급수와 시그마 기호Series & Sigma Notation

가우스의 짝짓기 그대로: $1 + 200 = 201$이 $100$쌍.

Gauss's pairing verbatim: $100$ pairs each summing to $1 + 200 = 201$.

선형성으로 가르면

$1 + 3 + \cdots + 19$, 곧 처음 열 개 홀수의 합이 $10^2$ — 우연이 아니다(p08).

Splitting by linearity:

This is $1 + 3 + \cdots + 19$, the first ten odd numbers — summing to $10^2$, and not by accident (p08).

첫째항 $2$, 공비 $2$, 항수 $10$의 등비수열 합:

검산(어긋 빼기 직접): $S = 2^{11} - 2 = 2048 - 2 = 2046$ ✓. 마지막 지수 $10$에 홀려 $11$항으로 세지 않도록.

Geometric with first term $2$, ratio $2$, $10$ terms:

Check (shift-subtract directly): $S = 2^{11} - 2 = 2046$ ✓. Don't let the final exponent $10$ trick you into counting $11$ terms.

합을 두 번, 두 번째는 거꾸로 쓴다:

세로로 더하면 각 자리의 짝은 $a_k + a_{n+1-k}$. 등차수열에서 이 값은

— $k$와 무관하게 일정하다. 같은 값이 $n$개이므로

핵심은 "등거리 짝의 합 일정" — 한쪽이 $d$ 잃는 만큼 다른 쪽이 $d$ 얻기 때문이다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 거꾸로 쓰고 세로로 더하는 설정 (1점)
• 짝의 합이 일정함을 일반항으로 확인 (1점)
• $2S_n = n(a_1 + a_n)$ 마무리 (1점)

Write the sum twice, the second time reversed:

Adding columnwise pairs $a_k$ with $a_{n+1-k}$, and in an arithmetic sequence

— constant, independent of $k$. With $n$ copies of that value,

The heart: "equidistant pairs sum constantly" — one side loses $d$ exactly as the other gains it.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• The reversed-copy, columnwise setup (1 pt)
• Constant pair sums verified via the general term (1 pt)
• Finishing $2S_n = n(a_1 + a_n)$ (1 pt)

$S_n = a + ar + \cdots + ar^{n-1}$의 양변에 $r$을 곱하면

빼면 가운데가 전부 지워지고 양 끝만 남는다:

(마지막 단계에서 $r \ne 1$이어야 나눌 수 있다). $\blacksquare$

$r = 1$이면 모든 항이 $a$ — $S_n = na$이고, 공식의 분모가 $0$이 되는 것과 앞뒤가 맞는다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• $rS_n$을 만들어 빼는 설정 (1점)
• 상쇄 후 $(1-r)S_n = a(1-r^n)$ (1점)
• $r \ne 1$ 조건 명시와 $r = 1$ 처리 (1점)

Multiply $S_n = a + ar + \cdots + ar^{n-1}$ by $r$:

Subtracting kills everything in the middle, leaving the two ends:

(the final division requires $r \ne 1$). $\blacksquare$

If $r = 1$, every term is $a$ — $S_n = na$, consistent with the formula's denominator vanishing.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• Building and subtracting $rS_n$ (1 pt)
• The cancellation to $(1-r)S_n = a(1-r^n)$ (1 pt)
• Stating $r \ne 1$ and handling $r = 1$ (1 pt)

선형성으로 가르고 공식을 넣는다:

작은 검산: $k = 1, 2$항만 직접 더하면 $2 + 10 = 12$이고, 공식 조각 $3(1+4) - (1+2) = 12$ ✓.

Split by linearity and insert the formulas:

Quick check on $k = 1, 2$ alone: direct $2 + 10 = 12$; pieces $3(1+4) - (1+2) = 12$ ✓.

시작이 $5$이므로 공식을 바로 못 쓴다 — $1$부터의 합 둘로 자른다:

검산(등차 합으로): 항은 $13, 15, \dots, 43$의 $16$개, $S = \frac{16(13 + 43)}{2} = 8 \cdot 56 = 448$ ✓.

자르기와 (첫+끝)×개수÷2 — 두 길이 같은 답에 닿는지 확인하는 것이 좋은 검산 습관이다.

The start is $5$, so no direct formula — cut into two from-$1$ sums:

Check (as an arithmetic sum): the terms $13, 15, \dots, 43$ number $16$, and $S = \frac{16(13 + 43)}{2} = 8 \cdot 56 = 448$ ✓.

Cutting versus (first+last)×count÷2 — two roads reaching one answer is the healthiest kind of check.

방법 1 (선형성):

방법 2 (짝짓기): 첫 항과 끝 항의 합 $1 + (2n-1) = 2n$, 짝의 수는 $\frac n2$ — 합 $\frac n2 \cdot 2n = n^2$.

정사각형 점판에서 L자 껍질을 한 겹씩 벗기면 홀수 $1, 3, 5, \dots$가 나오는 것 — $n^2$이 홀수들의 축적이라는 그림 증명도 같은 사실이다.

Method 1 (linearity):

Method 2 (pairing): first plus last is $1 + (2n-1) = 2n$, with $\frac n2$ pairs — total $\frac n2 \cdot 2n = n^2$.

Peeling a square dot-grid into L-shaped shells yields the odds $1, 3, 5, \dots$ — the picture proof that $n^2$ is an accumulation of odd numbers says the same thing.

$\dfrac{1}{k(k+1)}$을 부분분수로 갈라라 — 유리식 단원의 그 기술이다.

Split $\dfrac{1}{k(k+1)}$ by partial fractions — that technique from the rational expressions lesson.

부분분수로 가르면 망원경:

중간 항 전부가 이웃과 상쇄되고 양 끝만 생존 — 유리식 단원에서 예고한 회수가 이것이다. $99$개의 분수를 더했는데 계산은 한 번의 뺄셈뿐.

Partial fractions make it telescope:

Every middle term cancels with a neighbor; only the ends survive — the promised callback from rational expressions. Ninety-nine fractions added, one subtraction performed.

전개해 선형성으로:

검산: $n = 2$에서 $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 8$, 공식 $\frac{2 \cdot 3 \cdot 4}{3} = 8$ ✓.

결과가 연속 세 정수의 곱 $\div 3$ — 연속 두 정수의 곱들을 쌓으면 연속 세 정수의 곱이 되는 이 패턴은, $\sum k = \frac{n(n+1)}2$(연속 둘 $\div 2$)의 다음 층이다.

Expand and apply linearity:

Check: $n = 2$ gives $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 8$; the formula $\frac{2 \cdot 3 \cdot 4}{3} = 8$ ✓.

The result is a product of three consecutive integers over $3$ — stacking products of two consecutive integers builds a product of three, the next floor above $\sum k = \frac{n(n+1)}2$ (two consecutive over $2$).

$3, 6, \dots, 999$는 $333$개($999 = 3 \cdot 333$). 등차 합으로

($333 \cdot 501 = 333 \cdot 500 + 333 = 166500 + 333$.) 또는 $3(1 + 2 + \cdots + 333) = 3 \cdot \frac{333 \cdot 334}{2} = 3 \cdot 55611 = 166833$ ✓ — 두 길이 만난다.

The multiples $3, 6, \dots, 999$ number $333$ (as $999 = 3 \cdot 333$). By the arithmetic sum:

($333 \cdot 501 = 166500 + 333$.) Or factor first: $3(1 + \cdots + 333) = 3 \cdot \frac{333 \cdot 334}{2} = 3 \cdot 55611 = 166833$ ✓ — two roads meet.

본문의 $\sum k^2$ 증명과 같은 사다리 — 한 층 위에서 반복하라.

The same ladder as the text's $\sum k^2$ proof — repeat it one floor up.

항등식을 $k = 1$부터 $n$까지 더하면 좌변은 망원경으로 무너진다:

알려진 공식들을 넣으면

$-1 - n = -(n+1)$이므로 모든 항이 $(n+1)$을 품는다:

곧 $4\sum k^3 = n^2(n+1)^2$이고

검산: $n = 3$에서 $1 + 8 + 27 = 36 = 6^2 = (1+2+3)^2$ ✓. 세제곱들의 합이 합의 제곱 — 망원경 사다리는 원리상 어느 층까지든 오른다($\sum k^4$도 같은 방법).

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 망원경 합산으로 $(n+1)^4 - 1$ 등식 (1점)
• 기존 공식 대입과 $(n+1)$ 인수 정리 (1점)
• $n^2(n+1)^2/4$ 완성 (1점)

Sum the identity from $k = 1$ to $n$; the left side telescopes:

Insert the known formulas:

Since $-1 - n = -(n+1)$, every term carries the factor $(n+1)$:

that is, $4\sum k^3 = n^2(n+1)^2$, so

Check: $n = 3$ gives $1 + 8 + 27 = 36 = 6^2 = (1+2+3)^2$ ✓. The cubes sum to the square of the sum — and the telescoping ladder climbs to any floor in principle ($\sum k^4$ falls the same way).

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• The telescoped equation $(n+1)^4 - 1 = \cdots$ (1 pt)
• Substituting known formulas; extracting $(n+1)$ (1 pt)
• Completing $n^2(n+1)^2/4$ (1 pt)

합은 양수 항을 더하는 동안만 자란다 — 마지막 양수 항이 몇 번째인가.

The sum grows only while positive terms are being added — which term is the last positive one?

$a_n = 47 + (n-1)(-3) = 50 - 3n$. 항이 양수인 동안만 합이 자란다:

— $a_{16} = 2 > 0$, $a_{17} = -1 < 0$. 그러므로 $16$항까지 더했을 때 최대:

검산: $S_{17} = 392 + (-1) = 391 < 392$ ✓, $S_{15} = 392 - 2 = 390 < 392$ ✓.

$S_n$은 $n$의 이차식($S_n = \frac{n(97-3n)}{2}$)이므로 포물선 꼭짓점으로도 풀린다 — 꼭짓점 $n = \frac{97}{6} = 16.17$에서 가장 가까운 자연수 $16$ ✓. "마지막 양수 항까지"라는 수열의 논리와 포물선의 논리가 같은 답을 가리킨다.

$a_n = 47 + (n-1)(-3) = 50 - 3n$. The sum grows only while terms stay positive:

— $a_{16} = 2 > 0$, $a_{17} = -1 < 0$. So the maximum comes at $16$ terms:

Check: $S_{17} = 392 - 1 = 391$ ✓, $S_{15} = 392 - 2 = 390$ ✓.

Since $S_n$ is quadratic in $n$ ($S_n = \frac{n(97-3n)}{2}$), the parabola's vertex answers too — vertex at $n = \frac{97}{6} = 16.17$, nearest natural number $16$ ✓. The sequence's logic ("through the last positive term") and the parabola's logic point at one answer.