로그의 뜻Logarithms

각각 "몇 제곱인가"를 묻는다:

마지막 둘은 항등식 $\log_a a = 1$, $\log_a 1 = 0$의 실물이다.

Each asks "what power?":

The last two are the identities $\log_a a = 1$ and $\log_a 1 = 0$ in the flesh.

$a^x = N \iff x = \log_a N$의 번역 연습 — 밑은 그대로, 지수와 결과가 자리를 바꾼다.

$(2)$ 검산: $8^{2/3} = (2^3)^{2/3} = 2^2 = 4$ ✓ — 유리 지수도 똑같이 번역된다.

Translation drill on $a^x = N \iff x = \log_a N$ — the base stays put; exponent and result trade places.

Check $(2)$: $8^{2/3} = (2^3)^{2/3} = 2^2 = 4$ ✓ — rational exponents translate identically.

$(1)$ 정의로: $x = 4^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^3 = 8$.

$(2)$ $x^3 = 27 \Rightarrow x = 3$ — 밑 조건 $x > 0$, $x \ne 1$을 통과한다 ✓.

로그의 세 자리(밑·진수·값) 어디에 미지수가 와도 정의 한 줄로 돌아간다.

$(1)$ By definition: $x = 4^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^3 = 8$.

$(2)$ $x^3 = 27 \Rightarrow x = 3$ — which passes the base conditions $x > 0$, $x \ne 1$ ✓.

Whichever of the three seats (base, argument, value) holds the unknown, one line of definition settles it.

세 관문을 모두 통과해야 한다.

• 밑 $> 0$: $x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$
• 밑 $\ne 1$: $x - 1 \ne 1 \Rightarrow x \ne 2$
• 진수 $> 0$: $5 - x > 0 \Rightarrow x < 5$

교집합: $1 < x < 5$, $x \ne 2$.

검산: $x = 3$이면 $\log_2 2 = 1$ 정의됨 ✓, $x = 2$면 밑이 $1$ — 탈락 ✓.

Three gates, all mandatory.

• base $> 0$: $x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$
• base $\ne 1$: $x - 1 \ne 1 \Rightarrow x \ne 2$
• argument $> 0$: $5 - x > 0 \Rightarrow x < 5$

Intersection: $1 < x < 5$, $x \ne 2$.

Check: $x = 3$ gives $\log_2 2 = 1$, defined ✓; $x = 2$ makes the base $1$ — rejected ✓.

$y = 3^x$의 역함수이므로 정의역과 치역이 자리를 바꾸고($\mathbb R \leftrightarrow (0,\infty)$), $y$절편 $(0,1)$은 $x$절편 $(1,0)$으로, 수평 점근선 $y = 0$은 수직 점근선 $x = 0$으로 넘어온다. 밑 $3 > 1$ — 증가.

거울 하나로 표 전체가 넘어오는 것이 역함수의 힘이다.

As the inverse of $y = 3^x$: domain and range trade places ($\mathbb R \leftrightarrow (0,\infty)$), the $y$-intercept $(0,1)$ crosses to the $x$-intercept $(1,0)$, and the horizontal asymptote $y = 0$ turns into the vertical $x = 0$. Base $3 > 1$ — increasing.

One mirror carries the whole table — the power of inverses.

$\log_a N$은 정의상 "$a$를 몇 제곱하면 $N$인가"의 답이다. 그러니 $a$를 그만큼 제곱한 $a^{\log_a N}$은 곧 $N$ — 질문의 답을 실행하면 원래 수가 나온다.

거꾸로 $\log_a a^x$는 "$a$를 몇 제곱하면 $a^x$인가" — 답은 물을 것도 없이 $x$다.

두 식은 $f(x) = a^x$, $f^{-1}(x) = \log_a x$의 합성 $f(f^{-1}(N)) = N$, $f^{-1}(f(x)) = x$ — 역함수 단원의 왕복 항등식이 로그의 옷을 입은 것이다. 외울 공식이 아니라 정의를 두 번 읽은 것에 지나지 않는다.

By definition, $\log_a N$ answers "to what power must $a$ be raised to make $N$?" So $a^{\log_a N}$ — raising $a$ by exactly that answer — is $N$: running the question's answer recovers the number.

Conversely $\log_a a^x$ asks "to what power must $a$ be raised to make $a^x$?" — the answer is $x$ before the question finishes.

The two are the compositions $f(f^{-1}(N)) = N$ and $f^{-1}(f(x)) = x$ for $f(x) = a^x$, $f^{-1}(x) = \log_a x$ — the inverse unit's round-trip identities in logarithmic dress. Nothing to memorize: the definition, read twice.

정의로: $2x + 1 = 3^2 = 9 \Rightarrow x = 4$.

진수 확인: $2(4) + 1 = 9 > 0$ ✓.

한 줄짜리 방정식이라도 진수 확인을 관문으로 통과시키는 습관 — 다음 차시부터 진수가 여러 개가 되면 이 습관이 무연근을 걸러낸다.

By definition: $2x + 1 = 3^2 = 9 \Rightarrow x = 4$.

Argument check: $2(4) + 1 = 9 > 0$ ✓.

Even a one-line equation passes through the argument gate — from next lesson, with several arguments in play, this habit is what filters extraneous roots.

오른쪽 $1$, 위로 $2$ 이동 — 수직 점근선 $x = 0$이 $x = 1$로 이사하고, 정의역은 $(1, \infty)$.

$x$절편: $\log_2(x - 1) = -2 \Rightarrow x - 1 = 2^{-2} = \dfrac14 \Rightarrow x = \dfrac54$.

$y$절편은 $x = 0$이 정의역 밖이므로 없다 — 로그 그래프 변환의 급소는 점근선(정의역의 벽)의 새 위치다.

검산: $\log_2 \frac14 + 2 = -2 + 2 = 0$ ✓.

Right $1$, up $2$ — the vertical asymptote moves from $x = 0$ to $x = 1$, and the domain becomes $(1, \infty)$.

$x$-intercept: $\log_2(x - 1) = -2 \Rightarrow x - 1 = 2^{-2} = \dfrac14 \Rightarrow x = \dfrac54$.

There is no $y$-intercept — $x = 0$ lies outside the domain. The pressure point of log-graph transformations is the asymptote's new address: the wall of the domain.

Check: $\log_2 \frac14 + 2 = -2 + 2 = 0$ ✓.

유리수 $\dfrac pq$라 가정하고 지수의 문장으로 돌아가라 — 짝수와 홀수가 만난다.

Assume it equals $\dfrac pq$ and translate back to an exponential sentence — even meets odd.

$\log_2 3 > 0$이다($3 > 1$이고 밑 $2 > 1$이므로 $\log_2 3 > \log_2 1 = 0$).

유리수라 가정하면 양의 정수 $p$, $q$로 $\log_2 3 = \dfrac pq$라 쓸 수 있다. 지수의 문장으로 번역하면

그런데 좌변은 $p \ge 1$이므로 짝수, 우변은 $3$의 거듭제곱이므로 홀수 — 모순이다. 따라서 $\log_2 3$은 무리수다. $\blacksquare$

$\sqrt2$의 무리성 증명(홀짝 논법)과 같은 칼이다 — 소인수 $2$와 $3$은 어떤 거듭제곱으로도 서로를 흉내 낼 수 없다(소인수분해의 유일성). 로그의 세계는 이렇게 무리수로 가득하다 — $\log_2 5$, $\log_3 7$, … 모두 같은 논법에 쓰러진다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 양수임을 확인하고 $p/q$로 설정 (1점)
• $2^p = 3^q$ 도출 (1점)
• 홀짝(또는 소인수분해 유일성) 모순 (1점)

First, $\log_2 3 > 0$ (since $3 > 1$ and the base exceeds $1$, $\log_2 3 > \log_2 1 = 0$).

If it were rational, positive integers $p$, $q$ would give $\log_2 3 = \dfrac pq$. Translating into exponents:

But the left side is even (as $p \ge 1$) while the right, a power of $3$, is odd — contradiction. Hence $\log_2 3$ is irrational. $\blacksquare$

The same blade as the irrationality of $\sqrt2$ (the parity argument) — the primes $2$ and $3$ cannot impersonate each other at any power (uniqueness of prime factorization). Log country teems with irrationals: $\log_2 5$, $\log_3 7$, … all fall to the same argument.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• Positivity noted; $p/q$ set up (1 pt)
• Deriving $2^p = 3^q$ (1 pt)
• Parity (or unique factorization) contradiction (1 pt)

진수 조건 먼저 — 그리고 밑이 $1$보다 작다.

Argument gate first — and the base is below $1$.

관문(진수 조건): $x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$.

$-1 = \log_{1/2} 2$이므로($\left(\frac12\right)^{-1} = 2$) 부등식은

밑 $\frac12 < 1$ — 감소 함수이므로 부등호가 뒤집힌다: $x - 1 < 2 \Rightarrow x < 3$.

관문과 교집합: $1 < x < 3$.

검산: $x = 2$에서 $\log_{1/2} 1 = 0 > -1$ ✓; $x = 4$에서 $\log_{1/2} 3 < -1$(진수 $3 > 2$) ✓ 제외.

감소 밑의 반전과 진수 조건 — 이 차시의 두 함정이 한 문제에 들어 있다.

Gate (argument): $x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$.

Since $-1 = \log_{1/2} 2$ (as $\left(\frac12\right)^{-1} = 2$), the inequality reads

Base $\frac12 < 1$ — decreasing, so the inequality flips: $x - 1 < 2 \Rightarrow x < 3$.

Intersect with the gate: $1 < x < 3$.

Check: $x = 2$ gives $\log_{1/2} 1 = 0 > -1$ ✓; $x = 4$ gives $\log_{1/2} 3 < -1$ (argument $3 > 2$) ✓ excluded.

The decreasing-base flip and the argument gate — this lesson's two traps, packed into one problem.

$f(x) = \log_2 x = s$, $f(y) = \log_2 y = t$라 하면 정의로 $x = 2^s$, $y = 2^t$. 그러면

이고, 다시 정의로 $\log_2 (xy) = s + t = f(x) + f(y)$. $\blacksquare$

지난 차시에 지수함수는 덧셈을 곱셈으로 번역했다($f(x+y) = f(x)f(y)$). 로그는 그 역함수이니 번역 방향이 뒤집힌다 — 곱셈을 덧셈으로. 같은 지수법칙 $2^s \cdot 2^t = 2^{s+t}$를 양쪽에서 읽은 것뿐이다.

이 항등식이 로그의 존재 이유다 — 곱셈(어려운 계산)을 덧셈(쉬운 계산)으로 바꾸는 기계. 다음 차시가 이 기계의 사용법 전체를 다룬다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• $x = 2^s$, $y = 2^t$ 번역 (1점)
• 지수법칙 적용 후 재번역 (1점)
• 역함수로서 번역 방향이 뒤집힘을 서술 (1점)

Let $f(x) = \log_2 x = s$ and $f(y) = \log_2 y = t$, so by definition $x = 2^s$, $y = 2^t$. Then

and by definition again $\log_2 (xy) = s + t = f(x) + f(y)$. $\blacksquare$

Last lesson the exponential translated addition into multiplication ($f(x+y) = f(x)f(y)$). The logarithm, being its inverse, translates in reverse — multiplication into addition. Both are readings of the one exponent law $2^s \cdot 2^t = 2^{s+t}$, from opposite banks.

This identity is the logarithm's reason for existing — a machine turning multiplication (hard) into addition (easy). Next lesson is the machine's full manual.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• The translations $x = 2^s$, $y = 2^t$ (1 pt)
• Exponent law applied, then re-translated (1 pt)
• The reversed direction of translation, as the inverse (1 pt)

$a = \log_2 3$, $b = \log_3 4$라 두고 $2^{ab}$를 계산하라.

Set $a = \log_2 3$, $b = \log_3 4$ and compute $2^{ab}$.

$a = \log_2 3$, $b = \log_3 4$라 하면 정의로 $2^a = 3$, $3^b = 4$. 거듭제곱을 겹치면

지수함수의 일대일 성질로 $ab = 2$. $\blacksquare$

$2 \to 3 \to 4$로 가는 두 번의 "환승"이 $2 \to 4$ 직행($\log_2 4 = 2$)과 같다 — 로그의 연쇄 법칙이고, 다음 차시의 밑 변환 공식 $\log_2 3 = \dfrac{\log_3 3}{\log_3 2}$… 아니, 그 공식이 이 관찰의 일반형이다. 성질을 배우기 전에도 정의의 겹침만으로 닿을 수 있다는 것.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 두 로그의 지수 번역 (1점)
• $2^{ab} = 4$ 도출 (1점)
• 일대일로 마무리 (1점)

Let $a = \log_2 3$ and $b = \log_3 4$, so $2^a = 3$ and $3^b = 4$. Stack the powers:

One-to-oneness of the exponential gives $ab = 2$. $\blacksquare$

Two "transfers" $2 \to 3 \to 4$ equal the direct ride $2 \to 4$ ($\log_2 4 = 2$) — the chain law of logarithms, of which next lesson's change-of-base formula is the general form. Reachable, even before any properties, by stacking the definition on itself.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• Both logs translated to exponents (1 pt)
• Deriving $2^{ab} = 4$ (1 pt)
• One-to-one finish (1 pt)

$2^{5/2}$은 어떤 수의 제곱근인가 — 제곱해서 비교하라.

$2^{5/2}$ is the square root of what — square and compare.

밑 $2 > 1$이므로 $2^x$은 증가한다 — 지수를 비교하려면 값을 비교하면 된다.

왼쪽: $2^2 = 4 < 5$이므로 $2 < \log_2 5$.

오른쪽: $2^{5/2} = \sqrt{2^5} = \sqrt{32}$인데

즉 $2^{5/2} > 5$이므로 $\log_2 5 < \dfrac52$. $\blacksquare$

이름뿐이던 $\log_2 5$가 구간 $\left(2, \frac52\right)$ 안에 붙잡혔다 — 유리 지수와 제곱 비교만으로. 같은 방법을 반복하면 원하는 만큼 좁힐 수 있다(실제 값 $2.3219\ldots$). 무리수(p09의 논법이 여기도 통한다)를 유리수 울타리로 조여 가는 것 — $\sqrt2$를 $1.4$, $1.41$로 조이던 그 작업의 로그판이다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 증가성으로 값 비교로 환원 (1점)
• $4 < 5$로 왼쪽 (1점)
• $32 > 25$ 제곱 비교로 오른쪽 (1점)

Base $2 > 1$, so $2^x$ increases — comparing exponents reduces to comparing values.

Left: $2^2 = 4 < 5$, so $2 < \log_2 5$.

Right: $2^{5/2} = \sqrt{2^5} = \sqrt{32}$, and

so $2^{5/2} > 5$, giving $\log_2 5 < \dfrac52$. $\blacksquare$

The mere name $\log_2 5$ is now trapped in $\left(2, \frac52\right)$ — by rational exponents and squaring alone. Repeating the method narrows the trap at will (the true value is $2.3219\ldots$). Squeezing an irrational (p09's argument applies here too) inside rational fences — the logarithmic edition of pinning $\sqrt2$ down with $1.4$, $1.41$, …

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• Reduction to value comparison via monotonicity (1 pt)
• Left side from $4 < 5$ (1 pt)
• Right side from the squared comparison $32 > 25$ (1 pt)