삼각함수의 항등식Trigonometric Identities

피타고라스 항등식으로

— 1사분면은 $x > 0$이므로 $+$.

검산: $\frac19 + \frac89 = 1$ ✓.

By the Pythagorean identity,

— quadrant I has $x > 0$, so $+$.

Check: $\frac19 + \frac89 = 1$ ✓.

— 몫 항등식과 여각 공식($\cos(\frac\pi2 - \theta) = \sin\theta$) 한 번씩.

— the quotient identity and the cofunction identity ($\cos(\frac\pi2 - \theta) = \sin\theta$), once each.

$(1)$ 보각: $\sin\frac{5\pi}6 = \sin\!\left(\pi - \frac\pi6\right) = \sin\frac\pi6 = \frac12$.

$(2)$ 음각(짝함수): $\cos\left(-\frac\pi3\right) = \cos\frac\pi3 = \frac12$.

$(3)$ $\pi$ 더하기($\tan$ 유지): $\tan\frac{7\pi}6 = \tan\!\left(\pi + \frac\pi6\right) = \tan\frac\pi6 = \frac{\sqrt3}3$.

사분면 그림 없이도 대칭 공식이 부호까지 처리한다 — 지난 차시 절차의 대수판이다.

$(1)$ Supplement: $\sin\frac{5\pi}6 = \sin\!\left(\pi - \frac\pi6\right) = \sin\frac\pi6 = \frac12$.

$(2)$ Negative angle (even): $\cos\left(-\frac\pi3\right) = \cos\frac\pi3 = \frac12$.

$(3)$ Adding $\pi$ (tangent kept): $\tan\frac{7\pi}6 = \tan\!\left(\pi + \frac\pi6\right) = \tan\frac\pi6 = \frac{\sqrt3}3$.

No quadrant sketch needed — the symmetry formulas carry the signs themselves: last lesson's procedure, algebraized.

항등식: 각 $\theta$의 점 $(\cos\theta, \sin\theta)$는 단위원 위에 있고, 단위원의 방정식은 $x^2 + y^2 = 1$이다. 좌표를 대입하면

(원의 방정식 자체가 원점—점 사이 거리에 적용한 피타고라스 정리였다 — 이름의 출처.)

유도: $\cos\theta \ne 0$일 때 양변을 $\cos^2\theta$로 나누면

조건 $\cos\theta \ne 0$($\theta \ne \frac\pi2 + k\pi$)은 $\tan$의 정의역 그대로다. 같은 요령으로 $\sin^2\theta$로 나누면 $1 + \cot^2\theta = \frac1{\sin^2\theta}$도 나온다 — 한 항등식이 나눗셈 두 번으로 세 벌이 된다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 단위원 방정식 대입 (1점)
• $\cos^2$ 나누기 유도 (1점)
• 성립 조건 명시 (1점)

The identity: the point $(\cos\theta, \sin\theta)$ lies on the unit circle, whose equation is $x^2 + y^2 = 1$. Substituting the coordinates:

(The circle's equation was itself the Pythagorean theorem applied to the origin-to-point distance — the name's origin.)

The derivation: where $\cos\theta \ne 0$, divide by $\cos^2\theta$:

The condition $\cos\theta \ne 0$ ($\theta \ne \frac\pi2 + k\pi$) matches tangent's domain exactly. Dividing by $\sin^2\theta$ instead yields $1 + \cot^2\theta = \frac1{\sin^2\theta}$ — one identity, two divisions, three editions.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• Substitution into the circle's equation (1 pt)
• The divide-by-$\cos^2$ derivation (1 pt)
• Conditions stated (1 pt)

$(1)$ 각 $\pi - \theta$의 동경은 $\theta$의 동경을 $y$축에 반사한 것이다(둘의 합이 $\pi$ — $x$축 양방향과 음방향에서 같은 기울기로 벌어진 짝). 반사 공식 $(x, y) \mapsto (-x, y)$로

— 좌표를 비교하면 두 식이 동시에 나온다. $\blacksquare$

$(2)$ 각 $\frac\pi2 - \theta$는 $\theta$와 합이 $\frac\pi2$ — 두 동경은 $45°$선 $y = x$에 대해 서로 거울상이다. $y = x$ 반사는 좌표를 맞바꾸므로($(x, y) \mapsto (y, x)$, 역함수 단원의 그 반사)

— 특히 $\sin\left(\frac\pi2 - \theta\right) = \cos\theta$. $\blacksquare$

보각은 $y$축 거울, 여각은 $y = x$ 거울 — 공식 암기가 아니라 거울 선택의 문제다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 각 대칭의 동일시(반사축) (1점)
• 반사 공식 적용 (1점)
• 좌표 비교 결론 (1점)

$(1)$ The ray of $\pi - \theta$ is the ray of $\theta$ reflected across the $y$-axis (the two sum to $\pi$ — equal openings from the positive and negative $x$-directions). The reflection formula $(x, y) \mapsto (-x, y)$ gives

— both formulas at once, by comparing coordinates. $\blacksquare$

$(2)$ The angles $\frac\pi2 - \theta$ and $\theta$ sum to $\frac\pi2$ — their rays mirror each other across the $45°$ line $y = x$. That reflection swaps coordinates ($(x, y) \mapsto (y, x)$ — the inverse-functions reflection):

— in particular $\sin\left(\frac\pi2 - \theta\right) = \cos\theta$. $\blacksquare$

Supplements use the $y$-axis mirror, complements the $y = x$ mirror — not memorization but mirror selection.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• Identifying each symmetry's mirror (1 pt)
• Applying the reflection formulas (1 pt)
• Coordinate-comparison conclusions (1 pt)

제곱 트릭:

곱이 음수 — $\sin$과 $\cos$의 부호가 다른 2 또는 4사분면의 각이라는 정보까지 덤으로 나온다.

The squaring trick:

A negative product — bonus information that sine and cosine differ in sign: a quadrant II or IV angle.

제곱의 차로 인수분해:

여기에 $\cos^2\theta$를 더하면 $\sin^2\theta$.

4차식이 한 줄에 무너진 것은 합차 공식 덕 — 삼각 항등식의 절반은 대수 인수분해가 한다.

Factor as a difference of squares:

then add $\cos^2\theta$ to get $\sin^2\theta$.

A quartic collapsing in one line is the difference-of-squares formula's doing — half of trig identity work is algebra's factoring.

$\sin\theta\cos\theta$의 분모에 $1 = \sin^2\theta + \cos^2\theta$를 숨겨 넣어라.

Hide $1 = \sin^2\theta + \cos^2\theta$ in the denominator.

$1$을 피타고라스로 바꿔 분수로 만들고, 분자·분모를 $\cos^2\theta$로 나눈다:

사분면 정보가 없어도 답이 확정되는 이유: $\tan\theta = 2 > 0$이면 $\sin$·$\cos$이 같은 부호(1 또는 3사분면)라 곱은 어차피 양수다.

검산(1사분면 가정): $\cos^2 = \frac15$, $\sin^2 = \frac45$, 곱 $= \sqrt{\frac45 \cdot \frac15} = \frac2{5}$ ✓.

Rewrite $1$ via Pythagoras to make a fraction, then divide top and bottom by $\cos^2\theta$:

Why no quadrant is needed: $\tan\theta = 2 > 0$ forces sine and cosine to share a sign (quadrant I or III), so their product is positive either way.

Check (assuming quadrant I): $\cos^2 = \frac15$, $\sin^2 = \frac45$, product $= \sqrt{\frac45 \cdot \frac15} = \frac25$ ✓.

좌변을 통분한다:

(분자에서 $\sin^2 + \cos^2 = 1$). 분자를 $2(1 + \cos\theta)$로 묶으면 $(1 + \cos\theta)$가 약분되어

통분 → 피타고라스 → 약분: 유리식 다루기와 항등식 교환, 두 근육의 합동 작전이다. 조건 $\cos\theta \ne -1$이 약분의 허가증임도 확인해 두라.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 통분 (1점)
• 피타고라스로 분자 정리 (1점)
• 약분과 결론 (1점)

Combine the left side over a common denominator:

(using $\sin^2 + \cos^2 = 1$ in the numerator). Factor the numerator as $2(1 + \cos\theta)$ and cancel:

Common denominator → Pythagoras → cancel: rational-expression handling and identity trading, two muscles in joint operation. Note that $\cos\theta \ne -1$ is the cancellation's license.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• The common denominator (1 pt)
• Pythagorean cleanup of the numerator (1 pt)
• Cancellation and conclusion (1 pt)

세제곱의 차 공식 — 그리고 $\sin\theta\cos\theta$부터.

The difference-of-cubes formula — after finding $\sin\theta\cos\theta$.

먼저 제곱 트릭으로 곱을 구한다:

세제곱의 차 공식 $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$에 넣으면

곱셈 공식 시절의 대칭식 조작($a - b$와 $ab$로 모든 것을) — 삼각함수는 새 무대일 뿐, 배우는 그대로다.

First, the product via the squaring trick:

Now the difference of cubes, $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

Symmetric-expression handling from the multiplication-formula days (everything from $a - b$ and $ab$) — trigonometry is a new stage, the actors unchanged.

$1°$와 $89°$처럼 합이 $90°$인 짝을 지어라 — 여각 공식이 짝마다 무엇을 주는가.

Pair angles summing to $90°$, like $1°$ and $89°$ — what does the cofunction identity give each pair?

여각 공식으로 $\cos 89° = \sin 1°$ — 그러므로 합이 $90°$인 짝마다

$(1°, 89°), (2°, 88°), \dots, (44°, 46°)$의 $44$짝이 각각 $1$을 내고, 홀로 남은 $45°$는

합계: $44 + \dfrac12 = \dfrac{89}2$.

가우스의 짝짓기가 삼각함수 무대에서 재상연됐다 — 짝의 합을 상수로 만드는 도구가 등차의 대칭에서 여각 공식으로 바뀌었을 뿐이다.

By the cofunction identity, $\cos 89° = \sin 1°$ — so every pair summing to $90°$ yields

The $44$ pairs $(1°, 89°), (2°, 88°), \dots, (44°, 46°)$ contribute $1$ each; the solitary $45°$ adds

Total: $44 + \dfrac12 = \dfrac{89}2$.

Gauss's pairing, restaged in trigonometry — the tool making each pair constant has changed from arithmetic symmetry to the cofunction identity, nothing else.

좌변을 $\sin$·$\cos$으로 통일하면 놀랍도록 짧아진다.

Unify the left side into sines and cosines — it collapses surprisingly far.

좌변을 통일한다:

— 그러므로 $\sin\theta\cos\theta = \dfrac13$. 제곱 트릭을 거꾸로 쓰면

1사분면에서는 둘 다 양수이므로 $+$: $\dfrac{\sqrt{15}}{3}$.

$\tan + \cot = \dfrac1{\sin\cos}$이라는 통일 결과는 자주 쓰이는 지름길이니 유도째 기억해 두라.

Unify:

— hence $\sin\theta\cos\theta = \dfrac13$. Run the squaring trick backwards:

Quadrant I makes both positive, so $+$: $\dfrac{\sqrt{15}}{3}$.

The collapsed form $\tan + \cot = \dfrac1{\sin\cos}$ recurs often — worth remembering with its derivation.

피타고라스로 $\sin^2$을 바꾸면 $\cos\theta$만의 이차식 — 단, $\cos\theta$의 범위가 있다.

Trade $\sin^2$ via Pythagoras for a quadratic in $\cos\theta$ alone — mind the range of $\cos\theta$.

$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$로 바꾸고 $c = \cos\theta$로 치환하면

꼭짓점 $c = 1$이 구간의 오른쪽 끝에 있으므로:

• 최댓값: $c = 1$($\theta = 2k\pi$)에서 $y = 2$
• 최솟값: 꼭짓점에서 먼 끝 $c = -1$($\theta = \pi + 2k\pi$)에서 $y = -4 + 2 = -2$

검산: $\theta = 0$에서 $0 + 2 = 2$ ✓, $\theta = \pi$에서 $0 - 2 = -2$ ✓.

피타고라스 교환 → 치환 → 제한된 정의역의 이차함수: 삼각 최대·최소의 표준 조립이고, 마지막 단은 이차함수 단원에서 세운 "꼭짓점이 구간 안인가"의 재상연이다.

Substitute $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ and set $c = \cos\theta$:

The vertex $c = 1$ sits at the interval's right end, so:

• Maximum: at $c = 1$ ($\theta = 2k\pi$), $y = 2$
• Minimum: at the far end $c = -1$ ($\theta = \pi + 2k\pi$), $y = -4 + 2 = -2$

Check: $\theta = 0$ gives $0 + 2 = 2$ ✓; $\theta = \pi$ gives $0 - 2 = -2$ ✓.

Pythagorean trade → substitution → quadratic on a restricted domain: the standard assembly for trig extrema, its final step a rerun of the quadratics unit's "is the vertex inside the interval?"