거듭제곱근과 유리 지수nth Roots & Rational Exponents

(1) $3^3 = 27$. (2) 짝수근 기호는 양수: $2$($-2$가 아니다). (3) 홀수근은 음수도 받는다: $(-5)^3 = -125$.

홀수근은 부호를 통과시키고, 짝수근 기호는 양수만 가리킨다 — 두 규칙이 전부다.

(1) $3^3 = 27$. (2) Even-index symbols are positive: $2$ (not $-2$). (3) Odd roots accept negatives: $(-5)^3 = -125$.

Odd roots pass the sign through; even-root symbols point only at positives — the whole rulebook.

근 먼저, 거듭제곱 나중:

음수 지수는 역수 — 정수 지수 때의 규칙이 그대로 산다.

Root first, power second:

Negative exponents mean reciprocals — the integer-exponent rule survives intact.

$\sqrt{a^2} = a$라면 좌변 $3$, 우변 $-3$ — 틀린다. 짝수근 기호가 항상 음이 아닌 값을 가리키므로 옳은 항등식은 $\sqrt{a^2} = |a|$다. 절댓값이 필요해지는 순간이 바로 여기다.

If $\sqrt{a^2} = a$, the left side is $3$ and the right $-3$ — false. Since the even-root symbol always names a nonnegative value, the correct identity is $\sqrt{a^2} = |a|$ — precisely where absolute values become necessary.

지수의 덧셈·곱셈·뺄셈 — 분수 산수가 근호 계산을 대신한다.

Add, multiply, subtract exponents — fraction arithmetic standing in for radical work.

지수로 번역해 더한다:

서로 다른 근호의 곱은 지수의 세계를 경유하는 것이 정석이다 — 분모의 최소공배수($6$)가 최종 근호의 지수가 된다.

Translate to exponents and add:

Products of unlike radicals route through exponent country — the denominators' LCM ($6$) becomes the final index.

유리 지수를 어떻게 정의하든, 기존 지수법칙 — 특히 $(a^p)^q = a^{pq}$ — 이 계속 성립하기를 원한다. 그 요구가 정의를 결정한다:

— $a^{1/n}$은 "$n$제곱하면 $a$"인 수여야 하고, ($a > 0$에서 그런 양수는 하나뿐이므로) $\sqrt[n]{a}$일 수밖에 없다.

새 개념의 정의를 "옛 법칙이 깨지지 않도록" 고르는 것 — $a^0 = 1$과 $a^{-n} = \frac1{a^n}$을 정할 때(Algebra 1) 썼던 것과 같은 원리이고, 수학이 정의를 확장하는 표준 문법이다. 정의는 자유지만, 좋은 정의는 법칙이 강제한다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 설명도 만점)

• "법칙 보존" 요구의 명시 (1점)
• $(a^{1/n})^n = a$ 계산 (1점)
• 양수 근의 유일성으로 결론 (1점)

However rational exponents are defined, we demand the old laws — especially $(a^p)^q = a^{pq}$ — keep holding. That demand settles the definition:

— so $a^{1/n}$ must be a number whose $n$th power is $a$, and (for $a > 0$, where exactly one positive such number exists) it can only be $\sqrt[n]{a}$.

Choosing a new concept's definition "so the old laws never break" — the same principle that fixed $a^0 = 1$ and $a^{-n} = \frac1{a^n}$ in Algebra 1, and mathematics' standard grammar for extending definitions. Definitions are free; good definitions are forced by the laws.

Rubric (any logically correct explanation earns full credit)

• Stating the law-preservation demand (1 pt)
• The $(a^{1/n})^n = a$ computation (1 pt)
• Uniqueness of the positive root concluding it (1 pt)

양수이므로 $6$제곱해도 대소가 보존된다:

$25 < 27$이므로 $\sqrt[3]{5} < \sqrt{3}$.

지수 $\frac13$, $\frac12$의 분모 최소공배수만큼 거듭제곱 — 근호 비교의 만능 열쇠다. ($\sqrt[3]5 \approx 1.71$, $\sqrt3 \approx 1.732$ — 근소한 차라 어림으로는 위험했다.)

Both positive, so raising to the $6$th preserves order:

Since $25 < 27$: $\sqrt[3]{5} < \sqrt{3}$.

Raise to the LCM of the index denominators — the master key of radical comparison. ($\sqrt[3]5 \approx 1.71$ against $\sqrt3 \approx 1.732$ — too close to trust estimation.)

분모를 $\sqrt[3]{8} = 2$로 만들 짝을 찾는다 — $4 \times 2 = 8$이므로 $\sqrt[3]2$를 곱한다:

제곱근 유리화가 "제곱 완성"이었다면 세제곱근은 세제곱 완성 — 분모의 근호 안을 완전세제곱수로 채우는 짝을 곱한다. ($\sqrt[3]4 = 2^{2/3}$이므로 $2^{1/3}$을 곱해 $2^1$을 만든다고 읽어도 같다.)

Find the partner making the denominator $\sqrt[3]{8} = 2$ — since $4 \times 2 = 8$, multiply by $\sqrt[3]2$:

Square-root rationalizing completed a square; cube roots complete a cube — multiply by the partner filling the radicand to a perfect cube. (In exponents: $\sqrt[3]4 = 2^{2/3}$, so multiply by $2^{1/3}$ to reach $2^1$.)

$\frac13 = \frac26$이므로 두 식은 같은 값이어야 한다. 그런데 규칙대로 계산하면

— $-2 \ne 2$. 분수를 약분하기 전과 후의 값이 다르다 — 표현에 의존하는 "정의"는 정의로서 실격이다.

문제의 근원은 짝수 지수를 거치는 순간 부호 정보($-8$의 음)가 소실된다는 것 — $(-8)^2 = 64$는 $8^2$과 같아져 되돌릴 수 없다. 양의 밑에서는 이런 소실이 없어 모든 표현이 같은 값을 주므로, 유리 지수의 나라는 양의 밑으로 국경을 정한 것이다. 홀수 근호 $\sqrt[3]{-8} = -2$는 근호 표기로만 쓰면 아무 모순이 없다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 설명도 만점)

• 두 계산의 충돌 (1점)
• "표현 의존은 정의 실격" 논지 (1점)
• 부호 소실(짝수 지수)의 원인 진단 (1점)

Since $\frac13 = \frac26$, the two expressions must agree. Yet computing by the rules,

— $-2 \ne 2$. The value differs before and after reducing the fraction — a "definition" depending on notation is disqualified as a definition.

The root cause: passing through an even power destroys sign information — $(-8)^2 = 64$ coincides with $8^2$, irreversibly. Positive bases suffer no such loss, so every representation agrees — hence the border of rational-exponent country is drawn at positive bases. The odd radical $\sqrt[3]{-8} = -2$, kept in radical notation, causes no contradiction at all.

Rubric (any logically correct explanation earns full credit)

• The clash of the two computations (1 pt)
• The "notation-dependent means disqualified" thesis (1 pt)
• Diagnosing the sign loss at even powers (1 pt)

밑을 $2$로 통일한다:

검산: $4^{3/2} = \left(\sqrt4\right)^3 = 8$ ✓. "밑 통일 → 지수 비교"가 지수방정식의 기본기다 — 밑이 통일되지 않는 경우($2^x = 5$ 따위)를 다루는 도구(로그)가 다음 단원에서 온다.

Unify the base to $2$:

Check: $4^{3/2} = \left(\sqrt4\right)^3 = 8$ ✓. "Unify the base, compare exponents" is the exponential equation's basic form — the tool for un-unifiable bases ($2^x = 5$ and kin) arrives next unit under the name logarithm.

안쪽부터 지수로 번역한다:

검산: $\left(2^{3/4}\right)^4 = 2^3 = 8$이고 $\left(\sqrt{2\sqrt2}\right)^4 = (2\sqrt2)^2 = 8$ ✓.

겹친 근호는 안에서 밖으로 지수를 쌓는 문제일 뿐이다 — 근호의 사다리가 지수의 곱셈으로 평탄해진다.

Translate from the inside out:

Check: $\left(2^{3/4}\right)^4 = 8$ and $\left(\sqrt{2\sqrt2}\right)^4 = (2\sqrt2)^2 = 8$ ✓.

Nested radicals are just exponents stacked inside-out — the ladder of roots flattened by exponent multiplication.

$(1 + \sqrt2)^2$을 전개해 보라.

Try expanding $(1 + \sqrt2)^2$.

후보를 제곱해 본다:

$1 + \sqrt2 > 0$이므로

일반 요령: $\sqrt{(a + b) + 2\sqrt{ab}} = \sqrt a + \sqrt b$ — 안쪽을 "합 $+ 2\sqrt{\text{곱}}$"으로 읽고, 합이 $3$·곱이 $2$인 두 수($1$과 $2$)를 찾으면 된다. 겹근호 벗기기(denesting)는 곱셈 공식 $(\sqrt a + \sqrt b)^2$을 거꾸로 읽는 기술이다.

Square the candidate:

and $1 + \sqrt2 > 0$, so

The general recipe: $\sqrt{(a + b) + 2\sqrt{ab}} = \sqrt a + \sqrt b$ — read the inside as "sum $+ 2\sqrt{\text{product}}$" and hunt two numbers with sum $3$, product $2$ (namely $1$ and $2$). Denesting is the expansion $(\sqrt a + \sqrt b)^2$ read backwards.

지수를 공통 인수로 묶어라 — $100$과 $60$의 최대공약수는?

Bundle the exponents by a common factor — what is $\gcd(100, 60)$?

지수의 최대공약수 $20$으로 묶는다:

같은 지수 $20$이므로 밑끼리 비교 — $32 > 27$:

근호 비교의 공통 지수 전략이 거대 지수에서도 그대로다 — 지수를 맞추고 밑을 겨루게 한다. $100$자리가 넘는 두 수의 대소가 $32$ 대 $27$의 산수로 내려앉았다.

Bundle by the gcd $20$:

Equal exponents $20$ — compare the bases: $32 > 27$:

The common-power strategy of radical comparison, unchanged at gigantic scale — match the exponents, let the bases duel. Two numbers of a hundred-plus digits, settled by $32$ versus $27$.