직선의 방정식 구하기Writing Equations of Lines

Algebra 1Algebra 1 · 2. 일차함수와 그래프2. Linear Functions & Graphs

학습 목표

점-기울기꼴 $y - y_1 = m(x - x_1)$ 을 직접 유도하고 자유롭게 쓴다.
기울기와 한 점, 또는 두 점이 주어졌을 때 직선의 방정식을 구한다.
표준형 $ax + by = c$ 로 바꿔 쓰고, 언제 이 꼴이 편한지 안다.
두 데이터로 일차 모델을 세우고 예측에 사용한다.

그래프 없이 직선을 잡아내기

지난 차시에서는 식을 보고 그래프를 그렸다. 이번에는 반대다 — 직선에 대한 정보만 주어졌을 때 식을 찾아낸다. 필요한 정보는 놀랄 만큼 적다. 직선은 한 점과 기울기만으로, 또는 두 점만으로 완전히 정해진다. (두 점이면 기울기를 계산할 수 있으니, 결국 첫 번째 경우로 돌아온다.)

$y$ 절편이 주어진다면 이미 아는 $y = mx + b$ 에 바로 넣으면 된다. 문제는 주어진 점이 $y$ 축 위에 있지 않을 때다. 그 경우를 위한 도구를 만들자.

점-기울기꼴: 정의에서 바로 나온다

점 $(x_1, y_1)$ 을 지나고 기울기가 $m$ 인 직선이 있다. 이 직선 위의 다른 점을 아무거나 잡아 $(x, y)$ 라 하자.

기울기 m인 직선 위의 고정점 (x₁, y₁)과 임의의 점 (x, y). 두 점 사이의 가로 이동은 x − x₁, 세로 이동은 y − y₁이다.

기울기는 어느 두 점에서 재도 같으므로, $(x_1, y_1)$ 과 $(x, y)$ 로 잰 기울기도 $m$ 이어야 한다:

\frac{y - y_1}{x - x_1} = m.

양변에 $(x - x_1)$ 을 곱하면:

정의점-기울기꼴

점 $(x_1, y_1)$ 을 지나고 기울기가 $m$ 인 직선의 방정식은

y - y_1 = m(x - x_1)

곱하기 전의 식은 $x = x_1$ 일 때(즉 점 $(x_1, y_1)$ 자신) 분모가 0이라 쓸 수 없었지만, 곱한 뒤에는 $0 = 0$ 으로 성립한다. 그래서 점-기울기꼴은 기준점 자신까지 포함해 직선 전체를 정확히 담는다.

외울 것은 사실상 없다 — "기울기를 두 점으로 쓴 다음 분모를 넘긴 것"이 전부다. 유도를 아는 사람은 시험장에서 공식이 헷갈릴 수가 없다.

예제 1 · 기울기와 점 하나

기울기가 2이고 점 $(3, 1)$ 을 지나는 직선의 방정식을 구하라.

풀이. 점-기울기꼴에 넣으면

y - 1 = 2(x - 3),

전개해 정리하면 $y = 2x - 5$ 이다.

검산: $x = 3$ 을 대입하면 $y = 6 - 5 = 1$ — 주어진 점을 지난다. 기울기도 식에서 바로 2다.

다른 길도 있다. $y = 2x + b$ 로 두고 $(3, 1)$ 을 대입해 $1 = 6 + b$ , $b = -5$ 를 얻는 방법이다. 어느 쪽이든 답은 $y = 2x - 5$ — 취향대로 골라 쓰되, 두 방법 모두 할 줄 알아야 한다.

두 점이 주어졌을 때

두 점이 주어지면 한 단계가 먼저 붙는다: 기울기부터 계산한다. 그다음은 예제 1과 같다.

예제 2 · 두 점

두 점 $(-1, 7)$ 과 $(2, 1)$ 을 지나는 직선의 방정식을 구하라.

풀이. 기울기부터:

m = \frac{1 - 7}{2 - (-1)} = \frac{-6}{3} = -2.

점 $(2, 1)$ 과 점-기울기꼴을 쓰면 $y - 1 = -2(x - 2)$ , 정리하면 $y = -2x + 5$ 이다.

검산: $(-1, 7)$ 대입 — $y = 2 + 5 = 7$ ✓. $(2, 1)$ 대입 — $y = -4 + 5 = 1$ ✓.

기준점으로 $(-1, 7)$ 을 골랐다면? $y - 7 = -2(x + 1)$ 을 정리해도 똑같이 $y = -2x + 5$ 가 나온다. 어느 점을 기준으로 잡아도 결과는 같다 — 같은 직선이니까. 계산이 편한 점을 고르면 된다.

표준형이라는 옷

같은 직선도 옷을 바꿔 입을 수 있다. $y = -2x + 5$ 의 양변에서 이항하면

2x + y = 5.

이런 $ax + by = c$ 꼴을 표준형이라 한다. 분수 계수를 정수로 만들 때, 그리고 $x$ 와 $y$ 를 대칭으로 다루고 싶을 때(절편 찾기, 다음 단원의 연립방정식) 편하다. 예컨대 $y = \frac{2}{3}x + 4$ 는 양변에 3을 곱해 $-2x + 3y = 12$ , 관례상 $x$ 계수를 양수로 맞춰

2x - 3y = -12

로 쓴다. 어느 꼴이 "정답"인 것은 아니다 — 문제가 요구하는 꼴, 다음 계산에 편한 꼴로 자유롭게 오가는 것이 실력이다.

수평선과 수직선은 이번에도 별도 취급이다. 점 $(4, -2)$ 를 지나는 수평선은 $y = -2$ , 수직선은 $x = 4$ — 수직선은 기울기가 없으므로 점-기울기꼴로는 절대 나오지 않는다.

두 데이터에서 모델로

"두 점으로 직선 찾기"의 실전 버전은 두 번의 측정으로 일차 모델 세우기다.

예제 3 · 온도 데이터

주전자를 불에 올리고 일정하게 가열한다. 3분에 물 온도가 26℃, 8분에 41℃였다.

(1) $t$ 분일 때 온도 $T$ ℃를 식으로 나타내라. ⁠ (2) 불을 켠 순간의 온도는? ⁠ (3) 계속 가열하면 14분에는 몇 도인가?

풀이. (1) 데이터는 두 점 $(3, 26)$ , $(8, 41)$ 이다. 기울기(분당 상승 온도)는

m = \frac{41 - 26}{8 - 3} = \frac{15}{5} = 3.

점 $(3, 26)$ 으로 점-기울기꼴을 쓰면 $T - 26 = 3(t - 3)$ , 정리하면 $T = 3t + 17$ 이다.

(2) $t = 0$ 을 대입하면 $T = 17$ . 절편 17이 곧 **처음 온도 17℃**다.

(3) $t = 14$ 를 대입하면 $T = 42 + 17 = 59$ . **59℃**로 예측된다.

검산: $t = 8$ 이면 $T = 24 + 17 = 41$ ✓. 모델의 한계도 한 줄: 물은 100℃에서 끓으므로 이 식은 $T$ 가 100에 닿기 전까지만 유효하다 — $3t + 17 = 100$ 이면 $t \approx 27.7$ 분, 그 뒤로는 직선이 아니라 수평선이 된다.

문제 탭에는 절편 조건, 표준형 변환, 그리고 격자 절편을 세는 경시 문제(약수로 직선 개수 세기)까지 열네 문제가 있다.

Goals

Derive the point-slope form $y - y_1 = m(x - x_1)$ yourself, and use it freely.
Find a line's equation from a slope and a point, or from two points.
Convert to standard form $ax + by = c$ , and know when that form earns its keep.
Build a linear model from two data points and use it to predict.

Pinning down a line without its graph

Last lesson went from equation to graph. Now we go the other way: given information about a line, recover its equation. Remarkably little is needed — a line is completely determined by one point and a slope, or by two points. (Two points let you compute the slope, which lands you back in the first case.)

If the given point happens to be the $y$ -intercept, just drop it into $y = mx + b$ and go. The trouble is when the known point is not on the $y$ -axis. Let's build the tool for that.

Point-slope form, straight from the definition

Take the line through $(x_1, y_1)$ with slope $m$ , and let $(x, y)$ be any other point on it.

A line of slope m with a fixed point (x₁, y₁) and a generic point (x, y). The horizontal change between them is x − x₁; the vertical change is y − y₁.

Slope is the same no matter which two points measure it, so measuring with $(x_1, y_1)$ and $(x, y)$ must give $m$ :

\frac{y - y_1}{x - x_1} = m.

Multiply both sides by $(x - x_1)$ :

DefinitionPoint-slope form

The line through $(x_1, y_1)$ with slope $m$ has equation

y - y_1 = m(x - x_1)

Before multiplying, the equation broke down at $x = x_1$ (zero denominator — the base point itself); after multiplying, that point satisfies it as $0 = 0$ . So point-slope form captures the whole line, base point included.

There's nothing to memorize here, really — it's just "the slope formula with the denominator moved across." If you can rederive it, it can't desert you in a test.

Example 1 · A slope and one point

Find the equation of the line with slope 2 through the point $(3, 1)$ .

Solution. Point-slope form gives

y - 1 = 2(x - 3),

which expands to $y = 2x - 5$ .

Check: $x = 3$ gives $y = 6 - 5 = 1$ , so the line passes through the given point, and the slope reads off as 2.

There's a second route: write $y = 2x + b$ and substitute $(3, 1)$ to get $1 = 6 + b$ , so $b = -5$ . Same answer, $y = 2x - 5$ . Use whichever you prefer — but own both.

Given two points

With two points, one step comes first: compute the slope. After that it's Example 1.

Example 2 · Two points

Find the equation of the line through $(-1, 7)$ and $(2, 1)$ .

Solution. Slope first:

m = \frac{1 - 7}{2 - (-1)} = \frac{-6}{3} = -2.

Using the point $(2, 1)$ : $y - 1 = -2(x - 2)$ , which tidies to $y = -2x + 5$ .

Check: at $(-1, 7)$ , $y = 2 + 5 = 7$ ✓; at $(2, 1)$ , $y = -4 + 5 = 1$ ✓.

What if we'd used $(-1, 7)$ as the base point instead? Then $y - 7 = -2(x + 1)$ , which tidies to... $y = -2x + 5$ . The same. Either point works — it's the same line — so pick whichever makes the arithmetic friendlier.

Standard form, a change of clothes

One line can dress differently. Moving terms in $y = -2x + 5$ :

2x + y = 5.

This shape, $ax + by = c$ , is called standard form. It shines when you want integer coefficients instead of fractions, and when $x$ and $y$ deserve equal billing — finding intercepts, and the systems of equations coming next unit. For instance, $y = \frac{2}{3}x + 4$ becomes, after multiplying through by 3 and making the $x$ -coefficient positive by convention,

2x - 3y = -12.

No form is "the right one." Moving fluently between forms, choosing whichever suits the next computation, is the actual skill.

Horizontal and vertical lines remain special. Through $(4, -2)$ : the horizontal line is $y = -2$ and the vertical line is $x = 4$ — and no amount of point-slope will ever produce a vertical line, since it has no slope.

From two data points to a model

The real-world version of "line through two points" is a linear model from two measurements.

Example 3 · Temperature data

A kettle heats water at a steady rate. At 3 minutes the water is 26°C; at 8 minutes it is 41°C.

(1) Express the temperature $T$ in °C at time $t$ minutes. ⁠ (2) What was the temperature when the heat went on? ⁠ (3) If heating continues, what does the model predict at 14 minutes?

Solution. (1) The data are two points, $(3, 26)$ and $(8, 41)$ . The slope — degrees per minute — is

m = \frac{41 - 26}{8 - 3} = \frac{15}{5} = 3.

Point-slope with $(3, 26)$ : $T - 26 = 3(t - 3)$ , which tidies to $T = 3t + 17$ .

(2) At $t = 0$ , $T = 17$ : the intercept is the starting temperature, 17°C.

(3) At $t = 14$ , $T = 42 + 17 = 59$ — the model predicts 59°C.

Check: $t = 8$ gives $T = 24 + 17 = 41$ ✓. And one line about the model's limits: water boils at 100°C, so the formula only holds until $T$ reaches 100 — from $3t + 17 = 100$ , about $t \approx 27.7$ minutes, after which the graph flattens instead of climbing.

The Problems tab has fourteen problems: intercept conditions, standard-form conversions, and a contest finale that counts lines through a point with integer intercepts — by counting divisors.

몸풀기Warm-up

배운 것을 그대로 손에 익히는 단계straightforward practice to get moving

문제Problem 1 몸풀기Warm-up

기울기가 3이고 점 $(1, 4)$ 를 지나는 직선의 방정식을 $y = mx + b$ 꼴로 구하라.

Find the equation of the line with slope 3 through $(1, 4)$ , in the form $y = mx + b$ .

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

y = 3x + 1

Answer ·

y = 3x + 1

점-기울기꼴로 $y - 4 = 3(x - 1)$ , 전개하면 $y = 3x + 1$ 이다.

검산: $x = 1$ 이면 $y = 3 + 1 = 4$ ✓.

Point-slope form gives $y - 4 = 3(x - 1)$ , which expands to $y = 3x + 1$ .

Check: $x = 1$ gives $y = 3 + 1 = 4$ ✓.

문제Problem 2 몸풀기Warm-up

기울기가 $-\dfrac{1}{2}$ 이고 점 $(4, -3)$ 을 지나는 직선의 방정식을 구하라.

Find the equation of the line with slope $-\dfrac{1}{2}$ through $(4, -3)$ .

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

y = -\dfrac{1}{2}x - 1

Answer ·

y = -\dfrac{1}{2}x - 1

점-기울기꼴로

y - (-3) = -\frac{1}{2}(x - 4),

즉 $y + 3 = -\dfrac{1}{2}x + 2$ 이고, 양변에서 3을 빼면 $y = -\dfrac{1}{2}x - 1$ 이다.

검산: $x = 4$ 이면 $y = -2 - 1 = -3$ ✓. $y - (-3)$ 이 $y + 3$ 이 되는 부호 처리가 이 문제의 전부다.

Point-slope form:

y - (-3) = -\frac{1}{2}(x - 4),

that is, $y + 3 = -\dfrac{1}{2}x + 2$ ; subtracting 3 gives $y = -\dfrac{1}{2}x - 1$ .

Check: $x = 4$ gives $y = -2 - 1 = -3$ ✓. The whole problem is the sign step where $y - (-3)$ becomes $y + 3$ .

문제Problem 3 몸풀기Warm-up

두 점 $(0, 6)$ 과 $(3, 0)$ 을 지나는 직선의 방정식을 구하라.

Find the equation of the line through $(0, 6)$ and $(3, 0)$ .

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

y = -2x + 6

Answer ·

y = -2x + 6

기울기는 $\dfrac{0 - 6}{3 - 0} = -2$ 이고, $(0, 6)$ 이 $y$ 절편이므로 바로

y = -2x + 6.

검산: $x = 3$ 이면 $y = -6 + 6 = 0$ ✓. 주어진 점 중 하나가 $y$ 축 위에 있으면 점-기울기꼴까지 갈 것도 없다.

The slope is $\dfrac{0 - 6}{3 - 0} = -2$ , and $(0, 6)$ is the $y$ -intercept, so immediately

y = -2x + 6.

Check: $x = 3$ gives $y = -6 + 6 = 0$ ✓. When one given point sits on the $y$ -axis, you don't even need point-slope form.

문제Problem 4 몸풀기Warm-up

점 $(2, 5)$ 를 지나고 기울기가 0인 직선의 방정식을 구하라.

Find the equation of the line through $(2, 5)$ with slope 0.

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

y = 5

Answer ·

y = 5

기울기 0은 수평선이다. $(2, 5)$ 를 지나는 수평선은 모든 점의 $y$ 좌표가 5이므로

y = 5.

점-기울기꼴로 해도 $y - 5 = 0 \cdot (x - 2)$ , 즉 $y = 5$ 로 같다.

Slope 0 means a horizontal line. The horizontal line through $(2, 5)$ keeps every $y$ -coordinate at 5:

y = 5.

Point-slope agrees: $y - 5 = 0 \cdot (x - 2)$ collapses to $y = 5$ .

핵심Core

이 차시의 목표 수준the target level for this lesson

문제Problem 5 핵심Core

두 점 $(-2, -1)$ 과 $(4, 8)$ 을 지나는 직선의 방정식을 구하라.

Find the equation of the line through $(-2, -1)$ and $(4, 8)$ .

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

y = \dfrac{3}{2}x + 2

Answer ·

y = \dfrac{3}{2}x + 2

기울기부터:

m = \frac{8 - (-1)}{4 - (-2)} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}.

점 $(4, 8)$ 로 점-기울기꼴을 쓰면 $y - 8 = \dfrac{3}{2}(x - 4)$ , 전개하면 $y = \dfrac{3}{2}x - 6 + 8 = \dfrac{3}{2}x + 2$ 이다.

검산: $(-2, -1)$ 대입 — $y = -3 + 2 = -1$ ✓.

Slope first:

m = \frac{8 - (-1)}{4 - (-2)} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}.

Point-slope with $(4, 8)$ : $y - 8 = \dfrac{3}{2}(x - 4)$ , which expands to $y = \dfrac{3}{2}x - 6 + 8 = \dfrac{3}{2}x + 2$ .

Check: at $(-2, -1)$ , $y = -3 + 2 = -1$ ✓.

문제Problem 6 핵심Core

$x$ 절편이 $(3, 0)$ 이고 $y$ 절편이 $(0, -4)$ 인 직선의 방정식을 구하라.

Find the equation of the line with $x$ -intercept $(3, 0)$ and $y$ -intercept $(0, -4)$ .

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

y = \dfrac{4}{3}x - 4

Answer ·

y = \dfrac{4}{3}x - 4

절편도 결국 두 점이다. 기울기는

m = \frac{-4 - 0}{0 - 3} = \frac{-4}{-3} = \frac{4}{3},

$y$ 절편이 $-4$ 이므로 $y = \dfrac{4}{3}x - 4$ 이다.

검산: $x = 3$ 이면 $y = 4 - 4 = 0$ ✓. 음수 나누기 음수에서 기울기가 양수가 되는 것을 놓치지 말 것 — 그림을 상상해도 왼쪽 아래에서 오른쪽 위로 가는 직선이다.

Intercepts are just two points. The slope is

m = \frac{-4 - 0}{0 - 3} = \frac{-4}{-3} = \frac{4}{3},

and the $y$ -intercept is $-4$ , so $y = \dfrac{4}{3}x - 4$ .

Check: $x = 3$ gives $y = 4 - 4 = 0$ ✓. Don't miss that negative-over-negative makes the slope positive — picture it: the line climbs from lower left to upper right.

문제Problem 7 핵심Core

직선 $y = \dfrac{2}{3}x + 4$ 를 정수 계수의 표준형 $ax + by = c$ ( $a > 0$ )로 나타내라.

Write the line $y = \dfrac{2}{3}x + 4$ in standard form $ax + by = c$ with integer coefficients and $a > 0$ .

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

2x - 3y = -12

Answer ·

2x - 3y = -12

분모를 없애기 위해 양변에 3을 곱하면 $3y = 2x + 12$ 이다. $x$ 항을 좌변으로 옮기면 $-2x + 3y = 12$ 이고, $a > 0$ 관례에 맞춰 양변에 $-1$ 을 곱하면

2x - 3y = -12.

검산: 이 식을 다시 $y$ 에 관해 풀면 $3y = 2x + 12$ , $y = \dfrac{2}{3}x + 4$ — 원래 식으로 돌아온다.

Multiply both sides by 3 to clear the fraction: $3y = 2x + 12$ . Moving the $x$ -term left gives $-2x + 3y = 12$ , and multiplying by $-1$ to satisfy the $a > 0$ convention:

2x - 3y = -12.

Check: solving back for $y$ gives $3y = 2x + 12$ , so $y = \dfrac{2}{3}x + 4$ — the original line.

문제Problem 8 핵심Core

직선 $y = 4x - 7$ 과 $y$ 절편이 같고 기울기가 $-3$ 인 직선의 방정식을 구하라.

Find the equation of the line that has the same $y$ -intercept as $y = 4x - 7$ but slope $-3$ .

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

y = -3x - 7

Answer ·

y = -3x - 7

$y = 4x - 7$ 의 $y$ 절편은 $-7$ 이다. 기울기 $-3$ 에 이 절편을 쓰면

y = -3x - 7.

검산: $x = 0$ 에서 두 직선 모두 $y = -7$ — 같은 점 $(0, -7)$ 에서 $y$ 축을 지난다 ✓.

The line $y = 4x - 7$ has $y$ -intercept $-7$ . With slope $-3$ and that intercept,

y = -3x - 7.

Check: at $x = 0$ both lines give $y = -7$ — they cross the $y$ -axis at the same point $(0, -7)$ ✓.

문제Problem 9 핵심Core

빈 것이 아닌 물통에 물을 일정한 속도로 받고 있다. 2분일 때 물이 11L, 7분일 때 26L였다.

(1) $t$ 분일 때 물의 양 $L$ 를 식으로 나타내라. ⁠ (2) 처음(0분)에 들어 있던 물은 몇 L인가? ⁠ (3) 물이 50L가 되는 것은 몇 분일 때인가?

Water pours into a tank (not empty to start) at a steady rate. At 2 minutes there are 11 L; at 7 minutes, 26 L.

(1) Express the volume $L$ at time $t$ minutes. ⁠ (2) How much water was in the tank at the start? ⁠ (3) At what time does the tank hold 50 L?

정답과 풀이Answer & solution

정답 · (1)

L = 3t + 5

⁠ (2)

5

L ⁠ (3)

15

분

Answer · (1)

L = 3t + 5

⁠ (2)

5

L ⁠ (3)

t = 15

minutes

(1) 데이터는 두 점 $(2, 11)$ , $(7, 26)$ 이다. 분당 증가량(기울기)은

m = \frac{26 - 11}{7 - 2} = \frac{15}{5} = 3.

점 $(2, 11)$ 로 점-기울기꼴을 쓰면 $L - 11 = 3(t - 2)$ , 정리하면 $L = 3t + 5$ 이다.

(2) $t = 0$ 이면 $L = 5$ . 처음에 5L가 들어 있었다.

(3) $3t + 5 = 50$ 에서 $3t = 45$ , $t = 15$ . 15분일 때다.

검산: $t = 7$ 이면 $L = 21 + 5 = 26$ ✓. $t = 15$ 가 데이터 구간(2~7분) 밖의 예측이라는 것도 의식해 두자 — "일정한 속도"라는 조건이 있으니 정당하다.

(1) The data are the points $(2, 11)$ and $(7, 26)$ . The rate (slope) is

m = \frac{26 - 11}{7 - 2} = \frac{15}{5} = 3.

Point-slope with $(2, 11)$ : $L - 11 = 3(t - 2)$ , which tidies to $L = 3t + 5$ .

(2) At $t = 0$ , $L = 5$ : the tank started with 5 L.

(3) Solving $3t + 5 = 50$ gives $3t = 45$ , so $t = 15$ — 15 minutes.

Check: $t = 7$ gives $L = 21 + 5 = 26$ ✓. Note that $t = 15$ extrapolates beyond the measured window (2–7 min) — legitimate here because the rate was stated to be steady.

도전Challenge

아이디어를 결합해야 풀리는 문제problems that take more than one idea

문제Problem 10 도전Challenge

점 $(-3, 2)$ 를 지나고 $x$ 절편이 $(3, 0)$ 인 직선의 방정식을 구하라.

Find the equation of the line through $(-3, 2)$ whose $x$ -intercept is $(3, 0)$ .

힌트Hint

" $x$ 절편이 $(3, 0)$ "도 결국 지나는 점 하나를 알려주는 조건이다. 이제 점이 두 개다.

"The $x$ -intercept is $(3, 0)$ " is just another point the line passes through. Now you have two.

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

y = -\dfrac{1}{3}x + 1

Answer ·

y = -\dfrac{1}{3}x + 1

주어진 것은 두 점 $(-3, 2)$ 와 $(3, 0)$ 이다. 기울기는

m = \frac{0 - 2}{3 - (-3)} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}.

점 $(3, 0)$ 으로 점-기울기꼴을 쓰면 $y - 0 = -\dfrac{1}{3}(x - 3)$ , 즉

y = -\frac{1}{3}x + 1.

검산: $(-3, 2)$ 대입 — $y = 1 + 1 = 2$ ✓. $y$ 절편은 $(0, 1)$ 이다.

We're given two points: $(-3, 2)$ and $(3, 0)$ . The slope is

m = \frac{0 - 2}{3 - (-3)} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}.

Point-slope with $(3, 0)$ : $y - 0 = -\dfrac{1}{3}(x - 3)$ , that is,

y = -\frac{1}{3}x + 1.

Check: at $(-3, 2)$ , $y = 1 + 1 = 2$ ✓. The $y$ -intercept is $(0, 1)$ .

문제Problem 11 도전Challenge

점 $(2, 3)$ 을 지나고, $x$ 절편과 $y$ 절편이 서로 같은(0이 아닌) 직선의 방정식을 구하라.

Find the equation of the line through $(2, 3)$ whose $x$ -intercept and $y$ -intercept are equal (and nonzero).

힌트Hint

절편을 둘 다 $a$ 라 하면 직선은 두 점 $(a, 0)$ 과 $(0, a)$ 를 지난다. 이 두 점으로 기울기를 구해 보면 놀랄 만큼 간단해진다.

Call the common intercept $a$ ; the line passes through $(a, 0)$ and $(0, a)$ . Compute the slope from those two points — it simplifies more than you'd expect.

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

y = -x + 5

⁠ (즉

x + y = 5

)

Answer ·

y = -x + 5

⁠ (equivalently

x + y = 5

)

공통 절편을 $a$ ( $a \neq 0$ )라 하면 직선은 $(a, 0)$ 과 $(0, a)$ 를 지난다. 기울기는

m = \frac{a - 0}{0 - a} = -1

로, $a$ 와 무관하게 항상 $-1$ 이다. 따라서 직선은 $y = -x + a$ 꼴이고, $(2, 3)$ 을 대입하면 $3 = -2 + a$ , $a = 5$ 이다:

y = -x + 5.

검산: 절편은 $(5, 0)$ 과 $(0, 5)$ 로 같다 ✓. $(2, 3)$ 대입 — $-2 + 5 = 3$ ✓.

표준형 $x + y = 5$ 로 쓰면 "두 좌표의 합이 5인 점들"이라는 뜻이 그대로 보인다 — 절편이 같은 직선의 정체는 이렇게 대칭적인 식이다.

Let the common intercept be $a \neq 0$ , so the line passes through $(a, 0)$ and $(0, a)$ . Its slope is

m = \frac{a - 0}{0 - a} = -1

— always $-1$ , regardless of $a$ . So the line has the form $y = -x + a$ ; substituting $(2, 3)$ gives $3 = -2 + a$ , so $a = 5$ :

y = -x + 5.

Check: the intercepts are $(5, 0)$ and $(0, 5)$ , equal ✓; and $-2 + 5 = 3$ ✓.

In standard form, $x + y = 5$ — "points whose coordinates sum to 5." That symmetry is exactly what equal intercepts look like as an equation.

문제Problem 12 도전Challenge 서술형written response

상수 $m$ 이 무엇이든, 직선 $y = m(x - 2) + 3$ 이 반드시 지나는 점이 하나 있다. 그 점을 찾고, 왜 $m$ 과 무관하게 항상 지나는지 설명하라.

Whatever the constant $m$ is, the line $y = m(x - 2) + 3$ always passes through one particular point. Find that point, and explain why it's on the line no matter what $m$ is.

힌트Hint

$m$ 이 식에서 사라지게 만드는 $x$ 값은 무엇일까?

Which value of $x$ makes $m$ vanish from the formula?

풀이와 채점 기준Solution & grading notes

$x = 2$ 를 대입하면

y = m(2 - 2) + 3 = m \cdot 0 + 3 = 3.

$m$ 이 곱해진 부분이 0이 되어 사라지므로, $m$ 이 무엇이든 $y = 3$ 이다. 따라서 모든 직선이 점 $(2, 3)$ 을 지난다.

이유를 뒤집어 말하면: $y = m(x-2) + 3$ 은 정확히 "점 $(2, 3)$ 을 지나고 기울기가 $m$ 인 직선"의 점-기울기꼴이다. $m$ 을 바꾸는 것은 점 $(2, 3)$ 에 꽂힌 핀을 중심으로 직선을 회전시키는 것이고, 핀 자리는 움직이지 않는다.

채점 기준. 점 $(2, 3)$ 을 찾음(1점), $m \cdot 0 = 0$ 이라는 소거 논리 또는 점-기울기꼴 해석으로 이유 설명(2점). $m$ 에 두어 값을 넣어 보고 "다 지나더라"로 끝내면 관찰이지 설명이 아니다 — 절반만.

Substitute $x = 2$ :

y = m(2 - 2) + 3 = m \cdot 0 + 3 = 3.

The term carrying $m$ collapses to zero, so $y = 3$ regardless of $m$ . Every such line passes through $(2, 3)$ .

Seen the other way: $y = m(x-2) + 3$ is precisely point-slope form for "the line through $(2, 3)$ with slope $m$ ." Changing $m$ rotates the line about a pin stuck at $(2, 3)$ — and the pin itself never moves.

Grading notes. One point for finding $(2, 3)$ ; two for the reason — the $m \cdot 0 = 0$ cancellation or the point-slope interpretation. Plugging in a few values of $m$ and noting "they all pass through it" is an observation, not an explanation — half credit.

경시Contest

대회 스타일competition style

문제Problem 13 경시Contest

어떤 직선이 점 $(2, -1)$ 을 지나고, 직선 $y = 3x + 5$ 와 $y$ 축 위에서 만난다. 이 직선의 $x$ 절편을 구하라.

A line passes through $(2, -1)$ and meets the line $y = 3x + 5$ on the $y$ -axis. Find its $x$ -intercept.

힌트Hint

" $y$ 축 위에서 만난다"는 조건을 점의 좌표로 바꿔 보자. $y = 3x + 5$ 는 $y$ 축과 어디서 만나는가?

Turn "they meet on the $y$ -axis" into a concrete point. Where does $y = 3x + 5$ cross the $y$ -axis?

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

\left(\dfrac{5}{3},\ 0\right)

Answer ·

\left(\dfrac{5}{3},\ 0\right)

$y = 3x + 5$ 가 $y$ 축과 만나는 점은 $(0, 5)$ 다. 두 직선이 $y$ 축 위에서 만난다고 했으므로, 구하는 직선도 $(0, 5)$ 를 지난다.

이제 두 점 $(0, 5)$ 와 $(2, -1)$ 을 지나는 직선이다. 기울기는

m = \frac{-1 - 5}{2 - 0} = -3,

$y$ 절편이 5이므로 $y = -3x + 5$ 이다.

$x$ 절편: $0 = -3x + 5$ 에서 $x = \dfrac{5}{3}$ , 즉 $\left(\dfrac{5}{3}, 0\right)$ 이다.

검산: $(2, -1)$ 대입 — $-6 + 5 = -1$ ✓. 조건 문장을 점 $(0, 5)$ 하나로 번역하는 순간 평범한 두 점 문제가 된다 — 경시 문제의 절반은 이런 번역이다.

The line $y = 3x + 5$ crosses the $y$ -axis at $(0, 5)$ . Since the two lines meet on the $y$ -axis, our line also passes through $(0, 5)$ .

So it's the line through $(0, 5)$ and $(2, -1)$ : slope

m = \frac{-1 - 5}{2 - 0} = -3,

with $y$ -intercept 5, giving $y = -3x + 5$ .

$x$ -intercept: $0 = -3x + 5$ gives $x = \dfrac{5}{3}$ , the point $\left(\dfrac{5}{3}, 0\right)$ .

Check: at $(2, -1)$ , $-6 + 5 = -1$ ✓. The moment the condition is translated into the single point $(0, 5)$ , this becomes an ordinary two-point problem — half of contest work is exactly that translation.

문제Problem 14 경시Contest

$x$ 절편과 $y$ 절편이 모두 양의 정수이고 점 $(4, 3)$ 을 지나는 직선은 모두 몇 개인가?

How many lines pass through the point $(4, 3)$ and have positive integer $x$ - and $y$ -intercepts?

힌트Hint

절편이 $(a, 0)$ , $(0, b)$ 인 직선의 방정식은 $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1$ 로 쓸 수 있다(두 점을 대입해 확인해 보라). $(4, 3)$ 을 넣고 정리한 식을 곱셈 꼴로 인수분해해 보자.

A line with intercepts $(a, 0)$ and $(0, b)$ can be written $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1$ (substitute both points to convince yourself). Plug in $(4, 3)$ , clear denominators, and force the equation into a product.

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

6

개

Answer ·

6

절편이 $(a, 0)$ , $(0, b)$ ( $a, b$ 는 양의 정수)인 직선은

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1

로 쓸 수 있다. ( $x = a, y = 0$ 과 $x = 0, y = b$ 가 모두 성립하니 확인 끝.) $(4, 3)$ 을 지나므로

\frac{4}{a} + \frac{3}{b} = 1.

양변에 $ab$ 를 곱하면 $4b + 3a = ab$ , 정리하면 $ab - 3a - 4b = 0$ 이다. 양변에 12를 더해 인수분해하면

(a - 4)(b - 3) = 12.

$\frac{4}{a} < 1$ 이어야 하므로 $a > 4$ , 즉 $a - 4$ 는 양수다. 12의 양의 약수 쌍을 모두 쓰면

$a-4$	$b-3$	$(a, b)$
1	12	$(5, 15)$
2	6	$(6, 9)$
3	4	$(7, 7)$
4	3	$(8, 6)$
6	2	$(10, 5)$
12	1	$(16, 4)$

여섯 쌍 각각이 서로 다른 직선을 주므로 답은 6개다.

검산: $(6, 9)$ 의 경우 $\frac{4}{6} + \frac{3}{9} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1$ ✓. $(16, 4)$ 의 경우 $\frac{4}{16} + \frac{3}{4} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$ ✓.

"12를 더해 곱으로 만드는" 이 인수분해는 경시에서 이름이 붙을 만큼 자주 쓰인다 — 정수 조건이 붙은 방정식을 보면 곱셈 꼴을 의심하자.

A line with intercepts $(a, 0)$ and $(0, b)$ , where $a, b$ are positive integers, can be written

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1

(both intercept points satisfy it — check done). Passing through $(4, 3)$ means

\frac{4}{a} + \frac{3}{b} = 1.

Multiplying by $ab$ gives $4b + 3a = ab$ , i.e. $ab - 3a - 4b = 0$ . Add 12 to both sides and factor:

(a - 4)(b - 3) = 12.

Since $\frac{4}{a} < 1$ forces $a > 4$ , the factor $a - 4$ is a positive divisor of 12:

$a-4$	$b-3$	$(a, b)$
1	12	$(5, 15)$
2	6	$(6, 9)$
3	4	$(7, 7)$
4	3	$(8, 6)$
6	2	$(10, 5)$
12	1	$(16, 4)$

Each pair gives a distinct line, so the answer is 6.

Check: for $(6, 9)$ , $\frac{4}{6} + \frac{3}{9} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1$ ✓; for $(16, 4)$ , $\frac{4}{16} + \frac{3}{4} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$ ✓.

The add-12-and-factor move has earned itself a nickname in contest circles — whenever an equation comes with integer constraints, suspect a product in disguise.