이차부등식Quadratic Inequalities

절편 $1$, $5$의 위로 벌어진 포물선 — 양수는 절편 밖이다:

검산: $x = 0$에서 $(-1)(-5) = 5 > 0$ ✓, $x = 3$에서 $(2)(-2) = -4 < 0$ ✓.

An upward parabola with intercepts $1$ and $5$ — positive outside them:

Check: at $x = 0$, $(-1)(-5) = 5 > 0$ ✓; at $x = 3$, $(2)(-2) = -4 < 0$ ✓.

절편 $\pm 2$ 사이(경계 포함):

$\le$이므로 대괄호 — 절편에서 값이 정확히 $0$이라 "이하"를 만족한다.

Between the intercepts $\pm 2$, boundaries included:

Brackets because of $\le$ — at the intercepts the value is exactly $0$, satisfying "at most."

$x^2 + 9 \ge 9 > 0$ — 그래프 전체가 축 위 $9$ 이상에 떠 있다.

(1) 항상 성립 — 모든 실수. (2) 절대 성립하지 않음 — 해 없음.

같은 그래프가 부등호 방향에 따라 "전부"와 "없음"을 가른다.

$x^2 + 9 \ge 9 > 0$ — the whole graph floats at height $9$ or more.

(1) Always true — all reals. (2) Never true — no solution.

One graph, and the inequality's direction splits "everything" from "nothing."

인수분해: $(2x + 1)(x - 3) \ge 0$ — 절편 $-\dfrac12$, $3$의 밖(경계 포함):

검산: $x = 0$에서 $-3 < 0$(사이는 음수) ✓. 최고차계수 $2$는 폭만 바꿀 뿐 부호 무늬는 그대로다.

Factor: $(2x + 1)(x - 3) \ge 0$ — outside the intercepts $-\dfrac12$ and $3$, boundaries included:

Check: at $x = 0$, $-3 < 0$ (negative between) ✓. The leading $2$ changes only the width, never the sign pattern.

$0$ 기준으로 먼저 정리한다:

정리 없이 "양변 제곱근" 따위로 접근하면 길을 잃는다 — 이차부등식의 1단계는 언제나 한쪽을 $0$으로.

Rearrange against $0$ first:

Approaches like "square-root both sides" without rearranging lose the thread — step one of every quadratic inequality is zero on one side.

곱 $(x - p)(x - q)$의 부호는 두 인수의 부호 조합이 정한다.

• $x < p$: 두 인수 모두 음수 — 곱은 $(+)$.
• $p < x < q$: $x - p > 0$이지만 $x - q < 0$ — 부호가 갈려 곱은 $(-)$.
• $x > q$: 두 인수 모두 양수 — 곱은 $(+)$.

음수가 되는 곳은 두 인수의 부호가 어긋나는 사이 구간뿐이다 — $a > 0$을 곱해도 부호는 그대로이므로 해는 $p < x < q$.

그래프 독법("사이에서 축 아래")과 부호표 독법이 같은 답을 주는 것 — 포물선이 축 아래로 내려간다는 그림이, 인수 하나만 부호를 바꿨다는 대수와 같은 사실이기 때문이다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 설명도 만점)

• 세 구간의 부호 조합 (1점)
• "사이 = 부호 어긋남" 지적 (1점)
• 그래프 독법과의 일치 언급 (1점)

The product $(x - p)(x - q)$ takes its sign from the two factors' combination.

• $x < p$: both factors negative — product $(+)$.
• $p < x < q$: $x - p > 0$ but $x - q < 0$ — signs split, product $(-)$.
• $x > q$: both positive — product $(+)$.

Negativity happens only in the middle interval where the factors disagree — multiplying by $a > 0$ changes nothing, so the solution is $p < x < q$.

The graph reading ("below the axis between") and the sign-table reading give one answer — the picture of the parabola dipping under the axis is the algebra of exactly one factor having flipped sign.

Rubric (any logically correct explanation earns full credit)

• The three intervals' sign combinations (1 pt)
• "Between = disagreement" identified (1 pt)
• The match with the graph reading (1 pt)

각각 풀면:

수직선에서 겹치는 부분 — $(0, 4)$와 겹치는 것은 $x > 1$ 쪽뿐이다:

연립은 언제나 각각 푼 뒤 교집합 — 조건이 둘이면 수직선에 두 줄을 긋고 겹침을 읽는다.

Each alone:

Overlay on a number line — only the $x > 1$ branch overlaps $(0, 4)$:

Systems always go solve separately, then intersect — two conditions, two bars on the number line, read the overlap.

$D = 0$ — 그래프가 $x = 2$에서 축에 접한다.

(1) 접점에서 값이 정확히 $0$이라 $> 0$이 깨진다 — 해는 $x \ne 2$인 모든 실수.

(2) $0$도 허용되므로 — 모든 실수.

"거의 전부"와 "전부"를 가르는 것이 접점 하나다 — $D = 0$ 부등식의 유일한 함정이고, 부등호를 바꿔 읽는 순간 걸린다.

$D = 0$ — the graph is tangent to the axis at $x = 2$.

(1) At the touch point the value is exactly $0$, breaking the strict $>$ — solution: all reals but $x = 2$.

(2) Zero is now allowed — all reals.

One tangency point separates "almost everything" from "everything" — the sole trap of $D = 0$ inequalities, sprung the moment the symbol is misread.

포물선($a = 1 > 0$)이 축 위에 완전히 떠야 한다 — 절편 없음:

경계 확인: $k = 4$면 $(x + 2)^2 \ge 0$이 되어 $x = -2$에서 $0$ — "$> 0$"이 깨진다. 경계 제외가 맞다.

$x$에 대한 부등식이 $k$에 대한 부등식으로 번역됐다 — "모든 $x$"라는 말이 판별식을 호출한다.

The parabola ($a = 1 > 0$) must float entirely above the axis — no intercepts:

Boundary check: at $k = 4$ the expression is $(x + 2)^2$, which hits $0$ at $x = -2$ — the strict $>$ fails. Excluding the endpoints is correct.

An inequality in $x$ translated into an inequality in $k$ — the phrase "for all $x$" is what summons the discriminant.

최고차항의 계수가 $k$다 — 이차라고 단정하기 전에 확인할 것이 있다.

The leading coefficient is $k$ — something needs checking before you call it a quadratic.

$k = 0$인 경우. 식이 $1 > 0$ — 항상 성립한다. $k = 0$은 해에 포함된다.

$k \ne 0$인 경우. 이차가 되려면 위로 벌어지고($k > 0$) 절편이 없어야 한다:

합치면 $0 \le k < 4$.

$k = 0$을 빠뜨리면 $0 < k < 4$라는 오답이 나온다 — 최고차계수의 문자는 "이차 확인"부터라는 원칙의 표준 사례다. ($k < 0$이면 아래로 벌어져 언젠가 음수가 되므로 자동 탈락.)

Case $k = 0$. The expression is $1 > 0$ — always true. So $k = 0$ belongs.

Case $k \ne 0$. As a quadratic it must open upward ($k > 0$) with no intercepts:

Together: $0 \le k < 4$.

Skip the $k = 0$ check and the wrong answer $0 < k < 4$ appears — the standard specimen of "a letter in the leading coefficient means check quadraticity first." (For $k < 0$ the parabola opens downward and eventually goes negative — out automatically.)

해가 두 절편 사이이므로 절편이 $-3$과 $2$ — 근과 계수로

검산: $x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2) < 0 \Rightarrow -3 < x < 2$ ✓.

해 구간이 곧 근의 명단이다 — 부등식을 거꾸로 읽으면 방정식 복원 문제가 된다.

The solution lies between the intercepts, so the roots are $-3$ and $2$ — by Vieta,

Check: $x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2) < 0 \Rightarrow -3 < x < 2$ ✓.

The solution interval is a roster of the roots — read backwards, an inequality becomes an equation-rebuilding problem.

완전제곱: $(x - k)^2 \le 4 \Rightarrow |x - k| \le 2$:

(1) $k = 3$: $[1, 5]$ — 정수 $1, 2, 3, 4, 5$의 $5$개.

(2) $k = 1.5$: $[-0.5, 3.5]$ — 정수 $0, 1, 2, 3$의 $4$개.

구간의 길이는 똑같이 $4$인데 정수 개수는 $5$개와 $4$개로 갈린다 — 끝점이 정수에 얹히는가가 하나를 더 주는 것이다. 길이만 보고 개수를 단정하는 습관을 여기서 교정할 것.

Complete the square: $(x - k)^2 \le 4 \Rightarrow |x - k| \le 2$:

(1) $k = 3$: $[1, 5]$ — integers $1, 2, 3, 4, 5$: five.

(2) $k = 1.5$: $[-0.5, 3.5]$ — integers $0, 1, 2, 3$: four.

Same length $4$, different counts — whether the endpoints land on integers buys the extra one. Correct here the habit of judging counts by length alone.

두 해 구간을 각각 구하면, 조건은 "첫 구간이 둘째 구간에 포함된다"가 된다.

Find both solution intervals — the condition becomes "the first interval is contained in the second."

첫 부등식: $(x - 4)(x + 2) \le 0 \Rightarrow [-2, 4]$.

둘째: $x^2 - 2kx - 3k^2 = (x - 3k)(x + k) \le 0$, $k > 0$이므로 $-k < 3k$ — 해는 $[-k, \; 3k]$.

조건은 구간의 포함 $[-2, 4] \subseteq [-k, 3k]$ — 왼끝과 오른끝 각각:

둘 다 만족해야 하므로 $k \ge 2$.

검산: $k = 2$면 둘째 해가 $[-2, 6] \supseteq [-2, 4]$ ✓; $k = 1.9$면 $[-1.9, 5.7]$이 $-2$를 놓친다 ✗. "모든 $x$가 …도 만족"이라는 문장이 집합의 포함으로, 포함이 다시 끝점 부등식 두 개로 번역되는 3단 통역 — 조건 문제의 완성형이다.

First inequality: $(x - 4)(x + 2) \le 0 \Rightarrow [-2, 4]$.

Second: $x^2 - 2kx - 3k^2 = (x - 3k)(x + k) \le 0$, and $k > 0$ gives $-k < 3k$ — solution $[-k, \; 3k]$.

The condition is containment $[-2, 4] \subseteq [-k, 3k]$ — one inequality per endpoint:

Both must hold: $k \ge 2$.

Check: $k = 2$ gives $[-2, 6] \supseteq [-2, 4]$ ✓; $k = 1.9$ gives $[-1.9, 5.7]$, missing $-2$ ✗. The sentence "every $x$ … also satisfies" translating to set containment, and containment to two endpoint inequalities — a three-stage interpretation, and the finished form of condition problems.