무리함수의 그래프Radical Functions

근호 안 $\ge 0$에서 정의역, 근호 값 $\ge 0$에서 치역. 원점에서 출발해 오른쪽 위로, 갈수록 완만하게 — $x^2$($x \ge 0$)의 역함수다운 이력서다.

Radicand $\ge 0$ gives the domain; root values $\ge 0$ the range. From the origin, up and to the right, ever flatter — the résumé of the inverse of $x^2$ ($x \ge 0$).

오른쪽 $4$, 위로 $1$ 이동 — 시작점 $(0,0) \to (4, 1)$. 오른쪽 위로 뻗으므로 정의역 $[4, \infty)$, 치역 $[1, \infty)$.

정의역 확인: $x - 4 \ge 0$ ✓ — 시작점 추적과 부등식 풀이가 같은 답을 준다.

Right $4$, up $1$ — endpoint $(0,0) \to (4, 1)$. Reaching up-right: domain $[4, \infty)$, range $[1, \infty)$.

Domain check: $x - 4 \ge 0$ ✓ — endpoint tracking and inequality solving agree.

홀수근은 음수도 받으므로 정의역이 $(-\infty, \infty)$. $\sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x}$ — 홀함수, 원점 대칭.

$\sqrt x$가 "반쪽 세계"($x \ge 0$)에 사는 것과 달리 $\sqrt[3]x$는 전 실수를 산다 — $x^3$이 (제한 없이) 일대일이라 역함수도 제한이 필요 없었던 것이다.

Odd roots accept negatives: domain $(-\infty, \infty)$. And $\sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x}$ — odd, origin-symmetric.

Where $\sqrt x$ inhabits a half-world ($x \ge 0$), $\sqrt[3]x$ lives on the whole line — $x^3$ was one-to-one without restriction, so its inverse needed none.

$\sqrt{-(x - 2)}$ — $y$축 반사 후 오른쪽 $2$: 시작점 $(2, 0)$에서 왼쪽으로 뻗는다.

정의역: $2 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 2$ ✓ — 그래프의 방향과 부등호의 방향이 일치한다. 안쪽 $-$ 하나가 곡선의 나침반을 뒤집는다.

$\sqrt{-(x - 2)}$ — a $y$-axis reflection then right $2$: from $(2, 0)$ the curve reaches leftward.

Domain: $2 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 2$ ✓ — the graph's direction and the inequality's direction agree. One inside minus flips the curve's compass.

시작점에서 $h = 1$, $k = -2$:

$(5, 2)$ 대입: $2 = a\sqrt4 - 2 = 2a - 2 \Rightarrow a = 2$:

포물선의 꼭짓점꼴, 유리함수의 점근선꼴과 같은 문법이다 — 특징점(시작점)이 주어지면 그 옷을 입고, 남는 $a$를 점 하나로 정한다.

The endpoint gives $h = 1$, $k = -2$:

Substituting $(5, 2)$: $2 = 2a - 2 \Rightarrow a = 2$:

The same grammar as vertex form for parabolas and asymptote form for rationals — given the landmark, wear that form; one point fixes the remaining $a$.

두 함수는 서로 역함수다 — 제한된 제곱 함수는 일대일이고, 그 대응을 뒤집은 것이 제곱근 함수다($y = x^2, x \ge 0 \iff x = \sqrt y$).

역함수 차시의 정리: $(a, b)$가 한 그래프에 있으면 $(b, a)$가 다른 그래프에 있고, 좌표 교환 $(a, b) \mapsto (b, a)$는 직선 $y = x$에 대한 반사다 — 점 전부가 반사되므로 그래프 전체가 대칭이다.

확인 한 쌍: $(3, 9)$는 $x^2$ 위, $(9, 3)$은 $\sqrt x$ 위 ✓. "$\sqrt x$가 갈수록 완만해지는" 성질도 이 대칭의 그림자다 — $x^2$이 갈수록 가팔라지는 것의 거울상이기 때문이다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 설명도 만점)

• 역함수 관계 지적(제한 포함) (1점)
• $(a,b) \leftrightarrow (b,a)$ 대응 (1점)
• 좌표 교환 = $y = x$ 반사 (1점)

The two functions are inverses — the restricted squaring function is one-to-one, and reversing its assignment yields the square root ($y = x^2, x \ge 0 \iff x = \sqrt y$).

By the inverse functions lesson: whenever $(a, b)$ is on one graph, $(b, a)$ is on the other, and the swap $(a, b) \mapsto (b, a)$ is reflection across $y = x$ — every point reflects, so the whole graphs are mirror images.

A checking pair: $(3, 9)$ on $x^2$, $(9, 3)$ on $\sqrt x$ ✓. Even "$\sqrt x$ flattens as it goes" is this symmetry's shadow — the mirror image of $x^2$ steepening.

Rubric (any logically correct explanation earns full credit)

• The inverse relationship, restriction included (1 pt)
• The $(a,b) \leftrightarrow (b,a)$ correspondence (1 pt)
• Swap $=$ reflection across $y = x$ (1 pt)

시작점 $(-2, 3)$, $a = -1 < 0$이라 아래로 뻗는다 — 최고값이 시작점의 $3$이고 그 아래 전부:

식으로도: $\sqrt{x+2} \ge 0$이므로 $-\sqrt{x+2} \le 0$, 곧 $y \le 3$ — 등호는 $x = -2$에서 달성 ✓.

Endpoint $(-2, 3)$ with $a = -1 < 0$ — reaching downward: the maximum is the endpoint's $3$, and everything below:

By formula too: $\sqrt{x+2} \ge 0$ gives $-\sqrt{x+2} \le 0$, so $y \le 3$ — equality attained at $x = -2$ ✓.

곡선 $y = \sqrt x$와 직선 $y = \frac x2$는 원점에서 만나고, 완만해지는 곡선을 직선이 다시 따라잡는 한 점에서 또 만난다.

대수 확인 — 제곱:

검사: $\sqrt4 = 2 = \frac42$ ✓, $\sqrt0 = 0$ ✓ — 이번에는 둘 다 진짜 해다. 제곱 조작이 언제 가짜를 낳는지가 다음 차시의 질문이 된다.

The curve $y = \sqrt x$ and the line $y = \frac x2$ meet at the origin, then once more where the line catches the flattening curve.

Algebraic check — square:

Verify: $\sqrt4 = 2 = \frac42$ ✓ and $\sqrt0 = 0$ ✓ — both genuine this time. When squaring does breed fakes becomes next lesson's question.

$\sqrt[3]{t}$는 홀함수 — 원점에 대해 점대칭이다. 오른쪽 $1$, 위로 $2$ 이동하면 대칭의 중심도 함께 이사한다:

확인: $f(1 + t) + f(1 - t) = (\sqrt[3]t + 2) + (-\sqrt[3]t + 2) = 4 = 2 \times 2$ ✓ — 모든 $t$에서 평균이 $2$.

삼차함수, 유리함수에 이어 세 번째 재상연이다 — **"이동된 홀함수는 이동된 중심을 갖는다"**는 원리는 가족을 가리지 않고, 이제는 한 문장으로 처리할 수 있는 표준 논증이 됐다.

$\sqrt[3]{t}$ is odd — point-symmetric about the origin. Shifting right $1$, up $2$ relocates the center along:

Confirm: $f(1 + t) + f(1 - t) = (\sqrt[3]t + 2) + (-\sqrt[3]t + 2) = 4 = 2 \times 2$ ✓ — averaging $2$ for every $t$.

The third revival, after cubics and rationals — "a shifted odd function has a shifted center" respects no family lines, and is by now a one-sentence standard argument.

$t = \sqrt x \ge 0$으로 치환하면 $t$의 이차방정식이 된다 — 음이 아닌 근의 개수를 세어라.

Substitute $t = \sqrt x \ge 0$ for a quadratic in $t$ — count its nonnegative roots.

$x + k = \sqrt x$에서 $t = \sqrt x \ge 0$으로 치환하면 $x = t^2$:

교점 개수 $=$ 이 방정식의 음이 아닌 근의 개수다. $D = 1 - 4k$, 두 근의 합 $1 > 0$, 곱 $k$:

• $k > \frac14$: $D < 0$ — 실근 없음 → $0$개
• $k = \frac14$: 중근 $t = \frac12 \ge 0$ → $1$개(접함)
• $0 \le k < \frac14$: 두 실근, 곱 $k \ge 0$·합 $1 > 0$이라 둘 다 음 아님 → $2$개
• $k < 0$: 곱이 음 — 부호가 다른 두 근 중 양근 하나만 유효 → $1$개

검산: $k = 0$이면 $t = 0, 1$ → 교점 $(0,0)$, $(1,1)$ ✓. 치환·판별식·근과 계수(부호 판정)가 한 문제에 총출동했다 — 직선을 위에서 내려 보내며 곡선을 스치는 그림과 정확히 맞는다.

From $x + k = \sqrt x$, substitute $t = \sqrt x \ge 0$ (so $x = t^2$):

Intersections $=$ nonnegative roots of this quadratic. $D = 1 - 4k$; root sum $1 > 0$, product $k$:

• $k > \frac14$: $D < 0$ — none → $0$
• $k = \frac14$: double root $t = \frac12 \ge 0$ → $1$ (tangency)
• $0 \le k < \frac14$: two real roots with product $\ge 0$ and sum $> 0$ — both nonnegative → $2$
• $k < 0$: negative product — roots of opposite sign, only the positive counts → $1$

Check: $k = 0$ gives $t = 0, 1$ — intersections $(0,0)$, $(1,1)$ ✓. Substitution, discriminant, and Vieta (sign reading) all reporting for one problem — matching exactly the picture of a line lowered past a curve.

치역은 $y^2$을 계산해 보면 보인다 — 교차항에 무엇이 남는가.

The range shows itself in $y^2$ — watch what survives in the cross term.

정의역: $x + 1 \ge 0$과 $3 - x \ge 0$의 교집합 — $[-1, 3]$.

치역: $y > 0$이므로 $y^2$을 본다:

근호 안 $(x+1)(3-x)$는 절편 $-1$, $3$의 아래로 벌어진 포물선 — 구간 $[-1, 3]$에서 최소 $0$(양 끝), 최대는 축 $x = 1$에서 $2 \times 2 = 4$. 따라서

검산: $x = -1$에서 $f = 0 + 2 = 2$ ✓, $x = 1$에서 $f = \sqrt2 + \sqrt2 = 2\sqrt2$ ✓. 근호 둘의 합은 제곱해서 다루는 것이 정석 — 교차항이 이차함수 최적화로 넘어가는 다리가 된다.

Domain: intersect $x + 1 \ge 0$ and $3 - x \ge 0$ — $[-1, 3]$.

Range: with $y > 0$, examine $y^2$:

The radicand $(x+1)(3-x)$ is a downward parabola with intercepts $-1$, $3$ — on $[-1, 3]$ its minimum is $0$ (the ends) and its maximum $2 \times 2 = 4$ at the axis $x = 1$. Hence

Check: $f(-1) = 0 + 2 = 2$ ✓, $f(1) = \sqrt2 + \sqrt2 = 2\sqrt2$ ✓. Sums of two radicals are handled by squaring — the cross term bridging into quadratic optimization.

우변의 부호로 경우를 나눠라 — 음수보다는 근호가 항상 크다.

Split by the right side's sign — a radical always beats a negative.

정의역은 $x \ge -3$. 우변의 부호로 나눈다.

우변이 음수 ($-3 \le x < -1$): 좌변 $\ge 0 >$ 우변 — 항상 성립.

우변이 $0$ 이상 ($x \ge -1$): 양변이 음이 아니므로 제곱해도 동치:

$x \ge -1$과 겹치면 $-1 \le x < 1$.

합치면 $[-3, -1) \cup [-1, 1) = [-3, 1)$:

검산: $x = 0$: $\sqrt3 > 1$ ✓; $x = 1$: $2 > 2$ ✗(경계 제외 확인); $x = -2$: $1 > -1$ ✓. 무리부등식은 부호 경우 나누기가 먼저, 제곱은 그다음 — 음수 쪽을 제곱하면 부등호가 망가진다.

The domain is $x \ge -3$. Split on the right side's sign.

Right side negative ($-3 \le x < -1$): left $\ge 0 >$ right — always true.

Right side $\ge 0$ ($x \ge -1$): both sides nonnegative, so squaring is an equivalence:

intersected with $x \ge -1$: $-1 \le x < 1$.

Union: $[-3, -1) \cup [-1, 1) = [-3, 1)$:

Check: $x = 0$: $\sqrt3 > 1$ ✓; $x = 1$: $2 > 2$ ✗ (boundary rightly excluded); $x = -2$: $1 > -1$ ✓. Radical inequalities go sign cases first, squaring second — squaring across a negative wrecks the inequality.

(1) $d = \sqrt{2Rh} \propto \sqrt h$ — $h$가 $4$배면

높이의 이득은 제곱근으로 깎여 들어온다 — 두 배 멀리 보려면 네 배 높이 올라가야 한다.

(2)

원 단원(방멱)에서 $d^2 = h(h + 2R) \approx 2Rh$로 유도했던 그 공식이다 — 무리함수 $\sqrt h$의 "갈수록 완만해지는" 그래프가, 높이 투자 대비 시야 이득의 체감을 정확히 그린다.

(1) $d = \sqrt{2Rh} \propto \sqrt h$ — quadruple $h$ and

Height's payoff arrives square-rooted — seeing twice as far costs four times the climb.

(2)

The very formula derived in the circle unit ($d^2 = h(h + 2R) \approx 2Rh$) — and the radical graph's "ever flatter" shape draws precisely the diminishing returns of altitude on view.