성장과 감쇠 모델Growth & Decay Models

증가율 $r$은 $\times(1+r)$, 감소율 $r$은 $\times(1-r)$:

(1) $1 + 0.07 = 1.07$. (2) $1 - 0.3 = 0.7$. (3) $100\%$ 증가와 같은 말 — $\times 2$.

검산: $100$에 적용하면 각각 $107$, $70$, $200$ — 말과 맞는다 ✓.

An increase rate $r$ means $\times(1+r)$; a decrease rate $r$ means $\times(1-r)$:

(1) $1 + 0.07 = 1.07$. (2) $1 - 0.3 = 0.7$. (3) The same as a $100\%$ increase — $\times 2$.

Check on $100$: the results $107$, $70$, $200$ match the words ✓.

① 시작값 $10000$, 인자 $1.1$: $P = 10000 \times 1.1^t$. ② $10000 \times 1.21 = 12100$명.

$10\%$ 두 번이 $20\%$($12000$명)가 아니라 $21\%$인 것 — 둘째 해의 $10\%$는 커진 $11000$명의 $10\%$이기 때문이다.

① Start $10000$, factor $1.1$: $P = 10000 \times 1.1^t$. ② $10000 \times 1.21 = 12100$.

Two rounds of $10\%$ give $21\%$, not $20\%$ ($12000$) — the second year's $10\%$ acts on the enlarged $11000$.

감쇠 인자는 $0.8$:

$20\%$ 두 번 $= 40\%$ 감소($1800$만 원)가 아니다 — 곱하면 $36\%$ 감소다.

The decay factor is $0.8$:

Two rounds of $20\%$ is not a $40\%$ drop ($18{,}000{,}000$) — multiplied out, it is a $36\%$ drop.

$15$일은 반감기 $3$번:

경로 확인: $80 \to 40 \to 20 \to 10$ ✓.

Fifteen days is $3$ half-lives:

Path check: $80 \to 40 \to 20 \to 10$ ✓.

복리: 매년 $\times 1.08$:

단리: 매년 원금의 $8\%$인 $8$만 원씩:

차액 $19712$원이 "이자가 낳은 이자"다. 검산: $1.08^3 = 1.08 \times 1.1664 = 1.259712$ ✓.

Compound: $\times 1.08$ each year:

Simple: a flat $8\%$ of principal, $80{,}000$ won per year:

The gap, $19{,}712$ won, is interest earned by interest. Check: $1.08^3 = 1.08 \times 1.1664 = 1.259712$ ✓.

연속 변화는 곱셈:

오를 때는 원래 가격의 $20\%$가 붙지만, 내릴 때는 불어난 가격의 $20\%$가 깎인다 — 깎이는 금액이 더 크다. 일반으로 $(1+r)(1-r) = 1 - r^2 < 1$: 같은 비율의 왕복은 반드시 $r^2$만큼 손해다.

수치 확인: $10000$원 → $12000$원 → $9600$원 ✓.

Consecutive changes multiply:

The rise adds $20\%$ of the original, but the fall removes $20\%$ of the inflated price — a larger amount. In general $(1+r)(1-r) = 1 - r^2 < 1$: a same-rate round trip always loses exactly $r^2$.

Numerical check: $10000 \to 12000 \to 9600$ won ✓.

$1.331 = \left(\frac{11}{10}\right)^3$인지 확인해 보라.

Check whether $1.331 = \left(\frac{11}{10}\right)^3$.

연 성장 인자를 $b$라 하면 $b^3 = 1.331$. $1.1^3 = 1.331$이므로($1.1^2 = 1.21$, $1.21 \times 1.1 = 1.331$) $b = 1.1$ — 연 $10\%$ 성장이다.

검산: $1.1^3 = 1.331$ ✓. 기간 전체의 배율에서 한 기간의 인자를 뽑는 것 — 등비수열에서 $r^3$으로 공비를 찾던 그 계산이다.

With annual factor $b$: $b^3 = 1.331$. Since $1.1^3 = 1.331$ ($1.1^2 = 1.21$, then $1.21 \times 1.1 = 1.331$), $b = 1.1$ — that is $10\%$ growth per year.

Check: $1.1^3 = 1.331$ ✓. Extracting one period's factor from a whole-period multiple — the same move that found a common ratio from $r^3$.

검산: $400 \to 1200 \to 3600 \to 10800$ ✓ — 밑 맞추기가 세 줄로 끝냈다.

Check: $400 \to 1200 \to 3600 \to 10800$ ✓ — base-matching, three lines, done.

$24$시간은 반감기 $4$번:

경로: $200 \to 100 \to 50 \to 25 \to 12.5$ ✓. 하루가 지나도 $6\%$가량 남는다 — 반감은 빨리 줄지만 $0$이 되지는 않는 감쇠다.

Twenty-four hours is $4$ half-lives:

Path: $200 \to 100 \to 50 \to 25 \to 12.5$ ✓. Even a full day leaves about $6\%$ — halving shrinks fast but never reaches $0$.

$1.06^2 \to 1.06^4 \to 1.06^8$을 차례로 만들고 $1.06^{12} = 1.06^8 \times 1.06^4$로 조립하라.

Build $1.06^2 \to 1.06^4 \to 1.06^8$, then assemble $1.06^{12} = 1.06^8 \times 1.06^4$.

제곱을 쌓아 올린다:

조립하면

$12$년 후 약 $2.012$배 — "두 배"와 거의 정확히 일치한다. $72$의 법칙은 어림 규칙이지만 실전에서 이 정도로 잘 맞는다. (지수를 반씩 쌓는 이 계산법 자체가 $(a^m)^n = a^{mn}$의 활용이다.)

Stack the squares:

Assemble:

About $2.012$ times after $12$ years — almost exactly double. The Rule of 72 is an estimate, but a remarkably serviceable one. (The build-by-squaring method is itself an application of $(a^m)^n = a^{mn}$.)

조건은 $1.02^t > 1.1$이다. $1.02$의 거듭제곱을 차례로 계산해 보라.

The condition is $1.02^t > 1.1$. Walk up the powers of $1.02$.

조건을 정리하면 $5000 \times 1.02^t > 5500$, 즉 $1.02^t > 1.1$. 거듭제곱을 짚는다:

$1.02^4 \approx 1.0824 < 1.1$이고 $1.02^5 \approx 1.1041 > 1.1$ — 처음 넘는 것은 $5$년 후다.

검산(인구로): $4$년 후 약 $5412$만 명(아직), $5$년 후 약 $5520$만 명(넘음) ✓. "처음"을 주장하려면 경계 양쪽을 다 보여야 한다.

The condition reduces to $50 \times 1.02^t > 55$, i.e. $1.02^t > 1.1$. Walk the powers:

Since $1.02^4 \approx 1.0824 < 1.1$ while $1.02^5 \approx 1.1041 > 1.1$, the first crossing is year $5$.

Check in people: after $4$ years about $54.12$ million (not yet); after $5$, about $55.2$ million (past) ✓. A "first time" claim needs both sides of the boundary.

남는 비율은 매년 $0.75$배다. $0.75$의 거듭제곱을 나열하라.

Each year keeps $0.75$ of what remains. List the powers of $0.75$.

매년 $0.75$배가 남으므로 조건은 $0.75^t \leq 0.25$:

$0.75^4 \approx 0.316 > 0.25$, $0.75^5 \approx 0.237 \leq 0.25$ — 최소 $5$년.

$25\%$씩 네 번이면 $100\%$ 사라질 것 같지만($4 \times 25 = 100$) 실제로는 $32\%$나 남는다 — 퍼센트는 더해지지 않는다는 것의 극적인 사례다.

Each year retains $0.75$, so the condition is $0.75^t \leq 0.25$:

Since $0.75^4 \approx 0.316 > 0.25$ and $0.75^5 \approx 0.237 \leq 0.25$: at least $5$ years.

Four rounds of $25\%$ feels like it should erase everything ($4 \times 25 = 100$), yet $32\%$ survives — a dramatic case of percents refusing to add.

지우는 $100 \times 1.2^t$, 하늘이는 $300 + 20t$ — 표를 만들어 정확히 실행하라(시뮬레이션).

Jiwoo has $100 \times 1.2^t$ and Haneul $300 + 20t$ (in units of $10^4$ won) — build a table and run it exactly (simulation).

지우 $J = 100 \times 1.2^t$, 하늘 $H = 300 + 20t$ (만 원). $1.2$의 거듭제곱을 쌓아 표를 만든다:

계산 근거: $1.2^2 = 1.44$, $1.2^4 = 1.44^2 = 2.0736$, $1.2^8 = 2.0736^2 \approx 4.2998$, $1.2^9 \approx 5.1598$.

$t = 8$: $J \approx 430 < 460 = H$ (아직). $t = 9$: $J \approx 516 > 480 = H$ — $9$년 후 처음 역전한다.

세 배 뒤진 출발도, 더하는 성장은 곱하는 성장을 오래 막지 못한다 — 다만 "오래"가 $9$년이라는 것은 표를 만들어야만 정확히 안다. 지수의 위력과 시뮬레이션의 성실함, 둘 다 필요한 문제다.

Jiwoo: $J = 100 \times 1.2^t$; Haneul: $H = 300 + 20t$ (units of $10^4$ won). Stack powers of $1.2$ and tabulate:

Backing computations: $1.2^2 = 1.44$, $1.2^4 = 1.44^2 = 2.0736$, $1.2^8 = 2.0736^2 \approx 4.2998$, $1.2^9 \approx 5.1598$.

At $t = 8$: $J \approx 430 < 460 = H$ (not yet). At $t = 9$: $J \approx 516 > 480 = H$ — the first overtake is year $9$.

Starting three times behind, additive growth still cannot hold off multiplicative growth for long — but pinning "long" at exactly $9$ years takes the table. The problem needs both: the power of exponentials and the honesty of simulation.