이차함수의 그래프Graphing Quadratic Functions

$y$절편은 $x = 0$: $y = 5$. $x$절편은 $y = 0$:

검산 — 대칭으로: 두 $x$절편의 평균 $\frac{1+5}{2} = 3$이 축이어야 하는데, $-\frac{b}{2a} = 3$ ✓.

The $y$-intercept comes from $x = 0$: $y = 5$. The $x$-intercepts from $y = 0$:

Symmetry check: the $x$-intercepts average $\frac{1+5}{2} = 3$, which should be the axis — and $-\frac{b}{2a} = 3$ ✓.

꼭짓점꼴 $y = a(x-h)^2 + k$에서 바로 읽는다: $h = 2$, $k = -7$이므로 꼭짓점 $(2, -7)$, 축 $x = 2$. $a = 1 > 0$이라 위로 벌어지므로 꼭짓점이 최저점 — 최솟값은 $-7$이다.

확인: $x = 2$에서 $y = -7$이고, 이웃 $x = 1$과 $x = 3$에서는 $y = 1 - 7 = -6 > -7$ ✓.

Read straight from vertex form $y = a(x-h)^2 + k$: with $h = 2$, $k = -7$, the vertex is $(2, -7)$ and the axis $x = 2$. Since $a = 1 > 0$ the parabola opens upward, so the vertex is the low point — minimum $-7$.

Confirm: $y = -7$ at $x = 2$, while the neighbors $x = 1$ and $x = 3$ give $y = 1 - 7 = -6 > -7$ ✓.

방향은 $a$의 부호가 정한다: $-3 < 0$이므로 $y = -3x^2$이 아래로 벌어진다. 폭은 $|a|$가 정한다: $|-3| = 3 > \frac12$이므로 $y = -3x^2$이 더 좁다.

수치 확인: $x = 1$에서 $|y|$가 각각 $3$과 $0.5$ — 같은 가로 이동에 세로로 여섯 배 내려가니 훨씬 가파르고 좁다.

Direction is the sign of $a$: since $-3 < 0$, the parabola $y = -3x^2$ opens downward. Width is $|a|$: since $|-3| = 3 > \frac12$, that same parabola is narrower.

Numerical confirmation: at $x = 1$ the two give $|y| = 3$ versus $0.5$ — six times the vertical drop for the same horizontal step, hence far steeper and narrower.

오른쪽 $4$는 괄호 안 $x - 4$로(괄호가 $0$이 되는 지점이 $x = 4$로 이동), 아래 $1$은 바깥에 $-1$로:

검산: 꼭짓점은 $(4, -1)$ — 원점이 오른쪽 $4$, 아래 $1$로 옮겨진 위치 그대로다 ✓.

Right by $4$ goes inside the parenthesis as $x - 4$ (the zero of the parenthesis moves to $x = 4$); down by $1$ goes outside as $-1$:

Check: the vertex is $(4, -1)$ — exactly the origin moved right $4$ and down $1$ ✓.

$x$ 계수의 절반의 제곱 $9$를 더하고 빼서 접는다:

꼭짓점 $(-3, -5)$, $a = 1 > 0$이므로 최솟값은 $-5$. 검산: $x = -3$에서 $9 - 18 + 4 = -5$ ✓, 축 공식으로도 $-\frac{b}{2a} = -3$ ✓.

Add and subtract the square of half the $x$-coefficient, $9$:

Vertex $(-3, -5)$; since $a = 1 > 0$, the minimum is $-5$. Check: at $x = -3$, $9 - 18 + 4 = -5$ ✓, and the axis formula agrees: $-\frac{b}{2a} = -3$ ✓.

꼭짓점꼴: $y = (x^2 - 4x + 4) - 4 - 5 = (x-2)^2 - 9$ → 꼭짓점 $(2, -9)$.

$x$절편: $x^2 - 4x - 5 = (x-5)(x+1) = 0$ → $x = 5$, $-1$. $y$절편: $x = 0$에서 $y = -5$.

대칭 검산: 절편 $-1$과 $5$의 평균 $= 2 =$ 축 ✓. 네 점이면 그래프의 뼈대가 선다.

Vertex form: $y = (x^2 - 4x + 4) - 4 - 5 = (x-2)^2 - 9$, so the vertex is $(2, -9)$.

$x$-intercepts: $x^2 - 4x - 5 = (x-5)(x+1) = 0$ gives $x = 5$ and $-1$. $y$-intercept: $x = 0$ gives $y = -5$.

Symmetry check: the intercepts $-1$ and $5$ average to $2$, the axis ✓. Four points and the skeleton stands.

접한다는 것은 $x$축과의 교점이 하나 — 방정식 $x^2 - 6x + k = 0$이 중근을 가진다는 뜻이다:

그때 $y = x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$ — 꼭짓점 $(3, 0)$이 정확히 $x$축 위에 앉는다. 접점은 $(3, 0)$.

검산: $x = 3$에서 $y = 0$이고 다른 모든 $x$에서 $(x-3)^2 > 0$이니 축 위쪽 ✓ — 스치기만 하고 뚫지 않는다.

Tangency means exactly one meeting with the $x$-axis — the equation $x^2 - 6x + k = 0$ must have a repeated root:

Then $y = x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$ — the vertex $(3, 0)$ sits exactly on the $x$-axis. The tangent point is $(3, 0)$.

Check: $y = 0$ at $x = 3$, while $(x-3)^2 > 0$ everywhere else, keeping the graph above the axis ✓ — it grazes without crossing.

$a = -1 < 0$이므로 아래로 벌어지는 포물선 — 꼭짓점이 최고점이다. $-1$을 묶고 완전제곱:

꼭짓점 $(2, 5)$, 최댓값 $\boldsymbol{5}$. 검산: $x=2$에서 $-4 + 8 + 1 = 5$ ✓, 이웃 $x=1$: $-1+4+1 = 4 < 5$ ✓.

$-1$을 묶을 때 괄호를 다시 펼치며 부호를 확인하는 것($-(x-2)^2 + 4 + 1$)이 이 계산의 미끄러운 지점이다.

With $a = -1 < 0$ the parabola opens downward — the vertex is the top. Pull out $-1$ and complete the square:

Vertex $(2, 5)$; maximum $\boldsymbol{5}$. Check: at $x=2$, $-4 + 8 + 1 = 5$ ✓; neighbor $x=1$: $-1+4+1 = 4 < 5$ ✓.

The slippery step is re-expanding after pulling out $-1$ ($-(x-2)^2 + 4 + 1$) — that sign deserves a second look every time.

$x$축과의 교점 개수 = 방정식 $y = 0$의 해의 개수 = 판별식의 부호:

(1) $D = 4 - 12 = -8 < 0$ — 만나지 않는다. (2) $D = 4 - 4 = 0$ — 접한다(교점 하나, $x = 1$). (3) $D = 1 + 4 = 5 > 0$ — 두 점에서 만난다.

(1)은 꼭짓점꼴로도 보인다: $(x+1)^2 + 2$는 항상 $2$ 이상이라 $x$축까지 내려올 수 없다 ✓.

Crossings of the $x$-axis = solutions of $y = 0$ = sign of the discriminant:

(1) $D = 4 - 12 = -8 < 0$ — no meeting. (2) $D = 4 - 4 = 0$ — tangent (one point, at $x = 1$). (3) $D = 1 + 4 = 5 > 0$ — two crossings.

For (1), vertex form tells the same story: $(x+1)^2 + 2$ never drops below $2$, so it cannot reach the axis ✓.

꼭짓점꼴 $y = a(x-1)^2 - 4$에서 출발해, 지나는 점으로 $a$를 결정하라.

Start from vertex form $y = a(x-1)^2 - 4$ and use the given point to pin down $a$.

꼭짓점이 $(1, -4)$이므로 $y = a(x-1)^2 - 4$ 꼴이다. $(3, 0)$을 지나므로 대입:

따라서 $y = (x-1)^2 - 4 = x^2 - 2x - 3$.

검산: 꼭짓점 $(1, -4)$ ✓, $(3, 0)$ 대입 $9 - 6 - 3 = 0$ ✓. 그리고 대칭으로 $(-1, 0)$도 지나야 하는데 $1 + 2 - 3 = 0$ ✓.

With vertex $(1, -4)$, the parabola is $y = a(x-1)^2 - 4$ for some $a$. Substituting the point $(3, 0)$:

So $y = (x-1)^2 - 4 = x^2 - 2x - 3$.

Check: vertex $(1, -4)$ ✓; at $(3, 0)$: $9 - 6 - 3 = 0$ ✓; and by symmetry it must also pass $(-1, 0)$: $1 + 2 - 3 = 0$ ✓.

$y$값이 같은 두 점은 축에 대해 대칭이다.

Two points with equal $y$-values are mirror images across the axis.

$(0, 3)$과 $(4, 3)$은 $y$값이 같으므로 축에 대해 대칭이다 — 축은 두 $x$의 평균:

$c$는 $y$절편이다: $(0, 3)$을 지나므로 $c = 3$.

검산: $y = x^2 - 4x + 3$에 $(4, 3)$ 대입 — $16 - 16 + 3 = 3$ ✓. 연립방정식 없이 대칭 하나로 끝났다 — 같은 높이의 두 점을 보면 축부터 떠올릴 것.

The points $(0, 3)$ and $(4, 3)$ share a $y$-value, so they are symmetric across the axis — which therefore lies at the average of their $x$'s:

And $c$ is the $y$-intercept: the graph passes $(0, 3)$, so $c = 3$.

Check: substitute $(4, 3)$ into $y = x^2 - 4x + 3$ — $16 - 16 + 3 = 3$ ✓. No system of equations needed; one symmetry observation did it. Equal heights should always make you think "axis."

벽과 수직인 변을 $x$라 하면 평행한 변은 $20 - 2x$다. 넓이를 $x$의 이차함수로 쓰고 꼭짓점을 찾아라.

Let $x$ be a side perpendicular to the wall; the parallel side is then $20 - 2x$. Write the area as a quadratic in $x$ and find the vertex.

벽과 수직인 변을 $x$라 하면 평행한 변은 $20 - 2x$, 넓이는

$a = -2 < 0$이므로 꼭짓점 $(5, 50)$이 최고점 — $x = 5$일 때 최대 넓이 $50$ m²이고, 평행한 변은 $20 - 10 = 10$ m다.

검산: $5 \times 10 = 50$ ✓; 이웃값 $x = 4$: $4 \times 12 = 48 < 50$ ✓, $x = 6$: $6 \times 8 = 48 < 50$ ✓. "최대를 구하라"가 꼭짓점 문제로 번역되는 전형이다.

With $x$ the perpendicular side, the parallel side is $20 - 2x$ and the area is

Since $a = -2 < 0$, the vertex $(5, 50)$ is the top — maximum area $50$ m² at $x = 5$, with parallel side $20 - 10 = 10$ m.

Check: $5 \times 10 = 50$ ✓; neighbors $x = 4$: $4 \times 12 = 48 < 50$ ✓ and $x = 6$: $6 \times 8 = 48 < 50$ ✓. "Maximize" translating into "find the vertex" — the standard move.