라디안과 단위원Radians & the Unit Circle

환율은 $180° = \pi$ 하나면 된다:

One exchange rate suffices, $180° = \pi$:

특수각 좌표표에서:

$(3)$은 $\tan = \frac{\sin}{\cos}$의 첫 출근 — 좌표 두 개의 비다.

From the special-angle table:

$(3)$ is $\tan = \frac{\sin}{\cos}$ reporting for duty — a ratio of two coordinates.

검산($S = \frac12 rl$): $\frac12 \cdot 6 \cdot 2\pi = 6\pi$ ✓ — 두 공식이 만난다.

Check via $S = \frac12 rl$: $\frac12 \cdot 6 \cdot 2\pi = 6\pi$ ✓ — the formulas agree.

호의 길이: 라디안의 정의가 $\theta = \dfrac lr$이다 — 뒤집으면 $l = r\theta$. (정의의 직독이다.)

부채꼴 넓이: 넓이는 중심각에 비례한다(같은 각 조각들을 돌려 붙이면 겹침 없이 원을 채우므로). 중심각 $\theta$는 전체 $2\pi$의 $\dfrac{\theta}{2\pi}$ 몫이니

따름정리: $r\theta = l$을 끼워 넣으면

— 밑변 $l$(호), 높이 $r$인 "삼각형"의 넓이 꼴이다. 호를 아주 잘게 잘라 이등변삼각형들로 근사하면 밑변들의 합이 $l$, 높이가 $r$에 다가간다는 그림이 이 꼴의 이유를 보여 준다(원 넓이 $\frac12 \cdot 2\pi r \cdot r = \pi r^2$도 같은 그림).

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 정의에서 $l = r\theta$ (1점)
• 비례 논증으로 $S$ (1점)
• $S = \frac12 rl$ 연결 (1점)

Arc length: the radian's definition is $\theta = \dfrac lr$ — invert it: $l = r\theta$. (A direct reading of the definition.)

Sector area: area is proportional to central angle (equal angular slices rotate onto each other and tile the circle without overlap). An angle $\theta$ claims the fraction $\dfrac{\theta}{2\pi}$ of the whole:

Corollary: substitute $r\theta = l$:

— the area of a "triangle" with base $l$ (the arc) and height $r$. Slicing the arc finely into isosceles triangles, whose bases total $l$ and heights approach $r$, shows why this shape appears (the circle's own area $\frac12 \cdot 2\pi r \cdot r = \pi r^2$ comes from the same picture).

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• $l = r\theta$ from the definition (1 pt)
• The proportion argument for $S$ (1 pt)
• Connecting to $S = \frac12 rl$ (1 pt)

$\dfrac{2\pi}3 = 120°$는 2사분면 — 참조각은 $\pi - \dfrac{2\pi}3 = \dfrac\pi3$.

크기는 $\dfrac\pi3$의 값, 부호는 2사분면 좌표($x < 0$, $y > 0$)에서:

단위원 위의 점 $\left(-\frac12, \frac{\sqrt3}2\right)$을 직접 그려 보는 것이 가장 확실한 검산이다.

$\dfrac{2\pi}3 = 120°$ lies in quadrant II — reference angle $\pi - \dfrac{2\pi}3 = \dfrac\pi3$.

Magnitude from $\dfrac\pi3$, signs from quadrant-II coordinates ($x < 0$, $y > 0$):

Sketching the point $\left(-\frac12, \frac{\sqrt3}2\right)$ on the unit circle is the surest check.

$(1)$ $\dfrac{5\pi}4$는 3사분면(참조각 $\dfrac\pi4$), $y < 0$: $\sin = -\dfrac{\sqrt2}2$.

$(2)$ $\dfrac{7\pi}6$은 3사분면(참조각 $\dfrac\pi6$), $x < 0$: $\cos = -\dfrac{\sqrt3}2$.

$(3)$ $\dfrac{5\pi}3$은 4사분면(참조각 $\dfrac\pi3$), $x > 0$, $y < 0$: $\tan = \dfrac{-\sqrt3/2}{1/2} = -\sqrt3$.

절차는 한결같다: 사분면 → 참조각 → 좌표 부호.

$(1)$ $\dfrac{5\pi}4$ is in quadrant III (reference $\dfrac\pi4$), $y < 0$: $\sin = -\dfrac{\sqrt2}2$.

$(2)$ $\dfrac{7\pi}6$ is in quadrant III (reference $\dfrac\pi6$), $x < 0$: $\cos = -\dfrac{\sqrt3}2$.

$(3)$ $\dfrac{5\pi}3$ is in quadrant IV (reference $\dfrac\pi3$), $x > 0$, $y < 0$: $\tan = \dfrac{-\sqrt3/2}{1/2} = -\sqrt3$.

One steady procedure: quadrant → reference angle → coordinate signs.

$(1)$ $\dfrac{17\pi}6 - 2\pi = \dfrac{5\pi}6$ — 한 바퀴를 벗기면 같은 동경이다:

$(2)$ $-\dfrac\pi3$은 시계 방향 $60°$ — 4사분면, $x > 0$:

$2\pi$ 더하고 빼기는 값을 바꾸지 않는다 — 동경이 같기 때문이고, 이것이 "주기 $2\pi$"의 정체다.

$(1)$ $\dfrac{17\pi}6 - 2\pi = \dfrac{5\pi}6$ — peel off a full turn; the ray is unchanged:

$(2)$ $-\dfrac\pi3$ turns $60°$ clockwise — quadrant IV, $x > 0$:

Adding or subtracting $2\pi$ never changes the value — same ray, and that is what "period $2\pi$" means.

단위원 위의 점 $P(\cos\theta, \sin\theta)$에서 $x$축으로 수선을 내리면, 밑변이 $x$좌표, 높이가 $y$좌표, 빗변이 반지름 $1$인 직각삼각형이 생긴다. 직각삼각형 정의로 읽으면

— 좌표가 곧 그 비율이다. 빗변이 $1$이 아닌 다른 직각삼각형이라도, 닮음(AA)에 의해 비율은 같으므로 어떤 삼각형으로 재도 값이 일치한다 — 기하에서 "삼각비가 삼각형 크기와 무관"했던 바로 그 이유다.

요컨대 단위원 정의는 옛 정의에서 빗변을 $1$로 표준화한 것이고, 그 대가로 직각삼각형이 필요 없어져 모든 각으로 확장된다 — 정의가 넓어질 때 옛 영토에서 값이 달라지지 않는 것("보수적 확장")은 유리 지수 때와 같은 설계 원칙이다.

Drop a perpendicular from $P(\cos\theta, \sin\theta)$ to the $x$-axis: a right triangle appears with base $x$, height $y$, hypotenuse the radius $1$. Reading the old definition:

— the coordinates are those very ratios. Any other right triangle with the same angle is similar (AA), so its ratios agree — precisely why geometry found the trig ratios independent of triangle size.

In short, the unit-circle definition standardizes the hypotenuse to $1$, and in exchange sheds the right triangle altogether, extending to every angle — with values unchanged on the old territory. A conservative extension: the same design principle as rational exponents.

원점을 지나는 직선의 기울기는 $\dfrac{y}{x}$ — 동경 위의 점 $P(\cos\theta, \sin\theta)$로 계산하면

정의되지 않는 각은 분모 $\cos\theta = 0$인 곳 — 동경이 수직($y$축 위)일 때다:

수직선에 기울기가 없다는 대수 1의 사실과 정확히 포개진다 — $\tan$의 결번은 수직 동경의 결번이다. 덤: 기울기 $m$인 직선이 $x$축 양의 방향과 이루는 각 $\theta$에 대해 $m = \tan\theta$ — 직선의 기하가 삼각함수의 언어를 얻는다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 기울기 계산 (1점)
• $\cos\theta = 0$ 조건 (1점)
• $\frac\pi2 + k\pi$ 완전 목록 (1점)

A line through the origin has slope $\dfrac{y}{x}$ — computed at $P(\cos\theta, \sin\theta)$:

Undefined where the denominator $\cos\theta = 0$ — the ray vertical (on the $y$-axis):

This aligns exactly with Algebra 1's "vertical lines have no slope" — tangent's missing angles are the vertical rays. Bonus: a line of slope $m$ makes angle $\theta$ with the positive $x$-axis where $m = \tan\theta$ — line geometry acquires trigonometric language.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• The slope computation (1 pt)
• The condition $\cos\theta = 0$ (1 pt)
• The complete list $\frac\pi2 + k\pi$ (1 pt)

점 $(\cos\theta, \sin\theta)$는 단위원 — 원의 방정식 위에 있다.

The point $(\cos\theta, \sin\theta)$ lies on the unit circle — on the circle's equation.

점 $(\cos\theta, \sin\theta)$는 단위원 $x^2 + y^2 = 1$ 위에 있다:

2사분면은 $x < 0$ — $\cos\theta = -\dfrac45$. 따라서

검산: $\left(-\frac45\right)^2 + \left(\frac35\right)^2 = 1$ ✓ — $3$-$4$-$5$ 삼각형이 2사분면에 누워 있다. 원의 방정식이 두 좌표를 묶는 이 관계는 다음 차시에 "피타고라스 항등식"이라는 이름을 얻는다.

The point $(\cos\theta, \sin\theta)$ satisfies $x^2 + y^2 = 1$:

Quadrant II has $x < 0$ — so $\cos\theta = -\dfrac45$, and

Check: $\left(-\frac45\right)^2 + \left(\frac35\right)^2 = 1$ ✓ — a $3$-$4$-$5$ triangle lying in quadrant II. This circle-equation bond between the coordinates earns a name next lesson: the Pythagorean identity.

둘레 $= 2r + l$ — 넓이를 $r$만의 식으로 만들면 낯익은 함수가 나온다.

Perimeter $= 2r + l$ — write the area in $r$ alone and a familiar function appears.

둘레 조건: $2r + l = 20$, 곧 $l = 20 - 2r$ ($0 < r < 10$). 넓이는

— $r$의 이차함수! 꼭짓점에서 최대: $r = 5$, $S = 25$. 이때 $l = 10$이고

검산: $S = \frac12 \cdot 25 \cdot 2 = 25$ ✓. 최적의 부채꼴은 호와 두 반지름이 $10 = 10$으로 절반씩 나누는 모양 — 그리고 그 답이 도로 환산하면 $2 \,\text{rad} \approx 114.6°$라는 "예쁘지 않은" 각이라는 것이 라디안이 자연 단위라는 또 하나의 증거다.

Perimeter: $2r + l = 20$, so $l = 20 - 2r$ (with $0 < r < 10$). The area:

— quadratic in $r$! Maximum at the vertex: $r = 5$, $S = 25$, whence $l = 10$ and

Check: $S = \frac12 \cdot 25 \cdot 2 = 25$ ✓. The optimal sector splits its perimeter evenly — arc $10$, radii $10$ — and the answer being the "un-pretty" $2 \,\text{rad} \approx 114.6°$ is one more witness that radians are the natural unit.

시침도 움직인다 — 30분 동안 몇 도를 가는가.

The hour hand moves too — how many degrees in $30$ minutes?

분침: $30$분이면 반 바퀴 — $12$시 방향에서 $180°$.

시침: 한 시간에 $30°$를 가므로 $3$시 $30$분엔 $3.5 \times 30° = 105°$.

차이는 $180° - 105° = 75°$ — 라디안으로

함정은 시침을 $3$시 자리($90°$)에 세워 두는 것 — 시침은 $30$분 동안 $15°$를 더 간다. ($90°$로 두면 같은 답이 되는 우연조차 없다: $180 - 90 = 90° \ne 75°$.)

Minute hand: $30$ minutes is half a turn — $180°$ from $12$.

Hour hand: $30°$ per hour, so at $3{:}30$ it sits at $3.5 \times 30° = 105°$.

The gap is $180° - 105° = 75°$ — in radians,

The trap is parking the hour hand at the $3$ ($90°$) — it advances another $15°$ during those $30$ minutes ($180 - 90 = 90° \ne 75°$: not even accidentally right).

$7.2°$가 $360°$의 몇 분의 일인지 — 호 $800\,\mathrm{km}$가 전체 둘레의 같은 몫이다.

What fraction of $360°$ is $7.2°$ — the $800\,\mathrm{km}$ arc is the same fraction of the circumference.

태양 광선은 평행하므로, 그림자 각도의 차 $7.2°$는 곧 두 도시 사이의 중심각이다(엇각). $7.2° = \dfrac{360°}{50}$이므로 호 $800\,\mathrm{km}$는 둘레의 $\dfrac1{50}$:

반지름은 $l = r\theta$로 — $\theta = 7.2° = \dfrac{7.2\pi}{180} = \dfrac{\pi}{25}$ rad:

검산: $2\pi r = 2\pi \cdot \frac{20000}\pi = 40000$ ✓. 기원전 3세기에 에라토스테네스가 막대기 그림자와 이 비례 하나로 지구 크기를 쟀다 — 실제 평균 반지름 $6371\,\mathrm{km}$과 놀랍도록 가깝다. $l = r\theta$는 행성을 재는 공식이기도 하다.

Sunrays are parallel, so the $7.2°$ difference in shadow angles equals the central angle between the cities (alternate angles). Since $7.2° = \dfrac{360°}{50}$, the $800\,\mathrm{km}$ arc is $\dfrac1{50}$ of the circumference:

For the radius, use $l = r\theta$ with $\theta = 7.2° = \dfrac{7.2\pi}{180} = \dfrac{\pi}{25}$ rad:

Check: $2\pi r = 40000$ ✓. In the third century BC, Eratosthenes sized the Earth with stick shadows and this one proportion — astonishingly near the true mean radius of $6371\,\mathrm{km}$. $l = r\theta$ is also a formula for measuring planets.