산점도와 상관Scatter Plots & Correlation

(1) 키가 큰 사람은 대체로 발도 크다 — 양. (2) 많이 달린 차일수록 값이 낮아지는 경향 — 음. (3) 키가 크다고 수학을 잘할 이유가 없다 — 없음.

"대체로"가 핵심이다 — 상관은 예외 없는 법칙이 아니라 경향이다.

(1) Taller people tend to have bigger feet — positive. (2) The more a car has driven, the less it tends to fetch — negative. (3) Being tall gives no reason to be better at math — none.

"Tends to" is the key phrase — correlation is a tendency, not an exceptionless law.

① 점들이 전체적으로 오른쪽 위로 향한다 — 양의 상관. ② 그 띠에서 혼자 뚝 떨어진 점이 $A(8, 20)$이다: 주변 점들의 경향대로라면 $y$가 $70$을 넘어야 할 자리에서 $20$에 머물러 있다.

이상값은 지우는 것이 아니라 들여다보는 것이다 — 기록 실수일 수도 있고, 아팠던 날의 자료일 수도 있다. 사연을 알기 전에는 함부로 빼지 않는다.

① The points head up and to the right overall — positive correlation. ② The lone point far below the band is $A(8, 20)$: by its neighbors' tendency, $y$ should exceed $70$ there, yet it sits at $20$.

An outlier is not for deleting but for investigating — it may be a recording error, or data from a sick day. Until the story is known, it stays.

"약"을 붙이는 것까지가 답이다 — 추세선은 경향의 요약이라 실제 점수는 이 값 위아래로 흩어진다.

The word "about" is part of the answer — a trend line summarizes a tendency, and actual scores scatter above and below it.

기울기부터:

점 $(2, 50)$을 지나므로 $50 = 12 + b$에서 $b = 38$:

검산: $(8, 86)$ 대입 — $48 + 38 = 86$ ✓. 두 점으로 직선 세우기(U2)가 자료 분석의 도구로 재등장했다.

Slope first:

Through $(2, 50)$: $50 = 12 + b$ gives $b = 38$:

Check with $(8, 86)$: $48 + 38 = 86$ ✓. Building a line from two points — Unit 2 — reporting for duty as a data tool.

① 기울기는 "$x$ 한 칸당 $y$의 변화"다: 기온이 $1$°C 오르면 핫초코가 평균 $3$잔 덜 팔린다.

② 모델을 거꾸로 푼다:

검산: $-3 \times 18 + 80 = 26$ ✓. 추세선은 $x$에서 $y$로도, $y$에서 $x$로도 추정할 수 있다 — 어느 쪽이든 "약"이다.

① Slope is "change in $y$ per step of $x$": each degree warmer means about $3$ fewer hot chocolates sold.

② Run the model backwards:

Check: $-3 \times 18 + 80 = 26$ ✓. A trend line estimates in both directions, $x \to y$ and $y \to x$ — "about," either way.

시험은 몇 점 만점인가? 그리고 자료는 어느 범위에서 왔는가?

What is the test's maximum score? And what range did the data come from?

문제점 1 — 불가능한 값. $128$점은 $100$점 만점 시험에서 나올 수 없는 점수다. 모델이 물리적(제도적) 한계를 모르는 채 직선을 연장한 결과다.

문제점 2 — 외삽. 자료는 $1{\sim}9$시간 범위에서 관측됐다. $x = 15$는 그 범위를 한참 벗어난 외삽이고, 범위 밖에서는 경향 자체가 유지된다는 보장이 없다(수면 부족으로 점수가 꺾일 수도 있다).

채점 기준. 만점 초과(또는 값의 비현실성) 지적, 관측 범위 밖 외삽이라는 지적 — 두 가지가 모두 있으면 만점. "직선 모델이 무한히 이어진다는 가정 자체가 무리"라는 취지의 다른 표현도 인정.

Problem 1 — an impossible value. $128$ cannot occur on a $100$-point test. The model extended its line with no knowledge of the physical (institutional) ceiling.

Problem 2 — extrapolation. The data were observed on the $1$–$9$ hour range. $x = 15$ lies far outside it, and beyond the observed range nothing guarantees the tendency even continues (sleep deprivation could bend scores downward).

Grading. Full credit for naming both: the impossible value (exceeding the maximum), and the out-of-range extrapolation. Equivalent phrasings — "assuming the linear model continues forever is itself unjustified" — count.

두 변수를 동시에 밀어 올리는 제3의 변수가 있는가?

Is there a third variable pushing both at once?

두 변수 모두 더운 날씨라는 공통 원인의 결과다. 더우면 아이스크림이 많이 팔리고, 더우면 물놀이하는 사람이 많아져 사고도 늘어난다 — 두 변수는 함께 움직이지만 서로를 일으키지 않는다.

따라서 아이스크림 판매를 줄여도(공통 원인인 날씨가 그대로인 한) 사고는 줄지 않는다. 산점도가 보여주는 것은 "함께 움직인다"까지이고, 상관을 인과로 읽은 것이 이 주장의 오류다.

채점 기준. 공통 원인(더위/물놀이 인파)의 지목, "상관 ≠ 인과"의 명시, 개입(판매 축소)이 효과 없을 것이라는 결론. 셋이 논리적으로 이어지면 만점.

Both variables are effects of a common cause: hot weather. Heat sells ice cream, and heat sends people swimming, which raises accident counts — the two move together without either causing the other.

So cutting ice cream sales would not cut accidents (the weather, the actual cause, is untouched). A scatter plot shows only that two things move together; the claim's error is reading correlation as causation.

Grading. Identifying the common cause (heat / swimming crowds), stating correlation ≠ causation, and concluding that the intervention would fail. Full credit when the three connect logically.

첫 점 $(1, 4)$와 끝 점 $(5, 12)$를 지나는 직선:

$x = 6$: $y = 14$ cm(쯤). 검산 — 중간 자료와의 궁합: $x=3$ 예측 $8$ (실제 $8$ ✓), $x=2$ 예측 $6$ (실제 $5$, 가깝다) — 직선이 자료의 경향을 잘 요약한다.

(양 끝 두 점만 쓰는 것은 손으로 빠르게 긋는 간이법이다. 모든 점을 공평하게 반영하는 최소제곱 추세선은 AP Statistics에서 배운다.)

The line through the first point $(1, 4)$ and the last $(5, 12)$:

At $x = 6$: $y = 14$ cm, or so. Check against the middle data: $x=3$ predicts $8$ (actual $8$ ✓), $x=2$ predicts $6$ (actual $5$, close) — the line summarizes the tendency well.

(Using just the two endpoints is a quick by-hand method. The least-squares trend line, which weighs every point fairly, comes in AP Statistics.)

$x = 5$에서의 예측은 $6 \times 5 + 40 = 70$점. 실제는 $78$점이므로

— 추세선보다 $8$점 위에 있는 점이다. (실제값 $-$ 예측값을 잔차라 부른다 — 잔차가 큰 점이 곧 이상값 후보이고, 잔차들을 작게 만드는 직선이 곧 좋은 추세선이라는 아이디어가 AP Statistics의 최소제곱법으로 이어진다.)

The prediction at $x = 5$ is $6 \times 5 + 40 = 70$. The actual value is $78$, so

— a point sitting $8$ above the trend line. (Actual minus predicted is called the residual — large residuals flag outlier candidates, and "the line making residuals small" is the idea that grows into least squares in AP Statistics.)

일차 모델은 "한 방향으로 일정하게" 변하는 경향만 담을 수 있다. 던진 공은 올라갔다가 방향을 바꿔 내려온다 — 어떤 직선을 그어도 앞부분과 뒷부분 중 한쪽을 심하게 놓친다.

이 모양의 옷은 이차함수다: $h = -5t^2 + v_0 t + h_0$ (이차방정식 활용 차시의 그 모델). 자료 분석의 첫 질문은 "기울기가 얼마인가"가 아니라 **"어떤 모양의 함수가 맞는가"**다 — 산점도를 먼저 그려 보는 이유가 바로 이것이다.

A linear model can only express change that runs steadily in one direction. A thrown ball rises and then turns around — any line you draw badly misses either the early or the late points.

The garment that fits is a quadratic: $h = -5t^2 + v_0 t + h_0$ (the very model from the quadratic-applications lesson). Data analysis's first question is not "what is the slope" but "what shape of function fits" — which is exactly why the scatter plot gets drawn first.

소방차를 많이 부르게 만드는 것은 무엇인가?

What makes a fire summon many trucks in the first place?

공통 원인은 화재의 규모다. 큰불일수록 소방차가 많이 출동하고, 큰불일수록 피해액도 크다 — 소방차가 피해를 일으키는 것이 아니라, 불의 크기가 둘 다를 끌어올린다.

소방차 출동을 줄이면 피해가 줄기는커녕 커질 것이다 — 개입은 공통 원인(불의 규모)에 닿지 않고, 오히려 진짜 인과(진압력 부족 → 피해 확대)를 악화시킨다. 상관의 방향만 보고 개입을 설계하면 정반대의 결과를 얻을 수 있다는 고전적 사례다.

채점 기준. 공통 원인(화재 규모)의 지목, "상관 ≠ 인과" 명시, 제안된 개입이 역효과라는 결론. 비슷한 구조의 다른 사례(병원에 오래 입원한 환자일수록…)로 설명해도 논리가 맞으면 만점.

The common cause is the size of the fire. Bigger fires summon more trucks, and bigger fires cost more — the trucks don't cause the damage; the fire's size drives both.

Cutting dispatches would not reduce damage — it would raise it: the intervention never touches the common cause (fire size) and instead worsens the genuine causal link (less firefighting power → more damage). A classic case of designing an intervention off correlation's direction and getting the opposite result.

Grading. Naming the common cause (fire size), stating correlation ≠ causation, and concluding the proposed intervention backfires. An analogous example with the same structure (longer hospital stays and …) earns full credit if the logic holds.

각 학생의 예측 점수가 어떻게 변하는지 식으로 써 보라.

Write how each student's predicted score changes.

공부 시간이 $x$였던 학생의 모델 점수는 $5x + 45$. $2$시간 늘리면

— 누구든 정확히 $10$점씩 오른다($x$와 무관하게). 전원이 $10$점씩 오르면 평균도 정확히 $10$점 오른다: 평균은 총합을 $20$으로 나눈 것이고, 총합이 $20 \times 10 = 200$점 늘기 때문이다.

기울기의 뜻("한 칸당 $5$점")에 $2$칸을 곱한 것 — 개별에서 참인 "일정 증가"가 평균으로도 그대로 전달되는 것이 핵심이다.

A student who studied $x$ hours has model score $5x + 45$. Add $2$ hours:

— every student gains exactly $10$, regardless of $x$. And when everyone gains $10$, the average gains exactly $10$: the average is the total over $20$, and the total grew by $20 \times 10 = 200$.

It is the slope's meaning ("$5$ points per hour") times $2$ hours — with the key step that a uniform individual gain passes straight through to the average.