등차수열과 등비수열Arithmetic & Geometric Sequences

확인: $a_1 = 10 - 3 = 7$ ✓ — 일반항을 세우면 항상 $n = 1$을 넣어 검산하라.

Check: $a_1 = 10 - 3 = 7$ ✓ — after building a general term, always test $n = 1$.

공비 $r = \dfrac63 = 2$이므로

확인: $3, 6, 12, 24, 48, 96, 192$ — 일곱째 항 ✓.

The ratio is $r = \dfrac63 = 2$, so

Check: $3, 6, 12, 24, 48, 96, 192$ — the seventh term ✓.

$(1)$ 등차중항: $x = \dfrac{5 + 17}{2} = 11$.

$(2)$ 등비중항: $y^2 = 4 \cdot 25 = 100 \Rightarrow y = \pm 10$.

$y = 10$은 공비 $\frac52$, $y = -10$은 공비 $-\frac52$ — 둘 다 어엿한 등비수열이다($4, -10, 25$: 비가 $-\frac52$, $-\frac52$ ✓). 등차중항은 하나, 등비중항은 둘 — 대칭이 깨지는 지점이다.

$(1)$ Arithmetic mean: $x = \dfrac{5 + 17}{2} = 11$.

$(2)$ Geometric mean: $y^2 = 4 \cdot 25 = 100 \Rightarrow y = \pm 10$.

$y = 10$ gives ratio $\frac52$; $y = -10$ gives ratio $-\frac52$ — both are legitimate ($4, -10, 25$: ratios $-\frac52$, $-\frac52$ ✓). One arithmetic mean, two geometric means — where the symmetry breaks.

$a_n = 2 + (n-1) \cdot 7 = 7n - 5$. 부등식을 풀면

함정: $a_{15} = 7 \cdot 15 - 5 = 100$ — 정확히 $100$이라 "넘지" 못한다. 처음 넘는 항은

경계값이 딱 떨어질 때 등호의 유무를 다시 읽는 것 — 부등식 문제의 오랜 습관이 수열에도 그대로 온다.

$a_n = 2 + (n-1) \cdot 7 = 7n - 5$. Solving the inequality:

The trap: $a_{15} = 7 \cdot 15 - 5 = 100$ — exactly $100$, which does not "exceed." The first to exceed is

When the boundary lands exactly, reread the strictness of the inequality — an old habit from inequality problems, imported intact.

$a_8 - a_3 = 5d$이므로

따라서 $a_n = 4 + (n-1) \cdot 3 = 3n + 1$.

검산: $a_3 = 10$ ✓, $a_8 = 25$ ✓. 두 항의 차를 걸음 수로 나누는 것 — 두 점에서 기울기를 구하던 직선의 공식 그대로다($d = \frac{25 - 10}{8 - 3}$).

Since $a_8 - a_3 = 5d$,

so $a_n = 4 + (n-1) \cdot 3 = 3n + 1$.

Check: $a_3 = 10$ ✓, $a_8 = 25$ ✓. Dividing the gap by the number of steps — the two-point slope formula, verbatim ($d = \frac{25 - 10}{8 - 3}$).

검산: $3, 6, 12, 24, 48$ — $a_5 = 48$ ✓.

등차의 "차 나누기 걸음"이 등비에선 "비의 거듭제곱근"이 된다 — 덧셈 세계와 곱셈 세계의 평행 문법이다. ($r^3 = 8$은 실수 세제곱근이 하나뿐이라 $r = 2$ 확정 — 짝수 제곱이면 $\pm$을 물어야 한다.)

Check: $3, 6, 12, 24, 48$ — $a_5 = 48$ ✓.

Arithmetic's "gap over steps" becomes geometric's "root of the ratio" — parallel grammar in the additive and multiplicative worlds. (Since $r^3 = 8$ has one real cube root, $r = 2$ is settled — an even power would demand the $\pm$ question.)

등차의 일반항을 전개하면

— $n$의 일차함수로, 그래프는 기울기 $d$인 직선 위의 점들이다. 등비의 일반항

은 $n$의 지수함수(밑 $r$) 값들이다 — "한 걸음마다 같은 배율"이라는 지수함수의 정체성 그대로.

양수 등비수열에 로그를 씌우면 거듭제곱 법칙으로

— 첫째항 $\log a_1$, 공차 $\log r$인 등차수열이다. 로그가 곱셈을 덧셈으로 번역하는 기계이므로, 곱셈으로 자라는 수열은 로그 눈에는 덧셈으로 자라는 수열로 보인다. 지수·로그 단원과 이 단원은 연속 세계와 이산 세계에서 같은 구조를 다루고 있는 셈이다.

Expanding the arithmetic general term:

— linear in $n$: dots on a line of slope $d$. The geometric general term

samples an exponential in $n$ (base $r$) — the exponential's identity, "equal steps, equal factors," verbatim.

Apply a log to a positive geometric sequence; the power law gives

— arithmetic, with first term $\log a_1$ and common difference $\log r$. The logarithm translates multiplication into addition, so a sequence growing multiplicatively looks, through logarithmic eyes, like one growing additively. The exponential-log unit and this one study the same structure — there in the continuous world, here in the discrete.

세 수를 $a - d$, $a$, $a + d$로 놓으면 합에서 $a$가 즉시 나온다.

Write them as $a - d$, $a$, $a + d$ — the sum then hands over $a$ at once.

세 수를 $a - d,\ a,\ a + d$로 놓는다 — 등차의 대칭 설정이다.

합: $3a = 15 \Rightarrow a = 5$.

곱: $(5-d) \cdot 5 \cdot (5+d) = 5(25 - d^2) = 80 \Rightarrow d^2 = 9 \Rightarrow d = \pm 3$.

어느 쪽이든 세 수는 $\{2, 5, 8\}$ (순서만 반대).

검산: $2 + 5 + 8 = 15$ ✓, $2 \cdot 5 \cdot 8 = 80$ ✓. 대칭 설정 덕에 합이 $d$를 지우고 $a$만 남긴다 — 짝수 개면 $a \pm d$, $a \pm 3d$ 꼴로 같은 효과를 낸다.

Set the three as $a - d,\ a,\ a + d$ — the symmetric setup for arithmetic progressions.

Sum: $3a = 15 \Rightarrow a = 5$.

Product: $(5-d) \cdot 5 \cdot (5+d) = 5(25 - d^2) = 80 \Rightarrow d^2 = 9 \Rightarrow d = \pm 3$.

Either way the numbers are $\{2, 5, 8\}$ (order reversed at most).

Check: $2 + 5 + 8 = 15$ ✓, $2 \cdot 5 \cdot 8 = 80$ ✓. The symmetric setup lets the sum erase $d$ and surrender $a$ — with four terms, $a \pm d$, $a \pm 3d$ works the same magic.

이웃한 세 항 $a, b, c$에 두 중항 조건을 동시에 걸어라.

Impose both mean conditions on three consecutive terms $a, b, c$.

이웃한 세 항 $a, b, c$를 보자. 등차이므로 $b = \dfrac{a+c}{2}$, 등비이므로 $b^2 = ac$ (그리고 등비의 항은 $0$이 아니다). 첫 식을 둘째에 넣으면

그러면 $b = \dfrac{a + a}{2} = a$ — 세 항이 모두 같다. 이 논증이 모든 이웃한 세 항에 적용되므로 수열 전체가 한 값이다: 상수 수열. $\blacksquare$

핵심 등식 $(a-c)^2 = 0$은 산술평균과 기하평균이 같아지는 유일한 순간이 $a = c$라는 말 — 산술-기하 평균 부등식($\frac{a+c}2 \ge \sqrt{ac}$, 양수에서)의 등호 조건이 여기서 얼굴을 내민다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 두 중항 조건 설정 (1점)
• $(a-c)^2 = 0$ 도출 (1점)
• 전체 수열로 확장해 결론 (1점)

Take consecutive terms $a, b, c$. Arithmetic gives $b = \dfrac{a+c}{2}$; geometric gives $b^2 = ac$ (and no term is $0$). Substituting:

Then $b = \dfrac{a + a}{2} = a$ — all three agree. The argument applies to every consecutive triple, so the whole sequence is one value: constant. $\blacksquare$

The pivotal $(a-c)^2 = 0$ says the arithmetic and geometric means coincide only when $a = c$ — the equality condition of the AM–GM inequality ($\frac{a+c}2 \ge \sqrt{ac}$ for positives), showing its face.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• Both mean conditions set up (1 pt)
• Deriving $(a-c)^2 = 0$ (1 pt)
• Extending to the whole sequence (1 pt)

그런 수는 $2, 5, 8, \dots$ — 첫째항 $2$, 공차 $3$인 등차수열로 $a_n = 3n - 1$.

따라서 $33$개이고, 가장 큰 것은 $a_{33} = 3 \cdot 33 - 1 = 98$.

"개수 세기"가 일반항 뒤집기($n$에 대해 풀기)라는 것 — 등차수열은 세는 도구이기도 하다.

Such numbers run $2, 5, 8, \dots$ — arithmetic with first term $2$, difference $3$: $a_n = 3n - 1$.

So there are $33$, the largest being $a_{33} = 3 \cdot 33 - 1 = 98$.

Counting is inverting the general term (solving for $n$) — arithmetic sequences double as counting tools.

세 수를 $\dfrac ar$, $a$, $ar$로 놓으면 곱에서 $a$가 즉시 나온다.

Write them as $\dfrac ar$, $a$, $ar$ — the product then hands over $a$ at once.

세 수를 $\dfrac ar,\ a,\ ar$로 놓는다 — 등비의 대칭 설정.

곱: $\dfrac ar \cdot a \cdot ar = a^3 = 216 \Rightarrow a = 6$.

합: $\dfrac 6r + 6 + 6r = 19 \Rightarrow 6r + \dfrac6r = 13 \Rightarrow 6r^2 - 13r + 6 = 0$.

— 어느 쪽이든 세 수는 $\{4, 6, 9\}$.

검산: $4 \cdot 6 \cdot 9 = 216$ ✓, $4 + 6 + 9 = 19$ ✓. 등차의 $a \pm d$가 등비에선 $a r^{\pm 1}$이 된다 — 합이 $a$를 주던 자리를 곱이 대신한다.

Set them as $\dfrac ar,\ a,\ ar$ — the geometric symmetric setup.

Product: $\dfrac ar \cdot a \cdot ar = a^3 = 216 \Rightarrow a = 6$.

Sum: $\dfrac 6r + 6 + 6r = 19 \Rightarrow 6r + \dfrac6r = 13 \Rightarrow 6r^2 - 13r + 6 = 0$,

— either way the numbers are $\{4, 6, 9\}$.

Check: $4 \cdot 6 \cdot 9 = 216$ ✓, $4 + 6 + 9 = 19$ ✓. Arithmetic's $a \pm d$ becomes geometric's $a r^{\pm 1}$ — and the product takes over the sum's old job of surrendering $a$.

두 묶음은 항마다 번호가 $1$씩 밀려 있다 — 묶음 전체가 얼마나 이동했는가.

The second bundle shifts each index of the first by $1$ — how far does the whole bundle move?

둘째 묶음은 첫째 묶음의 각 항을 한 칸씩 민 것 — 항마다 $d$씩, 세 항이니 묶음 합은 $3d$ 차이:

셋째 묶음도 둘째에서 또 $3d$만큼 이동:

검산: $3a_1 + 9d = 39$에서 $a_1 = 19$ — 수열은 $19, 17, 15, \dots$이고 $a_3 + a_6 + a_9 = 15 + 9 + 3 = 27$ ✓.

항을 일일이 구하지 않고 묶음의 이동량만 좇는 것 — 등차의 선형성이 주는 지름길이다.

The second bundle shifts each term of the first one place — $d$ per term, three terms, so the bundle sums differ by $3d$:

The third bundle moves another $3d$ from the second:

Check: $3a_1 + 9d = 39$ gives $a_1 = 19$ — the sequence $19, 17, 15, \dots$ has $a_3 + a_6 + a_9 = 15 + 9 + 3 = 27$ ✓.

Chasing the bundle's displacement instead of individual terms — the shortcut linearity affords.

$a_1 a_9$, $a_2 a_8$, … — 가운데에서 같은 거리의 두 항을 짝지어 보라.

Pair $a_1 a_9$, $a_2 a_8$, … — terms equidistant from the middle.

가운데 항 $a_5$에서 같은 거리에 있는 두 항을 짝지으면

같은 이유로 $a_2 a_8 = a_3 a_7 = a_4 a_6 = a_5^2$. 짝 넷과 가운데 하나:

(양수 수열이므로 $9$제곱근은 하나뿐.)

등비중항 $b^2 = ac$의 일반화 — 가운데에서 등거리인 두 항의 곱은 일정하다. 등차에서 "등거리 두 항의 합이 일정"한 것의 곱셈판이고, 다음 차시에 가우스가 이 짝짓기로 등차의 합을 계산한다 — 여기서는 곱을, 거기서는 합을.

Pair terms equidistant from the middle term $a_5$:

and likewise $a_2 a_8 = a_3 a_7 = a_4 a_6 = a_5^2$. Four pairs plus the middle:

(Positivity makes the ninth root unique.)

This generalizes the geometric mean $b^2 = ac$ — products of terms equidistant from the center are constant. It is the multiplicative twin of arithmetic's "equidistant sums are constant," the very pairing Gauss uses next lesson to sum arithmetic series — products here, sums there.