유리함수의 그래프Graphs of Rational Functions

(1) 두 좌표축이 점근선이다. (2) $x$와 $y$의 부호가 같으므로($xy = 1 > 0$) 1·3사분면. (3) $f(-x) = -\frac1x = -f(x)$ — 홀함수, $180°$ 회전 대칭.

부모 함수의 신상 명세 — 가족 전체가 이 성질들의 이동·신축판이다.

(1) The coordinate axes. (2) Since $xy = 1 > 0$, the signs of $x$ and $y$ agree — quadrants I and III. (3) $f(-x) = -\frac1x = -f(x)$ — odd, $180°$-rotation symmetric.

The parent's dossier — the whole family is its shifted and stretched editions.

$\frac1x$를 오른쪽 $3$, 위로 $2$ 이동 — 점근선도 함께 이사해 $x = 3$, $y = 2$, 교점 $(3, 2)$.

그리기: 중심에 십자 점선을 긋고 1·3사분면 방향(원래 곡선의 방향)으로 두 가지를 붙이면 끝이다.

$\frac1x$ shifted right $3$, up $2$ — the asymptotes move along: $x = 3$, $y = 2$, crossing at $(3, 2)$.

To sketch: dash the cross at the center and hang the two branches in the I-and-III orientation of the parent.

분자와 약분되는 인수가 없으므로 분모의 근 $2$, $-3$이 둘 다 수직 점근선. 차수는 분자 $1 <$ 분모 $2$ — 수평 점근선 $y = 0$.

수직 점근선이 두 개일 수 있다 — 분모의 서로 다른 근 수만큼 생긴다.

Nothing cancels, so both denominator roots $2$ and $-3$ are vertical asymptotes. Degrees: top $1 <$ bottom $2$ — horizontal asymptote $y = 0$.

Vertical asymptotes can come in multiples — one per distinct denominator root.

$\frac7x$의 이동 — 수직 $x = 2$, 수평 $y = 3$(몫!), 중심 $(2, 3)$.

수평 점근선이 몫이라는 것 — 차수 같은 경우의 "최고차계수 비 $\frac31$"과 일치한다 ✓. 나눗셈 한 번이 점근선 두 개와 개형 전부를 내놓는다.

A shift of $\frac7x$ — vertical $x = 2$, horizontal $y = 3$ (the quotient!), center $(2, 3)$.

The horizontal asymptote being the quotient agrees with the equal-degree rule "ratio of leading coefficients $\frac31$" ✓. One division delivers both asymptotes and the whole silhouette.

차수 비교 세 칸:

(1) $1 < 2$ — $y = 0$. (2) $2 = 2$ — 최고차계수 비 $y = 3$. (3) $2 > 1$ — 수평 점근선 없음(그래프가 한없이 커진다).

전부 "최고차항이 지배한다"의 세 표정이다 — 다항함수 단원의 끝 거동 논증이 유리함수의 시력이 됐다.

The three cells of degree comparison:

(1) $1 < 2$ — $y = 0$. (2) $2 = 2$ — leading ratio $y = 3$. (3) $2 > 1$ — no horizontal asymptote (unbounded growth).

All three are faces of "leading terms dominate" — the polynomial unit's end-behavior argument, now the eyesight of rational functions.

(1) $\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}$ — 인수 $x - 2$가 약분된다: 그래프는 직선 $y = x + 2$에서 점 $(2, 4)$만 빠진 것, 구멍이다.

(2) 약분되는 것이 없다 — $x \to 2$에서 분모만 $0$으로 가 값이 폭발: 수직 점근선.

약분 여부가 운명을 가른다 — 판별은 언제나 "인수분해 먼저".

(1) $\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}$ — the factor $x - 2$ cancels: the graph is the line $y = x + 2$ minus the single point $(2, 4)$: a hole.

(2) Nothing cancels — as $x \to 2$ only the denominator dies, and values explode: a vertical asymptote.

Cancellation decides the fate — and the verdict always begins with "factor first."

$y = \dfrac{3x^2 - 1}{x^2 + 2}$에서 분자·분모를 $x^2$으로 나누면

$x$가 한없이 커지면 $\dfrac{1}{x^2}$ 꼴 항들은 $0$으로 사라진다 — 남는 것은 최고차계수들의 비

낮은 차수 항은 "절대적으로 커도 상대적으로 무의미"하다는 다항함수의 지배 논증 그대로다 — 나누기 $x^n$이 그 상대성을 눈앞의 식으로 바꿔 준다. 분자 차수가 낮으면 분자 전체가 사라져 $y \to 0$, 높으면 남는 몫이 커져 수평 점근선이 없다 — 세 칸이 한 계산에서 나온다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 설명도 만점)

• $x^n$으로 나누는 변형 (1점)
• $\frac1{x^k} \to 0$ 논증 (1점)
• 세 경우로의 확장 언급 (1점)

In $y = \dfrac{3x^2 - 1}{x^2 + 2}$, divide through by $x^2$:

As $x$ grows without bound, the $\dfrac{1}{x^2}$-type terms vanish — leaving the ratio of leading coefficients:

Lower-degree terms are "absolutely large yet relatively negligible" — the polynomial dominance argument verbatim, with division by $x^n$ turning that relativity into a visible formula. A lower top degree erases the whole numerator ($y \to 0$); a higher one leaves a growing quotient (no horizontal asymptote) — all three cells from one computation.

Rubric (any logically correct explanation earns full credit)

• The divide-by-$x^n$ transformation (1 pt)
• The $\frac1{x^k} \to 0$ argument (1 pt)
• Extension to the three cases (1 pt)

점근선 정보로 이동 꼴을 세운다:

$(2, 5)$ 대입: $5 = 2 + a \Rightarrow a = 3$:

점근선이 주어지면 옷은 이동 꼴 — 남는 미지수 $a$ 하나를 점 하나가 정한다. 포물선의 꼭짓점꼴과 정확히 같은 문법이다.

Asymptote data calls for shift form:

Substituting $(2, 5)$: $5 = 2 + a \Rightarrow a = 3$:

Given asymptotes, dress in shift form — one remaining unknown $a$, fixed by one point. The exact grammar of the parabola's vertex form.

정의역: 분모의 근 $x = 1$ 제외.

치역: 이동 꼴 $y = 2 + \dfrac{3}{x - 1}$에서 $\dfrac{3}{x-1}$은 $0$이 될 수 없으므로($3 \ne 0$) $y \ne 2$ — 그 외 모든 값은 $x - 1 = \dfrac{3}{y - 2}$로 실제 달성된다.

수평 점근값 $2$가 정확히 빠진 값이다 — "한없이 다가가되 닿지 않는" 점근선의 정의가 치역의 언어로 번역된 것. (역함수 관점: $y = 2$일 때만 $x$로 풀 수 없다.)

Domain: exclude the denominator root $x = 1$.

Range: in shift form $y = 2 + \dfrac{3}{x - 1}$, the term $\dfrac{3}{x-1}$ can never be $0$ (as $3 \ne 0$), so $y \ne 2$ — and every other value is attained via $x - 1 = \dfrac{3}{y - 2}$.

The excluded value is exactly the horizontal asymptote $2$ — "approached, never touched" translated into the language of range. (Inverse view: only $y = 2$ fails to solve for $x$.)

이동 꼴로 바꾸면 홀함수의 이동이 된다 — U1의 그 수법.

Shift form turns it into a shifted odd function — U1's move.

이동 꼴로

— 곧 $g(t) = \dfrac{3}{t}$를 오른쪽 $1$, 위로 $2$ 이동한 그래프다.

$g(t) = \dfrac3t$는 홀함수($g(-t) = -g(t)$)이므로 그 그래프는 원점에 대해 점대칭이다. 점대칭이라는 성질은 이동을 따라 그대로 운반되므로 — 대칭의 중심만 원점에서 $(1, 2)$로 이사한다 — 원래 그래프는 $(1, 2)$에 대해 점대칭이다. $\blacksquare$

직접 확인도 짧다: $f(1 + t) + f(1 - t) = \left(2 + \frac3t\right) + \left(2 - \frac3t\right) = 4 = 2 \times 2$ — 모든 $t$에서 두 값의 평균이 $2$, 중점이 $(1, 2)$다.

삼차함수의 대칭 중심을 찾던 그 수법이 유리함수에서 재상연됐다 — "이동된 홀함수"는 대칭 중심을 갖는다는 원리는 가족을 가리지 않는다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점 — $f(1+t)+f(1-t) = 4$ 직접 계산 포함)

• 이동 꼴 변환 (1점)
• $\frac3t$의 홀성과 원점 대칭 (1점)
• 이동이 대칭을 운반함(또는 직접 계산) (1점)

In shift form,

— the graph of $g(t) = \dfrac{3}{t}$ shifted right $1$, up $2$.

Now $g(t) = \dfrac3t$ is odd ($g(-t) = -g(t)$), so its graph is point-symmetric about the origin. Point symmetry travels with shifts — only its center moves, from the origin to $(1, 2)$ — so the original graph is point-symmetric about $(1, 2)$. $\blacksquare$

The direct check is short too: $f(1 + t) + f(1 - t) = \left(2 + \frac3t\right) + \left(2 - \frac3t\right) = 4 = 2 \times 2$ — the two values average $2$ for every $t$, midpoint $(1, 2)$.

The move that located a cubic's center of symmetry replays for rational functions — "a shifted odd function has a center" respects no family boundaries.

Rubric (any logically correct proof earns full credit — including the direct $f(1+t)+f(1-t) = 4$ computation)

• The shift-form conversion (1 pt)
• Oddness of $\frac3t$ and origin symmetry (1 pt)
• Symmetry transported by the shift (or the direct computation) (1 pt)

$y = \dfrac{2x+1}{x-1}$에서 교환·풀기:

검산: $f(2) = 5$이고 $f^{-1}(5) = \frac{6}{3} = 2$ ✓.

점근선 대응: $f$의 수직 $x = 1$이 $f^{-1}$의 수평 $y = 1$로, $f$의 수평 $y = 2$가 $f^{-1}$의 수직 $x = 2$로 — $y = x$ 반사가 수직·수평을 맞바꾸기 때문이다. 정의역·치역의 교환($x \ne 1 \leftrightarrow y \ne 1$)이 점근선의 언어로 다시 보인다.

Swap and solve in $y = \dfrac{2x+1}{x-1}$:

Check: $f(2) = 5$ and $f^{-1}(5) = \frac{6}{3} = 2$ ✓.

The correspondence: $f$'s vertical $x = 1$ becomes $f^{-1}$'s horizontal $y = 1$, and $f$'s horizontal $y = 2$ becomes the vertical $x = 2$ — the $y = x$ reflection swaps vertical and horizontal. The domain-range exchange ($x \ne 1 \leftrightarrow y \ne 1$), reappearing in the language of asymptotes.

교점 조건을 연립한다:

접함 $=$ 교점 하나 $=$ 중근:

$k = 2$: $(x - 1)^2 = 0$, 접점 $(1, 1)$. $k = -2$: 접점 $(-1, -1)$.

원 단원에서 "$d = r$"로 판별하던 접함이, 곡선 일반에서는 판별식 $D = 0$(대입 후 중근)으로 판별된다 — 기하의 접함과 대수의 중근이 같은 사건이라는 것, 이 다리가 미적분의 접선으로 이어진다.

Intersect:

Tangency $=$ one intersection $=$ a double root:

$k = 2$: $(x - 1)^2 = 0$, touching at $(1, 1)$. $k = -2$: at $(-1, -1)$.

The circle unit tested tangency by "$d = r$"; for general curves the test is $D = 0$ (double root after substitution) — geometric tangency and algebraic double roots as one event, a bridge that runs on to the calculus tangent line.

분모를 소거해 정리한 뒤, 양변에 적당한 수를 더해 곱 꼴로 만들어라.

Clear denominators, then add the right constant to force a product form.

분모 소거: $4y + 4x = xy$, 정리하면 $xy - 4x - 4y = 0$. 양변에 $16$을 더해 곱으로 묶는다:

$x \le y$인 자연수 해는 $16$의 인수 쌍에서: $(x-4, y-4) = (1, 16), (2, 8), (4, 4)$ —

검산: $\frac15 + \frac1{20} = \frac4{20} + \frac1{20}$… $= \frac{5}{20} = \frac14$ ✓, $\frac16 + \frac1{12} = \frac3{12} = \frac14$ ✓, $\frac18 + \frac18 = \frac14$ ✓. ($x - 4 \le 0$이면 좌변이 $\frac14$에 못 미치므로 음의 인수 쌍은 해가 없다.)

"더해서 묶기"(사이먼의 트릭)가 유리방정식의 정수해를 유한 목록으로 바꿨다 — 경시 정수론의 단골 수법이 정규 과정의 유리식과 만나는 지점이다.

Clear denominators: $4y + 4x = xy$, i.e. $xy - 4x - 4y = 0$. Add $16$ to factor:

Natural solutions with $x \le y$ come from factor pairs of $16$: $(x-4, y-4) = (1, 16), (2, 8), (4, 4)$ —

Check: $\frac15 + \frac1{20} = \frac14$ ✓, $\frac16 + \frac1{12} = \frac14$ ✓, $\frac18 + \frac18 = \frac14$ ✓. (Negative factor pairs fail: with $x \le 4$ the left side overshoots or breaks.)

Add-and-factor (Simon's trick) turned a rational equation's integer solutions into a finite list — the junction where competition number theory meets the standard course's rational expressions.