근호 정리와 연산Simplifying & Combining Radicals

Algebra 1Algebra 1 · 7. 근호와 유리식7. Radicals & Rational Expressions

학습 목표

근호의 곱셈 성질 $\sqrt{ab} = \sqrt a \, \sqrt b$ 를 증명하고, $\sqrt{20} = 2\sqrt5$ 처럼 근호를 간단히 한다.
같은 근호끼리 더하고 빼며, $\sqrt a + \sqrt b \neq \sqrt{a+b}$ 인 이유를 반례로 안다.
제곱 비교로 근호가 든 수의 크기를 비교한다.

미뤄 둔 매듭

이차방정식 단원에서 $\sqrt7$ , $\sqrt{17}$ 같은 답을 여럿 만났다. 그때는 "근호 표기 자체가 정확한 답"이라 하고 넘어갔지만, 사실 궁금한 것이 쌓여 있다. $\sqrt{20}$ 은 더 간단해질 수 있는가? $\sqrt2 + \sqrt3$ 은 $\sqrt5$ 인가? $3\sqrt2$ 와 $2\sqrt3$ 은 어느 쪽이 큰가? 이 단원에서 근호를 다루는 손을 만든다.

복습부터. 양수 $k$ 에 대해 $\sqrt k$ 는 제곱해서 $k$ 가 되는 음이 아닌 수다. 정의에서 바로 나오는 두 가지: $(\sqrt k)^2 = k$ 이고, $a \geq 0$ 이면 $\sqrt{a^2} = a$ 다.

주의

$a$ 가 음수면 $\sqrt{a^2} = a$ 가 아니다. $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt9 = 3 = |-3|$ — 제곱근은 항상 음이 아닌 쪽을 내놓으므로, 일반적으로

\sqrt{a^2} = |a|.

절댓값 단원의 그 기호가 여기서 다시 일하러 나온다.

근호의 곱셈 성질 — 증명부터

\sqrt{ab} = \sqrt a \,\sqrt b \qquad (a, b \geq 0)

증명. $s = \sqrt a \, \sqrt b$ 라 하자. 음이 아닌 두 수의 곱이므로 $s \geq 0$ 이고,

s^2 = (\sqrt a)^2 (\sqrt b)^2 = ab.

즉 $s$ 는 제곱해서 $ab$ 가 되는 음이 아닌 수다. 그런 수는 하나뿐이다 — 만약 음이 아닌 $s$ , $t$ 가 $s^2 = t^2$ 이면 $s^2 - t^2 = (s-t)(s+t) = 0$ 이므로 $s = t$ 이거나 $s + t = 0$ (둘 다 $0$ 인 경우)이다. 따라서 $s = \sqrt{ab}$ . $\blacksquare$

(합차 공식이 유일성 논증에 쓰였다 — U5의 도구는 이렇게 계속 재등장한다.) 나눗셈판 $\sqrt{\tfrac ab} = \tfrac{\sqrt a}{\sqrt b}$ ( $a \geq 0$ , $b > 0$ )도 같은 논리로 증명된다.

근호 간단히 하기

곱셈 성질을 거꾸로 쓰면, 근호 안의 제곱 인수를 밖으로 꺼낼 수 있다:

\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt4 \cdot \sqrt5 = 2\sqrt5.

그림으로도 같은 말이다 — 넓이 $20$ 인 정사각형을 넷으로 자르면 각 조각이 넓이 $5$ 인 정사각형이고, 전체의 한 변은 작은 변의 두 배다:

넓이 20인 정사각형을 넓이 5인 정사각형 네 개로 자르면 한 변이 2 곱하기 루트 5임이 보인다

절차는 하나다: 근호 안에서 가장 큰 제곱 인수를 찾아 꺼낸다. 수가 크면 소인수분해가 확실하다.

예제 1 —

\sqrt{72}

간단히 하기

풀이. $72 = 2^3 \cdot 3^2 = 36 \cdot 2$ 이므로

\sqrt{72} = \sqrt{36}\,\sqrt2 = 6\sqrt2.

검산(제곱): $(6\sqrt2)^2 = 36 \cdot 2 = 72$ ✓. $\sqrt{72} = \sqrt{4 \cdot 18} = 2\sqrt{18}$ 에서 멈추는 것이 흔한 미완성이다 — $18$ 안에 아직 $9$ 가 숨어 있다. "근호 안에 제곱 인수가 남아 있으면 끝난 것이 아니다"는 인수분해 때의 규칙과 똑같다.

$\sqrt2$ 나 $\sqrt5$ 처럼 더 간단해지지 않는 수는 소수도 분수도 아닌 무리수다 — 소수로 쓰면 끝없이 이어지고 순환하지 않는다. ( $\sqrt2$ 가 분수로 표현될 수 없다는 증명은 소인수의 개수를 세는 정수론 논증이 필요해서, 경시 과정의 정수론에서 제대로 다룬다.)

같은 근호끼리 — 덧셈과 뺄셈

$3\sqrt2 + 5\sqrt2$ 는? $\sqrt2$ 라는 같은 물건이 $3$ 개, 그리고 $5$ 개 — 분배법칙으로

3\sqrt2 + 5\sqrt2 = (3+5)\sqrt2 = 8\sqrt2.

동류항 정리와 완전히 같은 원리다: $3x + 5x = 8x$ 에서 $x$ 자리에 $\sqrt2$ 가 앉았을 뿐이다. 그리고 동류항이 아니면 못 합치듯, $\sqrt2 + \sqrt3$ 은 그 꼴 그대로 둔다.

주의

$\sqrt2 + \sqrt3 = \sqrt5$ 라고 쓰고 싶은 유혹 — 반례 하나로 끝낸다:

\sqrt2 + \sqrt3 \approx 1.414 + 1.732 = 3.146, \qquad \sqrt5 \approx 2.236.

같지 않다. 근호는 곱은 통과시키지만( $\sqrt{ab} = \sqrt a\sqrt b$ ) 합은 통과시키지 않는다 — $(a+b)^2 \neq a^2+b^2$ 과 정확히 같은 구조의 함정이다. 제곱과 제곱근이 곱셈의 친척이지 덧셈의 친척이 아니라는 것, 이것이 두 함정의 공통 뿌리다.

간단히 한 뒤에야 같은 근호가 드러나는 경우가 많다:

예제 2 — 숨은 동류 근호

$\sqrt8 + \sqrt{18}$ 을 간단히 하라.

풀이. 그대로는 합칠 수 없지만, 각각 간단히 하면

\sqrt8 = 2\sqrt2, \qquad \sqrt{18} = 3\sqrt2

— 같은 $\sqrt2$ 였다:

\sqrt8 + \sqrt{18} = 2\sqrt2 + 3\sqrt2 = 5\sqrt2.

검산(제곱): $(5\sqrt2)^2 = 50$ 이고, $(\sqrt8+\sqrt{18})^2 = 8 + 2\sqrt{144} + 18 = 26 + 24 = 50$ ✓.

크기 비교 — 제곱해서 본다

$3\sqrt2$ 와 $2\sqrt3$ 중 어느 쪽이 큰가? 둘 다 양수이므로 제곱해서 비교해도 대소가 보존된다(양수에서 $s > t \iff s^2 > t^2$ — $s^2 - t^2 = (s-t)(s+t)$ 에서 $s+t > 0$ 이므로 부호가 $s-t$ 와 같다):

(3\sqrt2)^2 = 18, \qquad (2\sqrt3)^2 = 12 \implies 3\sqrt2 > 2\sqrt3.

근호가 섞인 대소 비교의 표준 수법이다. 다음 차시에서는 근호끼리의 곱셈을 본격적으로 다루고, 분모에 앉은 근호를 몰아내는 유리화를 배운다.

문제 탭에는 간단히 하기 기본기부터 숨은 동류 근호, $\sqrt9+\sqrt{16}$ 반례 서술, 크기 비교 삼파전, 그리고 $10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13 + 1$ 의 제곱근을 묻는 경시 문제까지 열세 문제가 있다.

Goals

Prove the multiplication property $\sqrt{ab} = \sqrt a \, \sqrt b$ and use it to simplify radicals like $\sqrt{20} = 2\sqrt5$ .
Add and subtract like radicals, and know by counterexample why $\sqrt a + \sqrt b \neq \sqrt{a+b}$ .
Compare radical expressions by comparing their squares.

The knot we left tied

The quadratics unit produced plenty of answers like $\sqrt7$ and $\sqrt{17}$ . Back then we said "the radical symbol is the exact answer" and moved on — but the questions have been piling up. Can $\sqrt{20}$ be written more simply? Is $\sqrt2 + \sqrt3$ equal to $\sqrt5$ ? Which is bigger, $3\sqrt2$ or $2\sqrt3$ ? This unit builds your hands for radicals.

First, the recap. For positive $k$ , the number $\sqrt k$ is the nonnegative number whose square is $k$ . Two facts fall straight out of the definition: $(\sqrt k)^2 = k$ , and $\sqrt{a^2} = a$ whenever $a \geq 0$ .

Watch out

When $a$ is negative, $\sqrt{a^2} = a$ is false. Compute: $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt9 = 3 = |-3|$ — the square root always hands back the nonnegative option, so in general

\sqrt{a^2} = |a|.

The absolute-value symbol from Unit 1 reports back for duty.

The multiplication property — proof first

\sqrt{ab} = \sqrt a \,\sqrt b \qquad (a, b \geq 0)

Proof. Let $s = \sqrt a \, \sqrt b$ . As a product of nonnegative numbers, $s \geq 0$ , and

s^2 = (\sqrt a)^2 (\sqrt b)^2 = ab.

So $s$ is a nonnegative number whose square is $ab$ — and there is only one such number: if nonnegative $s$ and $t$ satisfy $s^2 = t^2$ , then $s^2 - t^2 = (s-t)(s+t) = 0$ , forcing $s = t$ or $s + t = 0$ (both zero). Hence $s = \sqrt{ab}$ . $\blacksquare$

(Sum-times-difference carried the uniqueness argument — Unit 5's tools keep reporting for work.) The division version $\sqrt{\tfrac ab} = \tfrac{\sqrt a}{\sqrt b}$ (for $a \geq 0$ , $b > 0$ ) follows by the same logic.

Simplifying radicals

Read the multiplication property backwards, and square factors inside the radical can be pulled outside:

\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt4 \cdot \sqrt5 = 2\sqrt5.

The picture says the same thing — cut a square of area $20$ into four pieces, each a square of area $5$ , and the big side is twice the small one:

Cutting a square of area 20 into four squares of area 5 shows its side is 2 times root 5

The procedure is one sentence: find the largest square factor inside and pull it out. For big numbers, prime factorization is the reliable route.

Example 1 — Simplifying

\sqrt{72}

Solution. Since $72 = 2^3 \cdot 3^2 = 36 \cdot 2$ ,

\sqrt{72} = \sqrt{36}\,\sqrt2 = 6\sqrt2.

Check by squaring: $(6\sqrt2)^2 = 36 \cdot 2 = 72$ ✓. Stopping at $\sqrt{72} = \sqrt{4 \cdot 18} = 2\sqrt{18}$ is the standard half-finished answer — an unnoticed $9$ still hides inside $18$ . "If a square factor remains under the root, you are not done" — the exact factoring rule, transplanted.

Numbers like $\sqrt2$ and $\sqrt5$ that refuse to simplify are neither whole nor fractional — they are irrational: as decimals they run forever without repeating. (Proving that $\sqrt2$ cannot be a fraction takes a number-theory argument about counting prime factors, so it gets its proper treatment in the competition number-theory course.)

Like radicals: adding and subtracting

What is $3\sqrt2 + 5\sqrt2$ ? Three copies of the thing called $\sqrt2$ , plus five more — by the distributive law,

3\sqrt2 + 5\sqrt2 = (3+5)\sqrt2 = 8\sqrt2.

It is combining like terms, exactly: $3x + 5x = 8x$ with $\sqrt2$ sitting in for $x$ . And just as unlike terms refuse to merge, $\sqrt2 + \sqrt3$ stays as it is.

Watch out

The temptation to write $\sqrt2 + \sqrt3 = \sqrt5$ dies by one counterexample:

\sqrt2 + \sqrt3 \approx 1.414 + 1.732 = 3.146, \qquad \sqrt5 \approx 2.236.

Not equal. Radicals pass through products ( $\sqrt{ab} = \sqrt a\sqrt b$ ) but not through sums — structurally the very same trap as $(a+b)^2 \neq a^2+b^2$ . Squares and square roots are relatives of multiplication, not of addition; that is the common root of both traps.

Often the like radicals only appear after simplifying:

Example 2 — Hidden like radicals

Simplify $\sqrt8 + \sqrt{18}$ .

Solution. As written they won't combine — but simplify each:

\sqrt8 = 2\sqrt2, \qquad \sqrt{18} = 3\sqrt2

— the same $\sqrt2$ all along:

\sqrt8 + \sqrt{18} = 2\sqrt2 + 3\sqrt2 = 5\sqrt2.

Check by squaring: $(5\sqrt2)^2 = 50$ , while $(\sqrt8+\sqrt{18})^2 = 8 + 2\sqrt{144} + 18 = 26 + 24 = 50$ ✓.

Comparing sizes: square them

Which is larger, $3\sqrt2$ or $2\sqrt3$ ? Both are positive, and squaring preserves order among positives ( $s > t \iff s^2 > t^2$ , since $s^2 - t^2 = (s-t)(s+t)$ has the sign of $s-t$ when $s+t > 0$ ):

(3\sqrt2)^2 = 18, \qquad (2\sqrt3)^2 = 12 \implies 3\sqrt2 > 2\sqrt3.

That is the standard move for comparing radical expressions. Next lesson takes on products of radicals in earnest, and the art of clearing a radical out of a denominator — rationalizing.

The problems tab runs from simplification basics through hidden like radicals, a written refutation of $\sqrt9+\sqrt{16} = \sqrt{25}$ , a three-way size comparison, and a contest question about the square root of $10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13 + 1$ — thirteen problems.