문제Problem 1
몸풀기Warm-up
연립방정식을 풀어라: ,
Solve the system: ,
정답과 풀이Answer & solution
정답 ·
Answer ·
두 식을 더하면 이므로 , 첫째 식에서 이다.
검산: ✓, ✓.
Adding the equations gives , so , and the first equation gives .
Check: ✓ and ✓.
가감법과 해의 개수Elimination & How Many Solutions
학습 목표
- 두 등식을 변끼리 더해도 되는 이유를 알고, 가감법으로 연립방정식을 푼다.
- 계수를 맞추기 위해 식을 적당히 곱하는 요령을 익힌다.
- 해가 없는 경우와 무수히 많은 경우를 계산으로 판별하고, 평행선·일치하는 직선으로 해석한다.
등식은 더해도 된다
가감법의 밑바탕은 한 줄짜리 사실이다: 참인 두 등식은 변끼리 더해도 참이다.
이고 라 하자. 첫 등식의 양변에 를 더하면 (등식의 성질). 그런데 이므로 우변의 를 로 바꿔도 같다: . 증명 끝. 빼기도 마찬가지다.
이것이 왜 무기가 되는가? 두 식을 더할 때 한 변수의 계수가 서로 반대이면, 그 변수가 통째로 사라지기 때문이다.
예제 1 · 더해서 소거
연립방정식 , 을 풀어라.
풀이. 두 식을 변끼리 더하면 와 가 소거된다:
첫째 식에서 .
검산: ✓, ✓. 해는 이다.
대입법으로도 물론 풀린다 — 하지만 이 모양에서는 가감법이 두 줄로 끝낸다.
계수가 어긋나 있으면 맞춰라
계수가 처음부터 반대인 경우는 드물다. 그럴 때는 식 전체에 적당한 수를 곱해 계수를 맞춘다 — 등식의 양변에 같은 수를 곱하는 것이므로 언제나 허용되는 수다.
예제 2 · 한 식만 손보기
연립방정식 , 을 풀어라.
풀이. 둘째 식의 에 3을 곱하면 첫째 식의 와 반대가 된다. 둘째 식 전체에 3을 곱하면
이것을 첫째 식과 더하면 , 즉 이다. 둘째 식에서 이므로 .
검산: ✓, ✓. 해는 이다.
예제 3 · 두 식 모두 손보기
연립방정식 , 을 풀어라.
풀이. 의 계수 4와 6의 최소공배수는 12다. 첫째 식에 3을, 둘째 식에 2를 곱하면
계수가 같으므로 이번에는 빼서 소거한다. 둘째에서 첫째를 빼면 이고, 첫째 원식에서 이므로 이다.
검산: ✓, ✓. 해는 이다.
주의
뺄 때가 사고 지점이다. 처럼 좌변 전체와 우변 전체를 함께 빼야 한다 — 우변 빼기를 잊거나, 항의 부호를 흘리는 실수가 잦다. 부호가 걱정되면 한 식에 을 곱해 "더하기"로 바꿔라. 더하기는 배신하지 않는다.
대입법과 가감법 중 무엇을 쓸까? 계수 1인 변수가 보이면 대입법이 빠르고, 두 식이 모두 꼴로 정렬돼 있으면 가감법이 빠르다. 둘 다 익혀 두고 문제 모양을 보고 고르는 것 — 그것이 실력이다.
소거했더니 변수가 다 사라진다면
일차방정식에서 이나 가 남던 순간을 기억할 것이다(항등식과 불능). 연립방정식에도 똑같은 갈림길이 있다 — 그리고 이번에는 그래프가 이유를 보여 준다.
예제 4 · : 무수히 많은 해
연립방정식 , 을 풀어라.
풀이. 첫째 식에 2를 곱하면 — 둘째 식과 똑같다. 빼면 : 항상 참인 문장만 남고 변수는 결정되지 않는다.
두 방정식은 사실 같은 직선이다. 그 직선 위의 모든 점 — , , , … — 이 해이므로, 해가 무수히 많다.
주의
"해가 무수히 많다"는 "아무 순서쌍이나 다 된다"가 아니다. 은 을 만족하지 않으므로 해가 아니다. 해는 어디까지나 그 직선 위의 점들이다 — 무한하지만, 아무거나는 아니다.
예제 5 · : 해가 없다
연립방정식 , 를 풀어라.
풀이. 둘째에서 첫째를 빼면 — 거짓. 어떤 도 두 식을 동시에 만족할 수 없다. 해가 없다.
당연한 말이기도 하다: 두 수의 합이 3이면서 동시에 5일 수는 없다. 그래프로는 기울기가 같고 절편이 다른 평행선 — 지난 차시에서 증명했듯 평행선은 만나지 않는다.
정리하면, 연립방정식 하나를 풀 때 일어날 수 있는 일은 정확히 세 가지다.
| 소거 결과 | 해 | 두 직선의 관계 |
|---|---|---|
| 꼴 | 하나 | 기울기가 달라 한 점에서 만남 |
| 무수히 많음 (직선 위 전부) | 같은 직선 | |
| 없음 | 평행 |
문제 탭에는 판별 문제, 조건을 만족하는 계수 찾기, 그리고 소금물 농도와 강물 위의 배까지 열세 문제가 있다.
Goals
- Know why two equations may be added side by side, and solve systems by elimination.
- Scale equations to line up coefficients.
- Detect systems with no solution or infinitely many by computation, and interpret them as parallel or coincident lines.
Equations can be added
Elimination rests on a one-line fact: two true equations, added side by side, give a true equation.
Suppose and . Adding to both sides of the first equation gives (property of equality). But , so the on the right can be replaced by : . Done. Subtraction works the same way.
Why is this a weapon? Because when you add two equations in which one variable's coefficients are opposites, that variable vanishes entirely.
Example 1 · Add and eliminate
Solve the system , .
Solution. Add the equations side by side — the and cancel:
The first equation then gives .
Check: ✓ and ✓. The solution is .
Substitution works too, of course — but on this shape, elimination finishes in two lines.
If the coefficients don't match, make them match
Coefficients rarely arrive as opposites. When they don't, multiply an entire equation by a suitable number — multiplying both sides of an equation by the same number is always legal.
Example 2 · Scaling one equation
Solve the system , .
Solution. Multiplying the second equation's by 3 would make it the opposite of the first equation's . So multiply the whole second equation by 3:
Adding this to the first equation gives , so . Then the second equation gives , so .
Check: ✓ and ✓. The solution is .
Example 3 · Scaling both equations
Solve the system , .
Solution. The -coefficients 4 and 6 have least common multiple 12. Multiply the first equation by 3 and the second by 2:
The coefficients now match, so this time subtract: second minus first gives , and the original first equation gives , so .
Check: ✓ and ✓. The solution is .
Watch out
Subtraction is where accidents happen. Subtract whole sides at once: — forgetting to subtract the right sides, or dropping a sign on the -terms, are the standard wrecks. If signs worry you, multiply one equation by and turn the whole thing into addition. Addition never betrays you.
Substitution or elimination? If a variable with coefficient 1 is in sight, substitution is quick; if both equations arrive lined up as , elimination is quick. Own both, glance at the problem's shape, and choose — that's the actual skill.
When elimination wipes out everything
Remember the moments in single equations when or was left over (identities and contradictions)? Systems have exactly the same fork — and this time the graphs show the reason.
Example 4 · : infinitely many solutions
Solve the system , .
Solution. Multiplying the first equation by 2 gives — identical to the second. Subtracting leaves : an always-true sentence, with no variable pinned down.
The two equations describe the same line. Every point on it — , , , … — is a solution, so there are infinitely many.
Watch out
"Infinitely many solutions" does not mean "anything goes." The pair fails , so it is not a solution. The solutions are the points of that line — infinite, but not arbitrary.
Example 5 · : no solution
Solve the system , .
Solution. Subtracting the first from the second leaves — false. No pair can satisfy both. No solution.
Which is common sense, too: two numbers can't have sum 3 and sum 5 simultaneously. Graphically these are parallel lines — same slope, different intercepts — and as we proved last unit, parallel lines never meet.
So exactly three things can happen when you solve a system:
| Elimination leaves | Solutions | The two lines |
|---|---|---|
| exactly one | different slopes, one crossing | |
| infinitely many (the whole line) | the same line | |
| none | parallel |
The Problems tab holds thirteen problems: classification, finding coefficients that force each case, and salt water and river boats to finish.
몸풀기Warm-up
배운 것을 그대로 손에 익히는 단계straightforward practice to get moving
문제Problem 2
몸풀기Warm-up
연립방정식을 풀어라: ,
Solve the system: ,
정답과 풀이Answer & solution
정답 ·
Answer ·
와 가 반대이므로 그대로 더한다: , 즉 이고, 둘째 식에서 이다.
검산: ✓, ✓.
The and are opposites, so add as is: , giving , and the second equation gives .
Check: ✓ and ✓.
문제Problem 3
몸풀기Warm-up
연립방정식을 풀어라: ,
Solve the system: ,
정답과 풀이Answer & solution
정답 ·
Answer ·
의 계수가 같으므로 빼서 소거한다. 첫째에서 둘째를 빼면
둘째 식에서 이므로 이다.
검산: ✓, ✓.
The coefficients match, so eliminate by subtracting. First minus second:
The second equation gives , so .
Check: ✓ and ✓.
문제Problem 4
몸풀기Warm-up
연립방정식을 풀어라: ,
Solve the system: ,
정답과 풀이Answer & solution
정답 ·
Answer ·
의 계수가 같으므로 빼면 가 사라진다:
첫째 식에서 이므로 이다.
검산: ✓, ✓.
빼기에서 가 되는 부호 처리가 이 문제의 전부다.
The terms match, so subtracting removes :
The first equation gives , so .
Check: ✓ and ✓.
The whole problem is the sign step .
핵심Core
이 차시의 목표 수준the target level for this lesson
문제Problem 5
핵심Core
연립방정식을 풀어라: ,
Solve the system: ,
정답과 풀이Answer & solution
정답 ·
Answer ·
둘째 식에 3을 곱하면 — 의 계수가 첫째 식과 반대가 된다. 첫째 식과 더하면
둘째 식에서 이므로 이다.
검산: ✓, ✓.
Multiplying the second equation by 3 gives — its -coefficient is now the opposite of the first equation's. Adding:
and the second equation gives , so .
Check: ✓ and ✓.
문제Problem 6
핵심Core
연립방정식을 풀어라: ,
Solve the system: ,
정답과 풀이Answer & solution
정답 ·
Answer ·
를 소거하자. 계수 3과 2의 최소공배수는 6이므로 첫째 식에 2를, 둘째 식에 3을 곱한다:
둘째에서 첫째를 빼면 이므로 , 첫째 원식에서 이므로 이다.
검산: ✓, ✓.
해에 음수가 나와도 놀랄 일이 아니다 — 검산이 통과하면 그것이 답이다.
Eliminate . The coefficients 3 and 2 have least common multiple 6, so multiply the first equation by 2 and the second by 3:
Second minus first gives , so , and the original first equation gives , so .
Check: ✓ and ✓.
A negative in the solution is no cause for alarm — if the check passes, that's the answer.
문제Problem 7
핵심Core
서술형written response
다음 세 연립방정식을 각각 "해가 하나", "해가 없음", "해가 무수히 많음"으로 분류하고, 이유를 써라. 해가 하나인 경우는 해도 구하라.
(a) ,
(b) ,
(c) ,
Classify each system as "one solution," "no solution," or "infinitely many," with reasons. Where there is one solution, find it.
(a) ,
(b) ,
(c) ,
풀이와 채점 기준Solution & grading notes
(a) 첫째 식에 2를 곱하면 — 둘째 식과 같다. 같은 직선이므로 해가 무수히 많다 (그 직선 위의 모든 점).
(b) 첫째 식에 2를 곱하면 인데 둘째 식은 이다. 빼면 , 거짓 — 해가 없다. 같은 좌변이 6이면서 1일 수는 없다(평행선).
(c) 두 식을 더하면 이므로 , . 해가 하나, 이다. 검산: ✓, ✓.
채점 기준. 분류 셋 각 1점, (a)(b)의 근거( vs , 또는 같은 직선 vs 평행선) 1점, (c)의 해와 검산 1점. (a)를 "해 없음"으로 쓰는 것이 준비된 함정 — 과 는 정반대의 결론이다.
(a) Doubling the first equation gives — identical to the second. Same line: infinitely many solutions (every point of that line).
(b) Doubling the first gives , but the second says . Subtracting leaves , false — no solution. The same left side can't equal both 6 and 1 (parallel lines).
(c) Adding the equations gives , so and : one solution, . Check: ✓ and ✓.
Grading notes. One point per classification; one for the reasons in (a) and (b) ( versus , or same line versus parallel); one for the solution and check in (c). Calling (a) "no solution" is the planted trap — and point in opposite directions.
문제Problem 8
핵심Core
연립방정식을 풀어라: ,
Solve the system: ,
정답과 풀이Answer & solution
정답 ·
Answer ·
소수부터 청소한다. 첫째 식에 10을 곱하면 .
둘째 식에 2를 곱해 로 만들고 첫째에서 빼면
둘째 원식에서 이다.
검산: ✓, ✓.
우변의 — 음수를 빼는 부호 처리까지가 문제다. (둘째 식에서 로 풀어 대입해도 같은 답이 나온다. 방법은 취향, 검산은 필수.)
Clear the decimals first: multiplying the first equation by 10 gives .
Doubling the second equation gives ; subtracting it from the first:
and the original second equation gives .
Check: ✓ and ✓.
Note the right side: — subtracting a negative is part of the problem. (Solving the second equation as and substituting works equally well. Method is taste; the check is not.)
문제Problem 9
핵심Core
연립방정식 , 의 해가 없도록 하는 상수 의 값을 구하라.
Find the constant for which the system , has no solution.
힌트Hint
해가 없으려면 두 직선이 평행해야 한다 — 좌변은 비례하고 우변은 그 비례를 깨야 한다. 첫째 식에 2를 곱해 둘째 식과 나란히 놓고 비교해 보자.
No solution means parallel lines — proportional left sides with the proportion broken on the right. Double the first equation and set it beside the second.
정답과 풀이Answer & solution
정답 ·
Answer ·
첫째 식에 2를 곱하면 이다. 둘째 식 과 의 계수가 같아졌으므로, 빼면
이면 가 하나로 정해져 해가 존재한다. 해가 없으려면 , 즉 이어야 한다 — 그때 남는 문장은 로 거짓이다.
확인: 이면 두 식은 과 . 첫째의 2배는 — 좌변은 같은데 우변이 달라 평행선이다. 해가 없다 ✓.
(만약 둘째 식의 우변이 7이 아니라 6이었다면 일 때 같은 직선이 되어 해가 무수히 많아진다 — 계수 비와 상수항까지 함께 봐야 세 경우가 갈린다.)
Doubling the first equation gives . Its -coefficient now matches the second equation , so subtracting:
If , this pins down and a solution exists. For no solution we need , that is — leaving the false sentence .
Confirm: with the equations are and . Doubling the first gives — same left side, different right sides: parallel lines, no solution ✓.
(Had the second equation's right side been 6 instead of 7, then would make the same line and infinitely many solutions — the case split needs the constants, not just the coefficient ratio.)
도전Challenge
아이디어를 결합해야 풀리는 문제problems that take more than one idea
문제Problem 10
도전Challenge
세 직선 , , 가 한 점에서 만날 때, 상수 의 값을 구하라.
The three lines , , pass through a single common point. Find the constant .
힌트Hint
세 직선이 한 점을 지난다면 그 점은 앞의 두 직선의 교점일 수밖에 없다. 먼저 그 교점을 구하자.
If all three share a point, that point must be where the first two lines cross. Find that crossing first.
정답과 풀이Answer & solution
정답 ·
Answer ·
공통점은 첫 두 직선의 교점이다. 두 식을 더하면 이므로 , — 교점은 다.
검산(교점): ✓, ✓.
셋째 직선도 를 지나야 하므로
확인: 이면 셋째 직선은 이고 에서 ✓.
"세 직선이 한 점에서" 유형은 언제나 같은 순서다: 미지수 없는 두 직선으로 점을 먼저 잡고, 그 점을 남은 직선에 대입한다.
The common point is the intersection of the first two lines. Adding their equations gives , so and — the point .
Check it: ✓ and ✓.
The third line must pass through as well:
Confirm: with the third line is , and at : ✓.
"Three concurrent lines" problems always run in the same order: pin the point using the two unknown-free lines, then substitute it into the remaining one.
문제Problem 11
도전Challenge
서술형written response
연립방정식 , 의 해가 무수히 많아지도록 하는 상수 가 존재하는가? 존재하면 값을 구하고, 존재하지 않으면 이유를 설명하라.
Does there exist a constant making the system , have infinitely many solutions? If so, find it; if not, explain why not.
힌트Hint
해가 무수히 많으려면 두 식이 같은 직선이어야 한다 — 한 식이 다른 식의 상수배가 되어야 한다는 뜻이다. 의 계수부터 맞춰 보자.
Infinitely many solutions requires the two equations to be the same line — one must be a constant multiple of the other. Start by matching the -coefficients.
풀이와 채점 기준Solution & grading notes
두 식이 같은 직선이려면 한 식이 다른 식의 상수배여야 한다. 둘째 식에 어떤 수 를 곱해 첫째 식이 된다고 하자:
의 계수에서 . 그런데 상수항은 — 모순이다. 즉 어떤 로도 같은 직선이 될 수 없고, 해가 무수히 많아지는 는 존재하지 않는다.
를 움직여 만들 수 있는 것은 두 가지뿐이다: 에서 이면 좌변만 비례하고 상수항이 어긋나므로 평행 — 해가 없음. 이면 기울기가 달라 해가 하나.
채점 기준. "같은 직선 = 상수배" 관계 설정(1점), 계수에서 배율 2를 끌어내고 상수항 모순을 짚음(2점), 일 때는 해가 없음(무수히가 아니라)을 구별(1점). 존재하지 않음을 보이는 문제에서는 "안 되는 이유"가 곧 답안이다.
For the same line, one equation must be a constant multiple of the other. Say multiplying the second by some yields the first:
The -coefficients force . But then the constants give — a contradiction. So no value of makes the equations the same line; no gives infinitely many solutions.
What can produce is exactly two things: with , the left sides are proportional but the constants disagree — parallel lines, no solution; with , the slopes differ and there is one solution.
Grading notes. One point for setting up "same line = constant multiple"; two for extracting from the -coefficients and exposing the constant-term contradiction; one for distinguishing that gives no solution rather than infinitely many. In nonexistence problems, the reason it can't happen is the answer.
경시Contest
대회 스타일competition style
문제Problem 12
경시Contest
농도 8%의 소금물과 농도 3%의 소금물을 섞어 농도 5%의 소금물 500g을 만들려고 한다. 두 소금물을 각각 몇 g씩 섞어야 하는가?
You want to mix 8% salt water with 3% salt water to make 500 g of 5% salt water. How many grams of each should you mix?
힌트Hint
미지수 두 개(각 소금물의 양), 조건 두 개(전체 무게, 소금의 무게). 소금의 양은 "농도 × 소금물의 양"이다 — 5% 소금물 500g에 든 소금부터 계산해 두자.
Two unknowns (the two amounts), two conditions (total weight, total salt). Salt = concentration × amount — start by computing the salt in the target 500 g of 5% solution.
정답과 풀이Answer & solution
정답 · 8% 소금물 g, 3% 소금물 g
Answer · g of the 8% solution, g of the 3% solution
8% 소금물을 g, 3% 소금물을 g 섞는다고 하자. 전체 무게에서
소금의 무게에서 — 목표물에 든 소금은 g이므로
둘째 식에 100을 곱하면 . 첫째 식에 3을 곱한 을 빼면
검산: 무게 g ✓. 소금 g — 정확히 500g의 5% ✓.
농도 문제의 뼈대는 언제나 같다: 무게 식 하나, 소금(내용물) 식 하나. 섞어도 보존되는 두 가지 양이 방정식 두 개를 준다.
Mix grams of the 8% solution with grams of the 3%. Total weight:
Total salt — the target holds g of salt, so
Multiply the second equation by 100: . Subtract 3 times the first ():
Check: weight g ✓; salt g — exactly 5% of 500 g ✓.
Every mixture problem has the same skeleton: one equation for weight, one for salt (the content). The two quantities that survive mixing give you the two equations.
문제Problem 13
경시Contest
어떤 배가 강을 따라 36km 떨어진 마을까지 내려가는 데 2시간, 같은 길을 거슬러 올라오는 데 3시간이 걸렸다. 잔잔한 물에서의 배의 속력과 물살의 속력은 각각 시속 몇 km인가? (두 속력은 일정하다고 하자.)
A boat travels 36 km downstream to a village in 2 hours, and makes the return trip upstream in 3 hours. Find the boat's speed in still water and the speed of the current, in km/h. (Assume both are constant.)
힌트Hint
내려갈 때는 물살이 배를 밀어 주고(속력이 더해짐), 올라올 때는 물살이 배를 막는다(속력이 빼짐). 내려갈 때와 올라올 때의 실제 속력부터 각각 구하자.
Downstream, the current pushes the boat (speeds add); upstream, it fights the boat (speeds subtract). First find the actual speed each way.
정답과 풀이Answer & solution
정답 · 배 시속 km, 물살 시속 km
Answer · Boat km/h, current km/h
잔잔한 물에서의 배의 속력을 시속 km, 물살의 속력을 시속 km라 하자.
내려갈 때 실제 속력은 이고, 36km에 2시간이 걸렸으므로 .
올라올 때 실제 속력은 이고, 3시간이 걸렸으므로 .
합·차 꼴이다. 두 식을 더하면 이므로 , 빼면 이므로 이다.
검산: 내려갈 때 km/h로 2시간이면 36km ✓. 올라올 때 km/h로 3시간이면 36km ✓.
배와 물살, 비행기와 바람, 무빙워크 위의 사람 — 겉옷만 다른 같은 문제다. 더해진 속력과 빼인 속력을 각각 구하면 합·차 연립이 되고, 그 순간 예제 1의 두 줄 풀이가 재등장한다.
Let the boat's still-water speed be km/h and the current's speed km/h.
Downstream the effective speed is , and 36 km took 2 hours: .
Upstream the effective speed is , and the trip took 3 hours: .
A sum-and-difference system. Adding gives , so ; subtracting gives , so .
Check: downstream at km/h, 2 hours covers 36 km ✓; upstream at km/h, 3 hours covers 36 km ✓.
Boats and currents, planes and winds, walkers on moving walkways — the same problem in different coats. Find the boosted and hindered speeds, and a sum-and-difference system appears — at which point Example 1's two-line solution rides again.