근호의 곱셈과 유리화Multiplying Radicals & Rationalizing

근호끼리 곱했더니 완전제곱수가 되어 근호가 통째로 벗겨졌다. 검산: $\sqrt{12} = 2\sqrt3$이므로 $\sqrt3 \cdot 2\sqrt3 = 2 \cdot 3 = 6$ ✓ — 두 경로가 같은 답을 준다.

The product landed on a perfect square, so the radical peeled off entirely. Check: since $\sqrt{12} = 2\sqrt3$, also $\sqrt3 \cdot 2\sqrt3 = 2 \cdot 3 = 6$ ✓ — two routes, one answer.

분배법칙으로

근호가 든 식이었는데 답은 자연수다 — 전개 후 간단히 하기 전까지는 모양만 보고 판단할 수 없다.

By the distributive law,

An expression full of radicals, and the answer is a whole number — appearances settle nothing until you expand and simplify.

분모·분자에 $\sqrt3$을 곱한다:

검산(어림): 원식 $\approx 6/1.732 \approx 3.46$, 결과 $\approx 2 \times 1.732 = 3.46$ ✓.

Multiply top and bottom by $\sqrt3$:

Estimate check: original $\approx 6/1.732 \approx 3.46$; result $\approx 2 \times 1.732 = 3.46$ ✓.

합차 공식으로

전개해 확인하면 교차항 $-\sqrt{10} + \sqrt{10}$이 정확히 상쇄된다 ✓. 켤레의 곱은 언제나 유리수다.

By sum-times-difference,

Expanding confirms it: the cross terms $-\sqrt{10} + \sqrt{10}$ cancel exactly ✓. A product of conjugates is always rational.

완전제곱 공식으로

$9 + 2$로 유리수끼리 먼저 합치는 것이 정리의 핵심이다. 검산(어림): 원식 $\approx 4.414^2 = 19.48$, 결과 $\approx 11 + 8.49 = 19.49$ ✓.

By the square-of-a-sum formula,

Gathering the rational parts ($9 + 2$) is the tidying step. Estimate check: original $\approx 4.414^2 = 19.48$; result $\approx 11 + 8.49 = 19.49$ ✓.

모든 항끼리 한 번씩:

유리수끼리($6-2$), 같은 근호끼리($4\sqrt3 - \sqrt3$) 각각 정리한다. 검산(어림): 원식 $\approx (2.46)(3.73) = 9.18$, 결과 $\approx 4 + 5.20 = 9.20$ ✓.

Every pair of terms, once:

Rationals combine with rationals ($6-2$), like radicals with like radicals ($4\sqrt3 - \sqrt3$). Estimate check: original $\approx (2.46)(3.73) = 9.18$; result $\approx 4 + 5.20 = 9.20$ ✓.

먼저 유리화:

그러면 같은 근호끼리의 덧셈이 된다: $2\sqrt5 + \sqrt5 = 3\sqrt5$.

검산(어림): $10/2.236 + 2.236 \approx 4.47 + 2.24 = 6.71$, 그리고 $3\sqrt5 \approx 6.71$ ✓. 유리화가 덧셈 길을 열었다.

Rationalize first:

Now it is an addition of like radicals: $2\sqrt5 + \sqrt5 = 3\sqrt5$.

Estimate check: $10/2.236 + 2.236 \approx 4.47 + 2.24 = 6.71$, and $3\sqrt5 \approx 6.71$ ✓. Rationalizing opened the road to adding.

켤레 $\sqrt6 - \sqrt5$를 분모·분자에 곱한다:

분모가 $1$이 되어 분수가 통째로 사라졌다. 검산(어림): 원식 $\approx 1/(2.449+2.236) = 1/4.685 \approx 0.213$, 결과 $\approx 2.449 - 2.236 = 0.213$ ✓.

Multiply top and bottom by the conjugate $\sqrt6 - \sqrt5$:

The denominator became $1$ and the fraction dissolved entirely. Estimate check: original $\approx 1/(2.449+2.236) = 1/4.685 \approx 0.213$; result $\approx 2.449 - 2.236 = 0.213$ ✓.

켤레 $\sqrt7 + \sqrt3$을 곱하면 분모는 $7 - 3 = 4$:

검산(어림): 원식 $\approx 8/(2.646 - 1.732) = 8/0.914 \approx 8.75$, 결과 $\approx 5.29 + 3.46 = 8.75$ ✓.

Multiplying by the conjugate $\sqrt7 + \sqrt3$ makes the denominator $7 - 3 = 4$:

Estimate check: original $\approx 8/(2.646 - 1.732) = 8/0.914 \approx 8.75$; result $\approx 5.29 + 3.46 = 8.75$ ✓.

$x^2$부터 전개해 보라.

Start by expanding $x^2$.

$x^2 = (1+\sqrt2)^2 = 3 + 2\sqrt2$이므로

값이 $0$이라는 것은 $x = 1+\sqrt2$가 방정식 $x^2 - 2x - 1 = 0$의 해라는 뜻이다. 실제로 근의 공식을 돌리면 $x = \frac{2 \pm \sqrt8}{2} = 1 \pm \sqrt2$ — 계산과 공식이 서로를 검산한다 ✓. 근호가 든 수는 이렇게 "자기가 만족하는 이차방정식"을 하나씩 품고 있다.

Since $x^2 = (1+\sqrt2)^2 = 3 + 2\sqrt2$,

A value of $0$ means $x = 1+\sqrt2$ solves the equation $x^2 - 2x - 1 = 0$. The quadratic formula agrees: $x = \frac{2 \pm \sqrt8}{2} = 1 \pm \sqrt2$ — computation and formula check each other ✓. Numbers with radicals each carry around a quadratic equation they satisfy.

세 분수를 각각 유리화해 보라 — 무슨 일이 벌어지는가?

Rationalize each fraction — then watch what happens.

각 분수를 켤레로 유리화하면 분모가 전부 $1$이 된다:

더하면 가운데가 연쇄적으로 상쇄된다:

검산(어림): $0.414 + 0.318 + 0.268 = 1.000$ ✓. 유리화가 망원경처럼 접히는 합(텔레스코핑)을 열어 주는 대표 장면이다.

Rationalizing each fraction by its conjugate makes every denominator $1$:

Adding, the middles cancel in a chain:

Estimate check: $0.414 + 0.318 + 0.268 = 1.000$ ✓. This is rationalizing at its best — unlocking a telescoping sum that folds up like a spyglass.

$a+b$와 $ab$부터 구하면 근호를 다룰 일이 없어진다.

Get $a+b$ and $ab$ first — then no radical ever needs touching.

켤레이므로 합과 곱이 깨끗하다: $a + b = 6$, $ab = 9 - 5 = 4$. 이제 곱셈 공식 변형으로

검산(어림): $a \approx 5.236$, $b \approx 0.764$: $a^2+b^2 \approx 27.4 + 0.58 = 28.0$ ✓. 켤레 쌍은 "합·곱만 뽑아 계산"하는 근과 계수 기법의 단골 무대다.

Being conjugates, their sum and product are clean: $a + b = 6$ and $ab = 9 - 5 = 4$. Now the product-formula rearrangements:

Estimate check: $a \approx 5.236$, $b \approx 0.764$: $a^2+b^2 \approx 27.4 + 0.58 = 28.0$ ✓. Conjugate pairs are the natural home of the "extract sum and product, never touch the roots" technique.

$7 + 4\sqrt3$이 어떤 식의 완전제곱인지 찾아라 — $(a+b\sqrt3)^2$을 전개해 비교하면 된다.

Hunt for the expression whose square is $7 + 4\sqrt3$ — expand $(a+b\sqrt3)^2$ and compare.

근호 안이 완전제곱이길 기대하고 $(a + b\sqrt3)^2$을 전개해 비교한다:

유리수 부분과 근호 부분을 각각 맞추면 $a^2 + 3b^2 = 7$, $2ab = 4$. 두 번째에서 $ab = 2$ — 자연수 후보는 $(a,b) = (2,1)$ 또는 $(1,2)$인데, 첫 식에 넣으면 $(2,1)$: $4+3 = 7$ ✓, $(1,2)$: $1+12 = 13$ ✗. 따라서

검산: $(2+\sqrt3)^2 = 4 + 4\sqrt3 + 3 = 7 + 4\sqrt3$ ✓ (그리고 $2+\sqrt3 > 0$이므로 제곱근으로 적격 ✓). 근호 속 근호(이중근호)가 완전제곱 찾기 한 번에 벗겨졌다 — 완전제곱식 만들기의 근호판이다.

Hoping the radicand is a perfect square, expand $(a + b\sqrt3)^2$ and compare:

Matching rational and radical parts: $a^2 + 3b^2 = 7$ and $2ab = 4$. The second gives $ab = 2$ — natural candidates $(a,b) = (2,1)$ or $(1,2)$; the first equation keeps $(2,1)$: $4+3 = 7$ ✓ and rejects $(1,2)$: $1+12 = 13$ ✗. Therefore

Check: $(2+\sqrt3)^2 = 4 + 4\sqrt3 + 3 = 7 + 4\sqrt3$ ✓ (and $2+\sqrt3 > 0$, so it qualifies as the square root ✓). A radical inside a radical — a nested radical — peeled off by one perfect-square hunt: completing the square's radical cousin.