연립방정식 문장제Word Problems with Systems

Algebra 1Algebra 1 · 3. 연립방정식3. Systems of Equations

학습 목표

미지수 두 개가 필요한 문장제를 알아보고, 조건 두 개를 연립방정식으로 옮긴다.
대표 유형(개수와 금액, 구간 나누기, 나이, 증감)의 번역 틀을 익힌다.
표로 정보를 정리하는 습관을 들이고, 답은 반드시 원래 문장으로 검산한다.

미지수가 둘이면 조건도 둘

일차방정식 차시에서 배운 문장제 5단계(읽기 → 정의 → 번역 → 풀기 → 답하기)는 그대로다. 달라지는 것은 하나 — 구하려는 양이 두 개면 미지수를 두 개 정의하고, 그만큼 조건도 두 개 찾아야 한다는 것이다.

조건이 두 개 나오는 데는 이유가 있다. 문제를 다시 읽어 보면 대개 서로 다른 두 가지 양이 각각 집계되어 있다: 개수와 금액, 거리와 시간, 무게와 소금, 머리와 다리. 두 집계가 방정식 두 개를 준다 — 닭·토끼(머리 식, 다리 식)와 소금물(무게 식, 소금 식)에서 이미 본 구조다.

유형 1 · 개수와 금액

예제 1 · 입장권

어느 전시회의 입장권은 어른 5,000원, 어린이 3,000원이다. 8명이 입장하며 34,000원을 냈다면, 어른과 어린이는 각각 몇 명인가?

풀이. 어른을 $a$ 명, 어린이를 $c$ 명이라 하자. 표로 정리하면:

	어른	어린이	합계
인원(명)	$a$	$c$	$8$
금액(원)	$5000a$	$3000c$	$34000$

표의 두 줄이 곧 두 방정식이다:

a + c = 8, \qquad 5000a + 3000c = 34000.

둘째 식을 1,000으로 나누면 $5a + 3c = 34$ . 첫째 식에서 $a = 8 - c$ 를 대입하면

5(8 - c) + 3c = 34 \implies 40 - 2c = 34 \implies c = 3, \quad a = 5.

검산(원래 문장으로): 인원 $5 + 3 = 8$ 명 ✓, 금액 $25000 + 9000 = 34000$ 원 ✓.

따라서 어른 5명, 어린이 3명이다.

표는 장식이 아니다. 행 하나가 방정식 하나 — 정보를 표에 채우고 나면 번역이 끝나 있다. 이 차시의 모든 유형에서 같은 틀이 통한다.

유형 2 · 구간 나누기 (거리·속력·시간)

거리 문제에서 속력이 중간에 바뀌면, 구간별 거리를 미지수로 잡는 것이 정석이다. 이때 두 집계는 거리의 합과 시간의 합이다.

예제 2 · 걷다가 버스

집에서 10km 떨어진 도서관까지 가는데, 처음에는 시속 4km로 걷다가 나머지는 시속 12km인 버스를 타서 모두 1시간 30분이 걸렸다. 걸은 거리와 버스를 탄 거리는 각각 몇 km인가?

풀이. 걸은 거리를 $x$ km, 버스 거리를 $y$ km라 하자. 시간은 거리 나누기 속력이므로:

	걷기	버스	합계
거리(km)	$x$	$y$	$10$
시간(시간)	$\dfrac{x}{4}$	$\dfrac{y}{12}$	$\dfrac{3}{2}$

x + y = 10, \qquad \frac{x}{4} + \frac{y}{12} = \frac{3}{2}.

둘째 식에 12를 곱하면 $3x + y = 18$ . 첫째 식을 빼면 $2x = 8$ 이므로 $x = 4$ , $y = 6$ 이다.

검산: 거리 $4 + 6 = 10$ km ✓. 시간 $\frac{4}{4} + \frac{6}{12} = 1 + 0.5 = 1.5$ 시간 ✓.

따라서 걸은 거리 4km, 버스 거리 6km다.

주의

시간 문제의 최대 함정은 단위다. "1시간 30분"을 $1.3$ 으로 쓰는 순간 끝이다 — $1.5$ 시간(또는 $\frac{3}{2}$ 시간, 90분)으로 통일하라. 식을 세우기 전에 문제의 모든 단위(분/시간, m/km)를 한 가지로 맞추는 것이 첫 동작이다.

유형 3 · 나이와 증감

나이: "몇 년 후"는 모두에게 같이 흐른다 — 두 사람 모두에 같은 수를 더한다(일차방정식 차시의 경고 그대로).

증감(%): "작년 대비 $p\%$ 증가"는 작년 값의 $\left(1 + \frac{p}{100}\right)$ 배가 아니라, 증감량만 따로 모으는 편이 깔끔할 때가 많다 — 증가분 합계가 곧 둘째 방정식이 된다. 문제 탭의 학생 수 문제에서 직접 해 보자.

농도: 지난 차시 문제(소금물)에서 본 대로 — 무게 식 하나, 소금 식 하나.

세 유형 모두 결국 같은 문장으로 돌아온다: 섞이거나 변해도 따로 집계되는 두 양을 찾아라.

답하기 전에, 마지막 확인 두 가지

묻는 것에 답했는가? $x$ , $y$ 를 구하고 나서 문제를 다시 읽어라. "어른은 몇 명 더 많은가?"라면 답은 $a - c$ 이지 $a$ 가 아니다.
답이 상황에 맞는가? 사람 수가 음수이거나 분수라면 식 어딘가가 틀린 것이다. 거꾸로, 검산이 통과하는 분수 답이 나오는 상황(거리, 무게)도 있다 — 판단 기준은 언제나 문제의 세계다.

문제 탭에는 네 유형이 골고루, 그리고 가위바위보 계단 게임과 실제 AMC 8 기출(마주 보고 걷기)까지 열세 문제가 있다.

Goals

Recognize word problems that need two unknowns, and translate their two conditions into a system.
Learn the translation frames for the main types: count-and-cost, split journeys, ages, percent change.
Build the table habit for organizing information, and always check answers against the original wording.

Two unknowns need two conditions

The five-step routine from the equations lesson (read → define → translate → solve → answer) survives unchanged. What's new is just this: when two quantities are wanted, define two unknowns — and then you must find two conditions.

There's a reason two conditions are always there to find. Reread any such problem and you'll spot two different quantities being tallied separately: count and cost, distance and time, weight and salt, heads and legs. Each tally is an equation — the structure you already met in chickens-and-rabbits (a heads equation, a legs equation) and in salt water (a weight equation, a salt equation).

Type 1 · Count and cost

Example 1 · Admission tickets

Exhibition tickets cost 5,000 won for adults and 3,000 won for children. A group of 8 people paid 34,000 won. How many adults and how many children entered?

Solution. Let $a$ be the number of adults and $c$ the children. In a table:

	Adults	Children	Total
People	$a$	$c$	$8$
Cost (won)	$5000a$	$3000c$	$34000$

Each row of the table is an equation:

a + c = 8, \qquad 5000a + 3000c = 34000.

Dividing the second by 1,000 gives $5a + 3c = 34$ ; substituting $a = 8 - c$ :

5(8 - c) + 3c = 34 \implies 40 - 2c = 34 \implies c = 3, \quad a = 5.

Check (against the original words): $5 + 3 = 8$ people ✓, and $25000 + 9000 = 34000$ won ✓.

So: 5 adults and 3 children.

The table is not decoration. One row, one equation — once the table is filled, the translation is already done. The same frame runs through every type in this lesson.

Type 2 · Split journeys (distance, speed, time)

When the speed changes partway, the standard move is to let the unknowns be the distances of the parts. The two tallies are then total distance and total time.

Example 2 · Walk, then bus

The library is 10 km from home. You walk at 4 km/h, then ride a 12 km/h bus the rest of the way, arriving in 1 hour 30 minutes total. How far did you walk, and how far did you ride?

Solution. Let $x$ km be the walking distance and $y$ km the bus distance. Time is distance over speed:

	Walk	Bus	Total
Distance (km)	$x$	$y$	$10$
Time (h)	$\dfrac{x}{4}$	$\dfrac{y}{12}$	$\dfrac{3}{2}$

x + y = 10, \qquad \frac{x}{4} + \frac{y}{12} = \frac{3}{2}.

Multiplying the second equation by 12 gives $3x + y = 18$ ; subtracting the first gives $2x = 8$ , so $x = 4$ and $y = 6$ .

Check: distance $4 + 6 = 10$ km ✓; time $\frac{4}{4} + \frac{6}{12} = 1 + 0.5 = 1.5$ h ✓.

So: 4 km on foot, 6 km by bus.

Watch out

The biggest trap in time problems is units. Write "1 hour 30 minutes" as $1.3$ and the problem is over — it's $1.5$ hours (or $\frac{3}{2}$ h, or 90 minutes). Before writing any equation, convert everything in the problem (minutes/hours, m/km) into one consistent set of units. That's move zero.

Type 3 · Ages and percent change

Ages: "in $n$ years" happens to everyone — add the same number to both people (the exact warning from the equations lesson).

Percent change: for "up $p\%$ from last year," it's often cleaner to tally the changes themselves — the total change becomes your second equation. You'll try this on the student-count problem in the Problems tab.

Mixtures: as in last lesson's salt water problem — one weight equation, one salt equation.

All three types come back to the same sentence: find the two quantities that stay separately countable through the mixing and changing.

Two final checks before you answer

Did you answer what was asked? After finding $x$ and $y$ , reread the question. If it asks "how many more adults than children," the answer is $a - c$ , not $a$ .
Does the answer fit the situation? A negative or fractional number of people means an equation went wrong somewhere. Conversely, some quantities (distance, weight) can honestly be fractions — the judge is always the world of the problem.

The Problems tab has thirteen problems across all the types, plus a rock-paper-scissors staircase game and a real AMC 8 problem (two friends walking toward each other) to finish.