다항함수의 그래프Graphs of Polynomials

가장 높은 지수의 항이 최고차항($3x^4$), 그 지수가 차수($4$), $x$가 없는 항이 상수항($-2$ — $y$절편이기도 하다).

The highest-exponent term is the leading term ($3x^4$), its exponent the degree ($4$), and the $x$-free term the constant ($-2$ — also the $y$-intercept).

홀수차는 양끝이 반대(계수 양수면 $\swarrow \nearrow$), 짝수차는 양끝이 같다(계수 양수면 둘 다 위). 부호가 음수면 전체가 뒤집힌다 — 표 한 장이 네 경우 전부다.

Odd degrees: opposite ends (positive coefficient gives $\swarrow \nearrow$). Even degrees: matching ends (positive gives both up). A negative sign flips everything — one table covers all four.

세 인수 모두 중복도 $1$(홀수) — 세 절편 $0$, $3$, $-2$ 모두에서 통과한다.

끝 거동은 $x^3$형(왼쪽 아래→오른쪽 위)이므로, 그래프는 $-2$, $0$, $3$을 차례로 꿰뚫으며 두 번 굽이치는 표준 3차 곡선이다.

All three factors have multiplicity $1$ (odd) — the graph crosses at each of $-2$, $0$, $3$.

With $x^3$-type end behavior (lower left to upper right), it threads the three intercepts in order, bending twice — the standard cubic silhouette.

중복도: $-3$은 $1$(통과), $1$은 $2$(접촉). 최고차항은 $x^3$($\swarrow \nearrow$).

조립: 왼쪽 아래에서 올라와 $x = -3$을 뚫고, 봉우리를 넘어 내려와 $x = 1$에서 축에 닿기만 하고 되튄 뒤 오른쪽 위로 떠난다. $y$절편은 $(0, 3)$ — $(0-1)^2(0+3) = 3$.

접촉점이 골짜기 바닥 노릇을 하는 것(축이 최저 접선)이 짝수 중복도의 시각적 서명이다.

Multiplicities: $-3$ has $1$ (cross), $1$ has $2$ (bounce). Leading term $x^3$ ($\swarrow \nearrow$).

Assembly: up from the lower left, through $x = -3$, over a peak and down to touch the axis at $x = 1$, bouncing away to the upper right. The $y$-intercept is $(0, 3)$, since $(0-1)^2(0+3) = 3$.

The bounce point serving as a valley floor (the axis as its tangent) is the visual signature of even multiplicity.

통과($m = 1$)와 접촉($m = 2$)으로 $1 + 2 = 3$차 — 예산이 꼭 맞는다:

$y$절편으로 $a$를 정한다: $x = 0$에서 $a(2)(1) = 2 \Rightarrow a = 1$:

절편의 행동이 중복도를 불러 주고, 중복도의 합이 차수 예산과 맞아떨어지는지 확인하는 것 — 그래프에서 식을 복원하는 표준 절차다.

Cross ($m = 1$) plus bounce ($m = 2$) spends $1 + 2 = 3$ — exactly the cubic budget:

The $y$-intercept fixes $a$: at $x = 0$, $a(2)(1) = 2 \Rightarrow a = 1$:

Intercept behavior dictates multiplicities; checking that the multiplicities total the degree budget is the standard graph-to-formula procedure.

$x = 100$: $x^3 = 1{,}000{,}000$, $5x^2 = 50{,}000$ — 최고차항이 $20$배.

$x = 1000$: $x^3 = 10^9$, $5x^2 = 5 \times 10^6$ — $200$배.

비율 $\dfrac{5x^2}{x^3} = \dfrac{5}{x}$는 $x$가 커질수록 $0$으로 사라진다 — 낮은 차수 항은 상대적으로 무의미해진다(절대값은 커져도!). 그러므로 충분히 먼 곳에서 그래프는 $y = x^3$과 방향을 같이한다.

차수를 하나 올릴 때마다 "멀리서는 $x$배 더 크다"는 이 비교가, 다항함수의 위계 전체를 정한다 — 유리함수의 점근선(다음 단원)도 같은 비교에서 나온다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 설명도 만점)

• 두 수치 비교 (1점)
• 비율 $\frac{5}{x} \to 0$ 관점 (1점)
• "상대적 무의미"의 결론 (1점)

$x = 100$: $x^3 = 1{,}000{,}000$ against $5x^2 = 50{,}000$ — the leading term is $20$ times larger.

$x = 1000$: $x^3 = 10^9$ against $5 \times 10^6$ — $200$ times.

The ratio $\dfrac{5x^2}{x^3} = \dfrac{5}{x}$ vanishes as $x$ grows — lower-degree terms become relatively negligible (even as their absolute size grows!). So far enough out, the graph travels with $y = x^3$.

This comparison — each extra degree means "$x$ times bigger, far away" — sets the entire hierarchy of polynomials, and the asymptotes of rational functions (next unit) fall out of the same comparison.

Rubric (any logically correct explanation earns full credit)

• The two numerical comparisons (1 pt)
• The ratio $\frac{5}{x} \to 0$ viewpoint (1 pt)
• The "relatively negligible" conclusion (1 pt)

전개하면 $y = -x^3 + 4x$ — 최고차항 $-x^3$(음수·홀수차): 왼쪽 위 → 오른쪽 아래.

세 절편 $-2$, $0$, $2$ 모두 중복도 $1$로 통과. 조립: 왼쪽 위에서 내려와 $-2$를 뚫고, 골짜기를 지나 $0$을 뚫고 올라갔다가, $2$를 뚫고 오른쪽 아래로.

$-x^3 + 4x = -(x^3 - 4x)$는 홀함수의 반사 — 그래프가 원점 대칭인 것도 확인 포인트다(홀수차 항뿐이므로, U1의 판별법).

Expanded: $y = -x^3 + 4x$ — leading term $-x^3$ (negative, odd): upper left → lower right.

All three intercepts $-2$, $0$, $2$ have multiplicity $1$: crossings. Assembly: down from the upper left through $-2$, dip and rise through $0$, then through $2$ and away to the lower right.

And $-x^3 + 4x$ has only odd-degree terms — an odd function (U1's test), so the graph is origin-symmetric: one more checkpoint.

홀수차 다항함수의 두 끝은 반대 방향이다 — 최고차 계수가 양수면 왼쪽 끝에서 한없이 작아지고($-\infty$ 방향) 오른쪽 끝에서 한없이 커진다(음수면 반대).

그런데 다항함수의 그래프는 끊김 없이 이어지는 곡선이다(점프도 구멍도 없다). 아주 왼쪽에서 음수였다가 아주 오른쪽에서 양수가 되려면, 그 사이 어딘가에서 값이 정확히 $0$이 되는 순간을 지나야 한다 — 그 $x$가 실근이다.

짝수차는 이 논증이 통하지 않는다 — 양끝이 같은 방향이라 축을 안 건너고도 돌아올 수 있다($x^2 + 1$이 그 예). "연속이면 중간을 건너뛸 수 없다"는 직관은 미적분에서 중간값 정리라는 이름으로 정식화된다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 설명도 만점)

• 양끝 반대 방향 (1점)
• 이어짐(연속) $+$ 건너감 논증 (1점)
• 짝수차 대비(반례 $x^2+1$ 등) (1점)

An odd-degree polynomial's two ends point opposite ways — with positive leading coefficient, arbitrarily negative on the far left and arbitrarily positive on the far right (reversed if negative).

But a polynomial's graph is an unbroken curve (no jumps, no holes). To pass from negative values far left to positive values far right, it must somewhere pass through the value exactly $0$ — and that $x$ is a real root.

The argument fails for even degrees — matching ends can return without crossing ($x^2 + 1$ is the specimen). The intuition "a continuous curve cannot skip over a value" is formalized in calculus as the intermediate value theorem.

Rubric (any logically correct explanation earns full credit)

• Opposite ends (1 pt)
• The unbrokenness-and-crossing argument (1 pt)
• The even-degree contrast (e.g. $x^2+1$) (1 pt)

인수분해:

절편: $0$(중복도 $2$ — 접촉), $\pm 2$(각 $1$ — 통과). 끝 거동: $x^4$형, 양쪽 위.

조립: 왼쪽 위에서 내려와 $-2$를 뚫고, 올라와 $0$에서 축에 닿고 되튀어 내려갔다가, 다시 올라 $2$를 뚫고 오른쪽 위로 — W자형이다(가운데 봉우리가 정확히 축에 닿는 W).

$x^4 - 4x^2$은 짝수차 항뿐 — 짝함수라 $y$축 대칭인 것과 W의 좌우 대칭이 맞물린다 ✓.

Factor:

Intercepts: $0$ (multiplicity $2$ — bounce), $\pm 2$ (each $1$ — cross). End behavior: $x^4$-type, both up.

Assembly: down from upper left through $-2$, up to touch the axis at $0$ and bounce down, up again through $2$ and away — a W whose middle peak grazes the axis exactly.

Only even-degree terms — an even function, $y$-axis symmetric, matching the W's mirror symmetry ✓.

$x^3$도 $x$도 증가 함수다 — $a < b$면 $a^3 < b^3$이고 $a < b$. 증가 함수 두 개의 합도 증가한다:

계속 오르기만 하므로 방향 전환은 $0$번이다.

3차라고 반드시 두 번 굽이치는 것이 아니다 — 최대 $n - 1$회는 한도이지 의무가 아니다. ($y = x^3 - x$와 비교하면: $-x$가 끼는 순간 두 번 굽이친다 — 항 하나의 부호가 개형을 가른다.)

Both $x^3$ and $x$ are increasing — $a < b$ gives $a^3 < b^3$ and $a < b$. A sum of increasing functions increases:

Always rising — zero direction changes.

Cubics need not bend twice — the bound $n - 1$ is a ceiling, not a duty. (Compare $y = x^3 - x$: flip one term's sign and two bends appear — one term decides the silhouette.)

확인. $f(-x) = (-x)^4 - 3(-x)^2 + 1 = x^4 - 3x^2 + 1 = f(x)$ — 짝함수다.

($\Leftarrow$). 홀수차 항이 없으면 모든 항이 $a x^{2k}$ 꼴인데, $(-x)^{2k} = x^{2k}$이므로 각 항이 $x \to -x$에 불변 — 합 전체도 불변, 곧 $f(-x) = f(x)$다.

(반대 방향도 성립한다 — 짝함수면 $f(x) - f(-x) = 0$인데 이 차는 홀수차 항의 두 배들만 남으므로, 홀수차 계수가 전부 $0$이어야 한다. 계수 비교의 이 논법은 다항식의 상등에서 온다.)

"짝·홀"이라는 이름이 지수의 홀짝에서 왔다는 U1의 관찰이, 다항함수에서는 완전한 판별법이 된다 — 항을 훑는 것만으로 대칭이 판정된다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 설명도 만점)

• $f(-x)$ 확인 (1점)
• 짝수 지수 항의 불변성 (1점)
• 합으로의 확장 (1점)

Verification. $f(-x) = (-x)^4 - 3(-x)^2 + 1 = x^4 - 3x^2 + 1 = f(x)$ — even.

($\Leftarrow$). With no odd-degree terms, every term is $a x^{2k}$, and $(-x)^{2k} = x^{2k}$ — each term is unchanged under $x \to -x$, hence so is the sum: $f(-x) = f(x)$.

(The converse holds too — if $f$ is even, $f(x) - f(-x) = 0$, and that difference consists of doubled odd-degree terms only, forcing every odd coefficient to $0$. This coefficient-comparison argument comes from polynomial equality.)

U1's observation that "even/odd" is named for exponents becomes, for polynomials, a complete test — scan the terms and the symmetry is decided.

Rubric (any logically correct explanation earns full credit)

• The $f(-x)$ verification (1 pt)
• Invariance of even-exponent terms (1 pt)
• Extension to the sum (1 pt)

두 절편의 중복도와 (있다면) 허근 쌍의 차수를 더해 $4$가 되는지 따져라.

Add up the two intercepts' multiplicities and the degrees of any nonreal-root factors — must they total $4$?

불가능하다.

절편 $1$에서 접하려면 중복도가 짝수($2$ 또는 $4$), $3$에서 통과하려면 홀수($1$ 또는 $3$)여야 한다. 절편이 이 둘뿐이므로 나머지 인수는 실근 없는 이차 인수들 — 각각 차수 $2$(짝수)를 소비한다.

차수의 합을 따지면:

— 그런데 전체 차수는 $4$, 짝수다. 모순. $\blacksquare$

가능한 조합을 실제로 나열해 봐도 같다: $2 + 1 = 3$(차수 부족), $2 + 3 = 5$, $4 + 1 = 5$(초과), $2 + 1 + 2(\text{허근}) = 5$ — 어느 것도 $4$가 안 된다.

절편의 행동(접촉/통과)이 중복도의 홀짝을 강제하고, 홀짝의 합이 차수와 맞아야 한다 — 그래프의 모양이 대수적 제약을 받는다는 사실의 가장 깨끗한 표본이다. (통과를 $1$로, 접촉을 $3$으로 바꾸면 $(x-1)^3(x-3)$으로 가능해진다 — 홀짝이 뒤집히기 때문.)

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점 — 경우 나열 포함)

• 접촉 = 짝수·통과 = 홀수 중복도 번역 (1점)
• 허근 쌍이 짝수 차수 소비 (1점)
• 홀짝 모순 결론 (1점)

Impossible.

Tangency at $1$ forces an even multiplicity ($2$ or $4$); crossing at $3$ forces an odd one ($1$ or $3$). With no other intercepts, all remaining factors are quadratics without real roots — each consuming degree $2$ (even).

Sum the degrees:

— but the total degree is $4$, even. Contradiction. $\blacksquare$

Listing the combinations agrees: $2 + 1 = 3$ (short), $2 + 3 = 5$, $4 + 1 = 5$ (over), $2 + 1 + 2 = 5$ — nothing makes $4$.

Intercept behavior forces multiplicity parity, and the parities must total the degree — the cleanest specimen of a graph's shape being algebraically constrained. (Swap the roles — cross at $1$, flatten-tangent... rather, crossing with multiplicity $3$ at one point: $(x-1)^3(x-3)$ works, because the parities flip.)

Rubric (any logically correct proof earns full credit — case enumeration included)

• Translating tangency/crossing to even/odd multiplicity (1 pt)
• Nonreal pairs consuming even degree (1 pt)
• The parity contradiction (1 pt)

$x = 1 + t$로 치환해 이차항이 사라지는지 보라 — 변환 단원의 그 수법이다.

Substitute $x = 1 + t$ and watch the quadratic term vanish — the transformations unit's move.

중심 후보를 찾기 위해 $x = 1 + t$로 옮긴다(이차항 계수 $-3$을 $3$으로 나눈 $1$이 후보):

$t^3 - t$는 홀함수 — 새 원점, 곧 $(1, f(1)) = (1, 0)$에 대해 점대칭이다.

검산: $f(1 + t) + f(1 - t) = (t^3 - t) + (-t^3 + t) = 0 = 2 \times 0$ ✓.

U1에서 특정 삼차로 연습했던 "이동된 홀함수" 수법이 일반 전략으로 승격됐다 — 모든 삼차함수는 $x = -\frac{b}{3a}$로 옮기면 이차항이 사라져 홀함수 꼴이 되고, 따라서 점대칭 중심을 정확히 하나 갖는다. 그 중심의 기하적 이름(변곡점)은 미적분이 붙여 준다.

Shift to the candidate center via $x = 1 + t$ (the candidate being $-\frac{b}{3a} = 1$):

And $t^3 - t$ is odd — point-symmetric about the new origin, i.e. about $(1, f(1)) = (1, 0)$.

Check: $f(1 + t) + f(1 - t) = (t^3 - t) + (-t^3 + t) = 0 = 2 \times 0$ ✓.

The "shifted odd function" move, rehearsed on one cubic in U1, is now a general strategy — every cubic loses its quadratic term under the shift $x = -\frac{b}{3a}$, becomes odd-shaped, and so owns exactly one center of symmetry. Its geometric name (the inflection point) is conferred by calculus.