대푯값과 상자그림Center, Spread & Box Plots

평균: $\frac{3+7+7+9+14}{5} = \frac{40}{5} = 8$. 이미 크기순이므로 중앙값은 셋째 값 $7$. 두 번 나온 $7$이 최빈값.

평균($8$)이 중앙값($7$)보다 큰 것은 큰 값 $14$가 평균을 끌어올렸기 때문이다.

Mean: $\frac{3+7+7+9+14}{5} = \frac{40}{5} = 8$. Already sorted, so the median is the third value, $7$. The twice-appearing $7$ is the mode.

The mean ($8$) exceeding the median ($7$) is the large value $14$ pulling the mean upward.

개수가 짝수이므로 가운데 두 값의 평균:

중앙값이 자료에 없는 수여도 상관없다 — "절반은 이 값 이하, 절반은 이상"이라는 위치를 가리킬 뿐이다.

An even count, so average the two middle values:

The median needn't appear in the data — it marks the position "half at or below, half at or above," nothing more.

최댓값 $21$, 최솟값 $5$:

크기순으로 늘어놓지 않아도 최대·최소만 찾으면 된다 — 대신 그 두 값 말고는 아무것도 반영하지 못하는 것이 범위의 한계다.

Maximum $21$, minimum $5$:

No sorting needed — only the max and min matter. Which is also the range's weakness: it reflects nothing but those two values.

평균이 $15$이므로 총합은 $4 \times 15 = 60$. 나머지는

검산: $\frac{12+14+16+18}{4} = \frac{60}{4} = 15$ ✓. 평균 × 개수 = 총합 — 평균 문제의 절반은 이 등식으로 풀린다.

A mean of $15$ makes the total $4 \times 15 = 60$. The fourth value is

Check: $\frac{12+14+16+18}{4} = \frac{60}{4} = 15$ ✓. Mean × count = total — half of all mean problems reduce to this identity.

합은 $9000+9500+10000+10500+11000+30000 = 80000$원이므로 평균은 $\frac{80000}{6} \approx 13333$원. 중앙값은 셋째·넷째 값의 평균 $\frac{10000+10500}{2} = 10250$원.

평균 $13333$원은 여섯 명 중 다섯 명의 시급보다 높다 — 매니저의 $30000$원이 평균을 끌어올린 탓이다. 다섯 직원의 형편을 말하려면 이상값에 둔감한 중앙값이 정직하다.

The total is $9000+9500+10000+10500+11000+30000 = 80000$, so the mean is $\frac{80000}{6} \approx 13333$ won. The median averages the 3rd and 4th values: $\frac{10000+10500}{2} = 10250$ won.

The mean, $13333$, exceeds five of the six wages — the manager's $30000$ dragged it up. To speak for the five workers, the outlier-resistant median is the honest choice.

$11$개의 한가운데는 여섯째 값 — 중앙값 $70$. 아래 절반 $55, 58, \underline{61}, 64, 66$의 중앙값이 $Q_1 = 61$, 위 절반 $73, 75, \underline{79}, 82, 90$의 중앙값이 $Q_3 = 79$ (중앙값 자신은 양쪽에 넣지 않는 관례).

확인: $Q_1$ 아래에 자료 둘($55, 58$), $Q_3$ 위에 둘($82, 90$) — 각 구획에 대략 $\frac14$씩 ✓.

The middle of $11$ values is the sixth — median $70$. The lower half $55, 58, \underline{61}, 64, 66$ has median $Q_1 = 61$; the upper half $73, 75, \underline{79}, 82, 90$ has median $Q_3 = 79$ (the median itself joins neither half, per our convention).

Sanity check: two values sit below $Q_1$ ($55, 58$) and two above $Q_3$ ($82, 90$) — roughly a quarter in each section ✓.

눈금에서 다섯 수 요약을 읽는다: 최솟값 $25$, $Q_1 = 40$, 중앙값 $55$(상자 속 선), $Q_3 = 70$, 최댓값 $85$.

② $\text{IQR} = 70 - 40 = 30$. ③ 범위 $= 85 - 25 = 60$. ④ 가운데 $50\%$는 상자가 차지한 $[40, 70]$.

상자그림 하나에 대푯값(중앙값)과 산포(IQR·범위)가 모두 들어 있다 — 다섯 수만으로 그린 초상화답다.

Read the five-number summary off the scale: minimum $25$, $Q_1 = 40$, median $55$ (the line in the box), $Q_3 = 70$, maximum $85$.

② $\text{IQR} = 70 - 40 = 30$. ③ Range $= 85 - 25 = 60$. ④ The middle $50\%$ occupies the box: $[40, 70]$.

One box plot carries both center (median) and spread (IQR, range) — a proper portrait in five numbers.

평균은 모든 값을 더해 나누므로 $50$억짜리 한 채가 전체 평균을 $2$억 원 이상 끌어올린다(그 한 채가 평균에 $\frac{50-5}{20} = 2.25$억 원을 보탠다). 그 결과 "평균 집값"은 $20$채 중 $19$채보다 비싼 값이 되어 보통 집을 대표하지 못한다.

중앙값은 크기순 $10$·$11$번째 값의 평균이므로 펜트하우스가 $50$억이든 $500$억이든 변하지 않는다 — 쏠린 자료의 "보통"은 중앙값의 일이다. (실제로 집값·소득 통계 기사가 중앙값을 즐겨 쓰는 이유다.)

The mean adds everything and divides, so the one $5$-billion home lifts it by over $200$ million on its own (that single unit contributes $\frac{50-5}{20} = 2.25$ hundred-million to the mean). The resulting "average price" would exceed $19$ of the $20$ homes — representative of nothing typical.

The median averages the 10th and 11th sorted values, so it wouldn't budge whether the penthouse cost $5$ billion or $50$ billion — lopsided data's "typical" is the median's job. (Exactly why housing and income statistics in the news favor the median.)

$\text{IQR} = 32 - 20 = 12$이고 $1.5 \times 12 = 18$이므로

$55$는 위 울타리 $50$을 넘으므로 이상값이다. ($2$와 $50$ 사이의 값이라면, 설령 흔치 않아 보여도 이 규칙으로는 이상값이 아니다 — 눈대중 대신 쓸 수 있는 공식 기준이라는 것이 이 규칙의 값어치다.)

$\text{IQR} = 32 - 20 = 12$ and $1.5 \times 12 = 18$, so

$55$ exceeds the upper fence of $50$: an outlier. (Any value between $2$ and $50$ — however unusual it might look — is not one by this rule. Its worth is precisely that it replaces eyeballing with an official criterion.)

① 총합이 $10 \times 5 = 50$ 늘어나므로 평균은 $\frac{50}{10} = 5$ 늘어난 $29$. ② 총합이 $2$배가 되므로 평균도 $2$배인 $48$.

일반으로 모두에 $c$를 더하면 평균도 $c$ 더해지고, 모두를 $k$배 하면 평균도 $k$배가 된다 — 평균이 총합에서 오기 때문이다. (산점도 차시의 "전원 $2$시간 더 공부" 문제가 정확히 이 성질이었다.)

① The total grows by $10 \times 5 = 50$, so the mean grows by $\frac{50}{10} = 5$, to $29$. ② The total doubles, so the mean doubles, to $48$.

In general, adding $c$ to everything adds $c$ to the mean, and scaling everything by $k$ scales the mean by $k$ — because the mean comes from the total. (The scatter-plot lesson's "everyone studies 2 more hours" problem was exactly this property.)

평균끼리 평균 내면 안 된다 — 총점으로 돌아가라.

Averaging the averages is not allowed — go back to totals.

총점으로 돌아간다: A반 $20 \times 70 = 1400$점, B반 $30 \times 80 = 2400$점. 전체 평균은

두 평균의 단순 평균 $75$점이 아니다 — 인원이 더 많은 B반이 전체를 더 세게 당긴다(가중 평균). $76$이 $75$보다 B반 쪽($80$)에 치우친 것이 그 증거다.

Return to totals: class A has $20 \times 70 = 1400$ points, class B has $30 \times 80 = 2400$. The combined average is

It is not the simple average $75$ of the two averages — the larger class B pulls harder (a weighted average). The proof is in the lean: $76$ sits closer to B's $80$.

합이 얼마여야 하는가? 최빈값이 "유일하게" $5$이려면 $5$가 최소 몇 번 나와야 하는가?

What must the sum be? And for $5$ to be the unique mode, how many times must it appear?

조건을 수식으로 옮긴다. 평균 $10$ → 합 $50$. 중앙값 $12$ → 크기순 셋째 값이 $12$. 최빈값이 유일하게 $5$ → $5$가 두 번 이상, 다른 어떤 값도 그만큼 나오면 안 된다.

$5$를 두 번 쓰면 자료는 $5, 5, 12, d, e$ ($12 \leq d \leq e$) 꼴이고 $d + e = 50 - 22 = 28$. 주의 둘: $d = 12$면 $12$가 두 번 나와 최빈값이 유일하지 않게 되고, $d = e = 14$도 같은 문제다. $d = 13$, $e = 15$를 고르면

($5,5,12,13,15$ 외에도 $d+e = 28$, $12 < d < 14 < e$를 만족하는 조합이면 된다 — 조건을 만족하는 자료는 하나가 아니다.)

Translate the conditions. Mean $10$ → sum $50$. Median $12$ → the third sorted value is $12$. Unique mode $5$ → $5$ appears at least twice, and no other value may appear that often.

With two $5$s the data reads $5, 5, 12, d, e$ (where $12 \leq d \leq e$) and $d + e = 50 - 22 = 28$. Two cautions: $d = 12$ would make $12$ appear twice, breaking the mode's uniqueness, and $d = e = 14$ does the same. Choosing $d = 13$, $e = 15$:

(Any pair with $d+e = 28$ and $12 < d < 14 < e$ works too — the conditions pin down a family, not a single dataset.)

총점으로 계산한 뒤, 초과분이 어디에 쓰였는지 생각해 보라.

Compute via totals, then ask where the surplus goes.

총점으로 계산한다. 목표 총점은 $6 \times 84 = 504$점, 현재 총점은 $5 \times 82 = 410$점:

검산: $\frac{410 + 94}{6} = \frac{504}{6} = 84$ ✓.

관찰. $94 = 84 + 10$ — 새 점수는 목표 평균보다 $10$점 높아야 한다. 이유: 기존 다섯 시험은 새 평균 $84$보다 $2$점씩, 합해서 $10$점 모자란다. 그 부족분을 여섯 번째 시험이 전부 메워야 하므로 $84 + 5 \times 2 = 94$점이 필요하다. 일반으로 $n$번의 평균을 $\Delta$만큼 올리려면 새 시험에서 (새 평균) $+ n\Delta$점이 필요하다 — 시험이 쌓일수록($n$이 클수록) 평균 올리기가 가팔라지는 이유다.

Work with totals. The target total is $6 \times 84 = 504$; the current total is $5 \times 82 = 410$:

Check: $\frac{410 + 94}{6} = \frac{504}{6} = 84$ ✓.

Observation. $94 = 84 + 10$ — the new score must exceed the target average by $10$. Why: the five old tests each fall $2$ short of the new average, a $10$-point deficit in all, and the sixth test must cover it single-handedly: $84 + 5 \times 2 = 94$. In general, raising an $n$-test average by $\Delta$ takes a new score of (new average) $+ n\Delta$ — which is why lifting an average gets steeper as tests accumulate.