삼각방정식Trigonometric Equations

높이 $\dfrac{\sqrt2}2$인 점은 기준각 $\dfrac\pi4$와 그 $y$축 거울상:

The points at height $\dfrac{\sqrt2}2$: the reference angle $\dfrac\pi4$ and its $y$-axis mirror:

가로 좌표가 $-\dfrac{\sqrt2}2$인 점 — 참조각 $\dfrac\pi4$, 부호는 $x < 0$인 2·3사분면:

두 해가 $x$축 거울 짝($\pm\frac{3\pi}4$과 같은 동경들)임을 확인하라 — $\cos$ 방정식의 대칭이다.

Points with $x$-coordinate $-\dfrac{\sqrt2}2$ — reference angle $\dfrac\pi4$, signs from quadrants II·III where $x < 0$:

Note the two are an $x$-axis mirror pair (the rays of $\pm\frac{3\pi}4$) — cosine's symmetry.

기울기 $\sqrt3$인 동경 — 기준각 $\dfrac\pi3$, 그리고 주기 $\pi$를 더한

같은 직선의 두 반쪽이다 — $\tan$은 반 바퀴마다 반복된다.

The ray of slope $\sqrt3$ — reference angle $\dfrac\pi3$, plus one period $\pi$:

Two halves of one line — tangent repeats every half turn.

$\sin x = \frac12$는 단위원에서 높이 $\frac12$인 점을 찾는다. 수평선은 원과 두 점에서 만난다 — $\frac\pi6$과 그 $y$축 거울 $\frac{5\pi}6$. 서로 거울상일 뿐 어느 쪽도 다른 쪽의 회전으로 얻어지지 않으므로 독립된 두 자리이고, 각 자리는 한 바퀴($2\pi$)마다 반복된다 — 그래서 $2k\pi$ 주기의 두 가족이다.

$\tan x = 1$은 기울기 $1$인 동경을 찾는다. 기울기는 직선의 속성이라 $\frac\pi4$의 동경과 그 반대쪽 연장($\frac{5\pi}4$)이 같은 직선 — 두 자리가 반 바퀴 회전으로 이어져 있다. 그래서 주기가 $\pi$로 줄고, $x = \frac\pi4 + k\pi$ 한 가족에 모두 담긴다.

요컨대 가족 수는 "한 주기 안의 서로 다른 자리 수"다: $\sin$·$\cos$은 주기 $2\pi$에 자리 둘, $\tan$은 주기 $\pi$에 자리 하나.

$\sin x = \frac12$ hunts points of height $\frac12$. The horizontal line meets the circle at two — $\frac\pi6$ and its $y$-axis mirror $\frac{5\pi}6$. Being mirror images, neither is a rotation of the other: two independent seats, each recurring once per lap ($2\pi$) — hence two families with period $2k\pi$.

$\tan x = 1$ hunts the ray of slope $1$. Slope belongs to the whole line, so the ray at $\frac\pi4$ and its opposite extension ($\frac{5\pi}4$) are one line — the two seats connected by a half-turn. The period shrinks to $\pi$, and one family $x = \frac\pi4 + k\pi$ holds everything.

In short, the family count is "distinct seats per period": sine and cosine seat two per $2\pi$; tangent seats one per $\pi$.

$\cos x = -\dfrac12$ — 참조각 $\dfrac\pi3$, 2·3사분면:

검산: $\cos\frac{2\pi}3 = -\frac12$ ✓. 일차 정리 → 단위원 — 삼각방정식의 기본 두 걸음이다.

$\cos x = -\dfrac12$ — reference angle $\dfrac\pi3$, quadrants II·III:

Check: $\cos\frac{2\pi}3 = -\frac12$ ✓. Linear cleanup → unit circle: the two basic steps.

$u = 2x$의 범위는 $[0, 4\pi)$ — 두 바퀴다.

The range of $u = 2x$ is $[0, 4\pi)$ — two laps.

$u = 2x$로 치환하면 $u \in [0, 4\pi)$ — 두 바퀴에서 $\sin u = \dfrac{\sqrt3}2$를 푼다:

$x = \dfrac u2$로 되돌리면

검산: $\sin\frac{7\pi}3 = \sin\frac\pi3 = \frac{\sqrt3}2$ ✓. 주기가 절반($\pi$)이니 $[0, 2\pi)$에 해가 네 개 — $u$의 범위를 안 늘리면 뒤의 둘을 잃는다.

Substituting $u = 2x$ gives $u \in [0, 4\pi)$ — solve $\sin u = \dfrac{\sqrt3}2$ over two laps:

Undo via $x = \dfrac u2$:

Check: $\sin\frac{7\pi}3 = \sin\frac\pi3 = \frac{\sqrt3}2$ ✓. Half the period ($\pi$) means four solutions in $[0, 2\pi)$ — skip the range stretch and the last two vanish.

$s = \sin x$로 치환해 인수분해:

$\sin x = \dfrac12$: $x = \dfrac\pi6, \dfrac{5\pi}6$. $\;\sin x = -1$: $x = \dfrac{3\pi}2$.

검산: $2 \cdot 1 + (-1) - 1 = 0$ ✓($x = \frac{3\pi}2$). 치환 → 이차 인수분해 → 단위원, 그리고 동반 조건 $s \in [-1, 1]$ 확인 — 표준 조립이다.

Substitute $s = \sin x$ and factor:

$\sin x = \dfrac12$: $x = \dfrac\pi6, \dfrac{5\pi}6$. $\;\sin x = -1$: $x = \dfrac{3\pi}2$.

Check: $2 \cdot 1 + (-1) - 1 = 0$ ✓ (at $x = \frac{3\pi}2$). Substitute → factor → unit circle, with the escort condition $s \in [-1, 1]$ — the standard assembly.

경계는 $\cos x = \dfrac12$인 $x = \dfrac\pi3, \dfrac{5\pi}3$. 가로 좌표 $\ge \dfrac12$인 점들은 원의 오른쪽 호 — $x$축을 낀 부분이다:

검산: $\cos 0 = 1 \ge \frac12$ ✓, $\cos\pi = -1 < \frac12$ ✓(제외). $[0, 2\pi)$ 표기 때문에 호가 두 구간으로 갈라졌을 뿐 — $[-\frac\pi3, \frac\pi3]$이라는 한 덩어리 호다.

The boundary is $\cos x = \dfrac12$: $x = \dfrac\pi3, \dfrac{5\pi}3$. Points with $x$-coordinate $\ge \dfrac12$ form the circle's right-side arc, hugging the $x$-axis:

Check: $\cos 0 = 1 \ge \frac12$ ✓; $\cos\pi = -1 < \frac12$ ✓ (excluded). The $[0, 2\pi)$ notation splits it in two, but it is one arc — $[-\frac\pi3, \frac\pi3]$.

$\cos^2$을 피타고라스로 $\sin$의 식으로 바꿔 한 함수로 통일하라.

Trade $\cos^2$ for sine via Pythagoras to unify into one function.

$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$로 교환하고 $s = \sin x$:

$\sin x = \dfrac12$: $x = \dfrac\pi6, \dfrac{5\pi}6$. $\;\sin x = 1$: $x = \dfrac\pi2$.

검산($x = \frac\pi2$): $2 \cdot 0 + 3 - 3 = 0$ ✓. 두 함수가 섞이면 먼저 통일 — 피타고라스 교환이 이 유형의 열쇠다.

Trade $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ and set $s = \sin x$:

$\sin x = \dfrac12$: $x = \dfrac\pi6, \dfrac{5\pi}6$. $\;\sin x = 1$: $x = \dfrac\pi2$.

Check ($x = \frac\pi2$): $2 \cdot 0 + 3 - 3 = 0$ ✓. Mixed functions get unified first — the Pythagorean trade is this type's key.

나눗셈 허가 확인: $\cos x = 0$인 곳($x = \frac\pi2, \frac{3\pi}2$)에서는 $\sin x = \pm1 \ne 0$ — 방정식이 성립하지 않으므로 해가 아니다. 따라서 $\cos x \ne 0$인 곳만 보면 되고, 양변을 $\cos x$로 나눌 수 있다:

검산: $\sin\frac{5\pi}4 = \cos\frac{5\pi}4 = -\frac{\sqrt2}2$ ✓.

기하로는 $y = x$ 선 위의 동경 — 두 좌표가 같은 점들이다. "나누기 전에 $0$ 확인"은 유리방정식부터 이어져 온 각서이고, 여기서는 확인 결과가 "안전"이었을 뿐 절차는 생략할 수 없다.

Division clearance: where $\cos x = 0$ (at $x = \frac\pi2, \frac{3\pi}2$), $\sin x = \pm1 \ne 0$ — the equation fails there, so nothing is lost. On the rest, $\cos x \ne 0$ and we may divide:

Check: $\sin\frac{5\pi}4 = \cos\frac{5\pi}4 = -\frac{\sqrt2}2$ ✓.

Geometrically: rays along the line $y = x$ — points whose coordinates agree. "Check zero before dividing" is the affidavit carried over from rational equations; here the check happened to clear, but the step itself is not optional.

$\sin^2 x \ge \frac12$은 $|\sin x| \ge \frac{\sqrt2}2$ — 높이의 절댓값 조건이다.

$\sin^2 x \ge \frac12$ means $|\sin x| \ge \frac{\sqrt2}2$ — a condition on the height's absolute value.

$\sin^2 x \ge \dfrac12 \iff |\sin x| \ge \dfrac{\sqrt2}2$ — 높이가 $\dfrac{\sqrt2}2$ 위이거나 $-\dfrac{\sqrt2}2$ 아래인 호:

• 위쪽 호: $\dfrac\pi4 \le x \le \dfrac{3\pi}4$
• 아래쪽 호: $\dfrac{5\pi}4 \le x \le \dfrac{7\pi}4$

검산: $x = \dfrac\pi2$에서 $2 - 1 = 1 \ge 0$ ✓, $x = 0$에서 $-1 < 0$ ✓(제외).

절댓값 부등식($|s| \ge k$ = 바깥쪽)의 문법이 단위원의 위아래 두 호로 번역된다 — 대칭 덕에 두 호의 길이가 같다.

$\sin^2 x \ge \dfrac12 \iff |\sin x| \ge \dfrac{\sqrt2}2$ — the arcs where the height sits above $\dfrac{\sqrt2}2$ or below $-\dfrac{\sqrt2}2$:

• upper arc: $\dfrac\pi4 \le x \le \dfrac{3\pi}4$
• lower arc: $\dfrac{5\pi}4 \le x \le \dfrac{7\pi}4$

Check: $x = \dfrac\pi2$ gives $2 - 1 = 1 \ge 0$ ✓; $x = 0$ gives $-1 < 0$ ✓ (excluded).

The absolute-value grammar ($|s| \ge k$ = the outsides) translates into two arcs, top and bottom — equal in length, by symmetry.

$u = 3x \in [0, 6\pi)$ — 세 바퀴. 한 바퀴마다 $\sin u = \dfrac12$의 해가 둘($\frac\pi6$, $\frac{5\pi}6$ 꼴)이므로

($u = \frac\pi6, \frac{5\pi}6, \frac{13\pi}6, \frac{17\pi}6, \frac{25\pi}6, \frac{29\pi}6$ — $x$는 각각을 $3$으로 나눈 값).

일반화: $u = nx$는 $[0, 2n\pi)$ — $n$바퀴를 돌고, $0 < |k| < 1$이면 바퀴마다 해가 정확히 둘: 합계 $2n$개.

$\sin nx$의 그래프가 $[0, 2\pi)$에 파동 $n$개를 그리고, 수평선이 파동마다 두 번 베인다는 그림과 일치한다. (경계 사례 조심: $k = \pm1$이면 바퀴마다 하나로 줄고, $k = 0$이면 $2n$개이되 배치가 균등해진다.)

$u = 3x \in [0, 6\pi)$ — three laps. Each lap holds two solutions of $\sin u = \dfrac12$ (the $\frac\pi6$, $\frac{5\pi}6$ pair), so

($u = \frac\pi6, \frac{5\pi}6, \frac{13\pi}6, \frac{17\pi}6, \frac{25\pi}6, \frac{29\pi}6$ — each $x$ is a third of these).

Generalization: $u = nx$ spans $[0, 2n\pi)$ — $n$ laps, and with $0 < |k| < 1$ each lap carries exactly two: $2n$ in all.

This matches the picture: $\sin nx$ draws $n$ waves across $[0, 2\pi)$, and a horizontal line cuts each wave twice. (Mind the edge cases: $k = \pm1$ drops to one per lap; $k = 0$ still gives $2n$, evenly spaced.)

$s = \sin x$로 치환하면 "이차방정식이 $[-1, 1]$에서 근을 갖는" 문제가 된다.

Substituting $s = \sin x$ turns this into "a quadratic with a root in $[-1, 1]$."

$s = \sin x \in [-1, 1]$로 치환하면, $s^2 - 4s + a = 0$이 $[-1, 1]$ 안에 근을 가져야 한다. $a$에 대해 풀어 함수로 보면

$f$는 꼭짓점이 $s = 2$(구간 밖 오른쪽)인 위로 볼록 포물선 — $[-1, 1]$에서 증가한다:

따라서 $a$가 $f$의 치역 $[-5, 3]$에 있을 때, 그리고 그때만 유효한 $s$가 존재한다:

검산: $a = 3$이면 $s^2 - 4s + 3 = (s-1)(s-3) = 0$ — $s = 1$ 유효($x = \frac\pi2$) ✓. $a = -5$면 $(s-5)(s+1) = 0$ — $s = -1$ 유효 ✓. $a = 4$면 근 $s = 2$뿐 — 범위 밖, 해 없음 ✓.

"매개변수 분리 → 치환 변수의 치역" — 제한된 정의역 이차함수가 방정식의 가능성을 판정하는, 이 과정 전체를 관통해 온 조립이다.

With $s = \sin x \in [-1, 1]$, we need $s^2 - 4s + a = 0$ to have a root inside $[-1, 1]$. Separate the parameter:

$f$ is a downward parabola with vertex at $s = 2$ — right of the interval — so on $[-1, 1]$ it increases:

A valid $s$ exists exactly when $a$ lies in $f$'s range $[-5, 3]$:

Check: $a = 3$ gives $(s-1)(s-3) = 0$ — $s = 1$ valid ($x = \frac\pi2$) ✓. $a = -5$ gives $(s-5)(s+1) = 0$ — $s = -1$ valid ✓. $a = 4$ leaves only $s = 2$ — out of band, no solution ✓.

"Separate the parameter → range of the substituted variable" — a restricted-domain quadratic adjudicating an equation's solvability: the assembly that has run through this whole course.