x = -1 \to x = -3$

검산: 꼭짓점에서 초점까지 $1 = p$ ✓, 준선까지도 $1$ ✓ — 이동해도 등거리 구조는 통째로 따라온다.

This is $y^2 = 4x$ ($p = 1$, opening right) shifted left $2$ and up $1$ — the transformation grammar verbatim:

• vertex: $(0,0) \to (-2, 1)$
• focus: $(1, 0) \to (-1, 1)$
• directrix: $x = -1 \to x = -3$

Check: vertex to focus is $1 = p$ ✓, vertex to directrix also $1$ ✓ — shifting carries the whole equidistant structure along.

원점 중심 닮음변환 $(x, y) \mapsto (kx, ky)$가 $x^2 = 4py$를 어디로 보내는가.

Where does the dilation $(x, y) \mapsto (kx, ky)$ send $x^2 = 4py$?

포물선은 꼭짓점을 원점에, 축을 $y$축에 놓으면 $x^2 = 4py$ 꼴이 된다(강체변환은 모양을 안 바꾼다). 그러므로 임의의 $p$, $q > 0$에 대해 $x^2 = 4py$와 $x^2 = 4qy$가 닮음임을 보이면 충분하다.

원점 중심 닮음변환 $(x, y) \mapsto (kx, ky)$를 $x^2 = 4py$의 점 $(x, y)$에 적용하자. 상 $(X, Y) = (kx, ky)$에 대해

$k = \dfrac qp$로 고르면 $kp = q$:

— 상이 정확히 $x^2 = 4qy$다. 닮음변환이 한 포물선을 다른 포물선 위로 옮기므로 둘은 닮음이다. $\blacksquare$

원이 모두 닮음이듯 포물선도 모두 닮음이다 — 포물선의 "모양"은 하나뿐이고, $p$는 크기(축척)만 정한다. 멀리서 본 $y = x^2$과 가까이서 본 $y = 10x^2$이 같은 곡선인 이유다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 표준형으로 환원 (1점)
• 닮음변환의 상 계산 (1점)
• 비율 선택과 결론 (1점)

Any parabola, after moving its vertex to the origin and axis onto the $y$-axis, takes the form $x^2 = 4py$ (rigid motions preserve shape). So it suffices to show $x^2 = 4py$ and $x^2 = 4qy$ similar for arbitrary $p, q > 0$.

Apply the origin-centered dilation $(x, y) \mapsto (kx, ky)$ to a point of $x^2 = 4py$. The image $(X, Y) = (kx, ky)$ satisfies

Choosing $k = \frac qp$ makes $kp = q$:

— the image is exactly $x^2 = 4qy$. A dilation carries one parabola onto the other: they are similar. $\blacksquare$

As all circles are similar, so are all parabolas — there is only one parabolic "shape," and $p$ sets nothing but the scale. This is why $y = x^2$ seen from afar and $y = 10x^2$ seen up close are the same curve.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• Reduction to standard form (1 pt)
• Computing the dilated image (1 pt)
• Choosing the ratio, concluding (1 pt)

초점 거리 = 준선까지 거리 — $y$좌표부터.

Focal distance = distance to directrix — get the $y$-coordinate first.

$p = 2$이므로 초점 거리 공식으로

방정식에 넣으면 $x_0^2 = 8 \cdot 3 = 24 \Rightarrow x_0 = \pm 2\sqrt6$.

검산: 초점 $(0, 2)$에서 $(2\sqrt6, 3)$까지 $\sqrt{24 + 1} = 5$ ✓.

정의로 $y$를 먼저 잡는 순서 — 거리 공식으로 시작하면 이차방정식과 씨름하게 된다.

With $p = 2$, the focal distance formula gives

Substituting: $x_0^2 = 8 \cdot 3 = 24 \Rightarrow x_0 = \pm 2\sqrt6$.

Check: from the focus $(0, 2)$ to $(2\sqrt6, 3)$: $\sqrt{24 + 1} = 5$ ✓.

Definition first, $y$ first — starting from the distance formula means wrestling a quadratic instead.

꼭짓점을 원점에 놓으면 단면은 $x^2 = 4py$이고, 테두리의 점 $(40, 20)$이 곡선 위에 있다:

초점은 꼭짓점에서 $20\,\mathrm{cm}$ — 공교롭게 테두리 평면의 한가운데에 떠 있다(깊이와 $p$가 같아지는 $\text{지름} = 8p$꼴 접시의 특징).

축과 평행하게 들어온 전파가 반사되어 전부 이 한 점에 모인다 — 반사 성질이 수신기의 주소를 정해 준 것이다.

With the vertex at the origin, the cross-section is $x^2 = 4py$, and the rim point $(40, 20)$ lies on it:

The focus floats $20\,\mathrm{cm}$ up — precisely at the center of the rim plane (the signature of dishes with diameter $= 8p$, where depth equals $p$).

Radio waves arriving parallel to the axis all reflect to this one point — the reflection property has fixed the receiver's address.

$\overline{PF}$를 준선까지의 거리로 바꿔라 — 그러면 꺾인 경로가 곧게 펴진다.

Exchange $\overline{PF}$ for the distance to the directrix — the bent path straightens.

$p = 1$, 준선은 $y = -1$. 정의로 $\overline{PF} = d(P, l)$이므로

— "준선까지 내려갔다가 $A$까지 가는" 경로의 길이다. 이 합은 $A$에서 준선까지 수직으로 곧장 내려가는 길이보다 짧을 수 없다:

등호는 $P$가 $A$ 바로 아래, 수직선 $x = 3$ 위에 있을 때 — $9 = 4y \Rightarrow P = \left(3, \frac94\right)$ (실제로 $A$와 준선 사이에 있다 ✓).

검산: $\overline{PF} = \frac94 + 1 = \frac{13}4$, $\overline{PA} = 5 - \frac94 = \frac{11}4$ — 합 $6$ ✓.

초점까지의 거리를 준선까지의 거리로 환전하는 순간 꺾인 경로가 펴진다 — 반사 성질("모든 평행 경로의 길이가 같다")의 계산 버전이자, 이 단원 정의의 가장 아름다운 응용이다.

Here $p = 1$ and the directrix is $y = -1$. By definition $\overline{PF} = d(P, l)$, so

— the length of a route "down to the directrix, then over to $A$." No such route beats the straight vertical drop from $A$ to the directrix:

with equality when $P$ sits directly below $A$ on the line $x = 3$ — $9 = 4y \Rightarrow P = \left(3, \frac94\right)$ (indeed between $A$ and the directrix ✓).

Check: $\overline{PF} = \frac94 + 1 = \frac{13}4$, $\overline{PA} = 5 - \frac94 = \frac{11}4$ — total $6$ ✓.

The moment focal distance is exchanged for directrix distance, the bent path straightens — the computational face of the reflection property ("all parallel routes measure alike"), and the definition's most beautiful application.

최저점(중앙)을 꼭짓점으로 좌표를 놓자: 꼭짓점 $(0, 20)$, 주탑 꼭대기 $(\pm 200, 100)$.

$y = ax^2 + 20$이 $(200, 100)$을 지나므로

$x = 100$에서

검산: $x = 200$에서 $\frac{40000}{500} + 20 = 100$ ✓.

처짐이 중앙 $20$, 중간 지점 $40$, 주탑 $100$ — 거리의 제곱을 따라 자라는 이 곡선이 케이블의 모양이다. (짐을 고르게 실은 케이블이 왜 포물선이 되는지의 역학적 증명은 물리·미적분의 몫 — 여기서는 곡선을 읽는 쪽이다.)

Put the low point (center) at the vertex: vertex $(0, 20)$, tower tops $(\pm 200, 100)$.

$y = ax^2 + 20$ passes through $(200, 100)$:

At $x = 100$:

Check: $x = 200$ gives $\frac{40000}{500} + 20 = 100$ ✓.

Heights $20$, $40$, $100$ at center, midpoint, tower — growth with the square of distance is the cable's shape. (Why a uniformly loaded cable hangs parabolic is mechanics-plus-calculus business — here we read the curve.)