평행과 수직Parallel & Perpendicular Lines

평행이므로 기울기는 그대로 $-3$이고, $(0, 4)$가 $y$절편이므로 $y = -3x + 4$이다.

검산: 기울기 같음 ✓, 절편 $2 \neq 4$이므로 서로 다른 직선 ✓.

Parallel keeps the slope, $-3$; and $(0, 4)$ is the $y$-intercept, so $y = -3x + 4$.

Check: same slope ✓, different intercepts ($2 \neq 4$), so genuinely distinct lines ✓.

역수를 취하고 부호를 뒤집는다: $\dfrac{1}{4} \to -4$.

검산: $\dfrac{1}{4} \times (-4) = -1$ ✓.

Take the negative reciprocal: $\dfrac{1}{4} \to -4$.

Check: $\dfrac{1}{4} \times (-4) = -1$ ✓.

기울기의 곱은 $5 \times (-5) = -25$로 $-1$이 아니다. 수직이 아니다.

부호만 반대인 기울기는 수직 조건이 아니다 — 그래프를 그리면 두 직선은 $y$축에 대해 대칭인 가파른 V자를 이룰 뿐, 만나는 각은 $90°$보다 훨씬 작다. $5$의 수직 짝은 $-\dfrac{1}{5}$이다.

The slope product is $5 \times (-5) = -25$, not $-1$. Not perpendicular.

Opposite-sign slopes alone don't do it — graphed, these two form a steep V, symmetric about the $y$-axis, meeting at an angle much smaller than $90°$. The perpendicular partner of $5$ is $-\dfrac{1}{5}$.

$x$축에 평행한 직선은 수평선이다. $(3, -7)$을 지나는 수평선은 $y = -7$이다.

검산: $y = -7$은 기울기 0으로 $x$축(기울기 0)과 같은 기울기 ✓, 그리고 $x$축 자신은 아니다($-7 \neq 0$) ✓.

A line parallel to the $x$-axis is horizontal; through $(3, -7)$ that's $y = -7$.

Check: $y = -7$ has slope 0, matching the $x$-axis ✓, and it isn't the axis itself ($-7 \neq 0$) ✓.

수직이므로 기울기는 $2$의 음의 역수인 $-\dfrac{1}{2}$이다. 점-기울기꼴로

전개하면 $y = -\dfrac{1}{2}x + 3 + 1 = -\dfrac{1}{2}x + 4$이다.

검산: 기울기 곱 $2 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -1$ ✓. $x = 6$이면 $y = -3 + 4 = 1$ ✓.

Perpendicular means the negative reciprocal slope, $-\dfrac{1}{2}$. Point-slope form:

which expands to $y = -\dfrac{1}{2}x + 3 + 1 = -\dfrac{1}{2}x + 4$.

Check: slope product $2 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -1$ ✓, and $x = 6$ gives $y = -3 + 4 = 1$ ✓.

먼저 주어진 직선의 기울기를 읽는다. $2x + y = 7$을 $y$에 관해 풀면 $y = -2x + 7$ — 기울기 $-2$다.

평행하므로 같은 기울기로 점-기울기꼴을 쓰면 $y - 3 = -2(x + 1)$, 정리하면 $y = -2x + 1$이다.

검산: $x = -1$이면 $y = 2 + 1 = 3$ ✓. 표준형에서 기울기를 읽으려면 반드시 $y$에 관해 풀고 나서 — $2x + y = 7$의 기울기를 2로 잘못 읽는 실수가 흔하다.

First read off the given line's slope: solving $2x + y = 7$ for $y$ gives $y = -2x + 7$ — slope $-2$.

Using the same slope in point-slope form: $y - 3 = -2(x + 1)$, which tidies to $y = -2x + 1$.

Check: $x = -1$ gives $y = 2 + 1 = 3$ ✓. To read a slope from standard form, solve for $y$ first — misreading the slope of $2x + y = 7$ as 2 is a classic slip.

평행 조건은 기울기가 같은 것이다:

양변에서 $k$를 빼면 $0 = 2k - 8$, 즉 $k = 4$이다.

이때 두 직선은 $y = 4x + 2$와 $y = 4x - 1$ — 기울기가 같고 절편이 다르므로($2 \neq -1$) 일치하지 않는 진짜 평행선이다. 절편까지 같았다면 "같은 직선"이 되어 평행이라 부르지 않으므로, 이 확인은 형식적 절차가 아니라 답의 일부다.

Parallel means equal slopes:

Subtracting $k$ from both sides gives $0 = 2k - 8$, so $k = 4$.

The lines are then $y = 4x + 2$ and $y = 4x - 1$: equal slopes, different intercepts ($2 \neq -1$), so they're genuinely parallel rather than identical. Had the intercepts matched, the "two" lines would coincide and wouldn't be called parallel — that check is part of the answer, not a formality.

두 점으로 기울기를 $k$의 식으로 쓰고, 그것이 2와 같다고 놓자.

Write the slope through the two points as an expression in $k$, and set it equal to 2.

두 점의 기울기가 2여야 하므로

양변에 $(2 - k)$를 곱하면 $k - 3 = 2(2 - k) = 4 - 2k$이고, $2k$를 더하면 $3k - 3 = 4$, 즉 $3k = 7$, $k = \dfrac{7}{3}$이다.

검산: $k = \frac{7}{3}$이면 두 점은 $\left(\frac{7}{3}, 3\right)$, $\left(2, \frac{7}{3}\right)$이고 기울기는 $\dfrac{\frac{7}{3} - 3}{2 - \frac{7}{3}} = \dfrac{-\frac{2}{3}}{-\frac{1}{3}} = 2$ ✓. (분모가 0이 되는 $k = 2$가 아니므로 나눗셈도 정당하다.)

The slope through the two points must be 2:

Multiplying both sides by $(2 - k)$ gives $k - 3 = 2(2 - k) = 4 - 2k$; adding $2k$ gives $3k - 3 = 4$, so $3k = 7$ and $k = \dfrac{7}{3}$.

Check: with $k = \frac{7}{3}$ the points are $\left(\frac{7}{3}, 3\right)$ and $\left(2, \frac{7}{3}\right)$, and the slope is $\dfrac{\frac{7}{3} - 3}{2 - \frac{7}{3}} = \dfrac{-\frac{2}{3}}{-\frac{1}{3}} = 2$ ✓. (And $k \neq 2$, so the denominator we multiplied by was safely nonzero.)

곱해서 $-1$ 규칙을 쓰려고 하면 막힌다 — $x = 2$가 어떤 직선인지부터 그림으로 떠올리자.

Reaching for the product-equals-$-1$ rule jams here — first picture what kind of line $x = 2$ is.

$x = 2$는 수직선이다. 수직선에 수직인 직선은 수평선이고, $(5, -3)$을 지나는 수평선은

곱셈 규칙($m_1 m_2 = -1$)은 여기서 쓸 수 없다 — 수직선에는 기울기가 없기 때문이다. 수평·수직선이 낀 문제는 공식이 아니라 그림으로 푼다는 것을 확인하는 문제였다.

$x = 2$ is a vertical line. A line perpendicular to a vertical line is horizontal, and the horizontal line through $(5, -3)$ is

The product rule ($m_1 m_2 = -1$) is unusable here — a vertical line has no slope. This problem exists to confirm that horizontal/vertical cases are solved by picture, not by formula.

세 변 $AB$, $BC$, $CA$의 기울기를 모두 구해 두 개씩 곱해 보자. 직각은 두 변이 만나는 꼭짓점에 생긴다.

Find the slopes of all three sides $AB$, $BC$, $CA$ and multiply them in pairs. A right angle lives at the vertex where the two sides meet.

세 변의 기울기를 구한다.

$AB$와 $BC$의 기울기 곱은 $\dfrac{1}{2} \times (-2) = -1$이므로 두 변은 수직이다. 두 변이 만나는 점은 $B$이므로 $\angle B = 90°$ — $B$에서 직각인 직각삼각형이다.

나머지 곱은 $\frac{1}{2} \times 3 = \frac{3}{2}$, $(-2) \times 3 = -6$으로 $-1$이 아니므로 다른 직각은 없다.

채점 기준. 세 기울기 계산(1점), 수직인 쌍을 찾고 곱이 $-1$임을 보임(1점), 직각의 위치를 "두 변이 만나는 꼭짓점 $B$"로 정확히 짚음(1점). 피타고라스 정리로 $AB^2 + BC^2 = CA^2$ ($20 + 20 = 40$)을 확인하는 풀이도 만점 — 두 방법이 서로의 검산이 된다.

Slopes of the three sides:

The product for $AB$ and $BC$ is $\dfrac{1}{2} \times (-2) = -1$, so those sides are perpendicular. They meet at $B$, so $\angle B = 90°$ — the triangle is right-angled at $B$.

The other products, $\frac{1}{2} \times 3 = \frac{3}{2}$ and $(-2) \times 3 = -6$, are not $-1$, so there is no other right angle.

Grading notes. One point for the three slopes, one for finding the perpendicular pair via the $-1$ product, one for locating the right angle at the meeting vertex $B$. A Pythagorean check, $AB^2 + BC^2 = CA^2$ ($20 + 20 = 40$), earns full credit too — and the two methods audit each other.

필요한 것은 두 가지: $AB$의 중점(두 좌표의 평균), 그리고 $AB$ 기울기의 음의 역수.

You need two things: the midpoint of $AB$ (average the coordinates), and the negative reciprocal of $AB$'s slope.

중점은 좌표별 평균으로

$AB$의 기울기는 $\dfrac{1 - 3}{5 - 1} = -\dfrac{1}{2}$이므로, 수직인 직선의 기울기는 $2$다. 점 $M(3, 2)$로 점-기울기꼴을 쓰면 $y - 2 = 2(x - 3)$, 정리하면

검산: 기울기 곱 $-\frac{1}{2} \times 2 = -1$ ✓, $M$ 대입 $6 - 4 = 2$ ✓. 실제로 이 직선 위의 점 하나로 "같은 거리"를 확인해 보자 — $(0, -4)$에서 $A$까지 거리의 제곱은 $1^2 + 7^2 = 50$, $B$까지는 $5^2 + 5^2 = 50$. 같다.

The midpoint averages the coordinates:

The slope of $AB$ is $\dfrac{1 - 3}{5 - 1} = -\dfrac{1}{2}$, so the perpendicular direction has slope $2$. Point-slope through $M(3, 2)$: $y - 2 = 2(x - 3)$, which tidies to

Check: slope product $-\frac{1}{2} \times 2 = -1$ ✓, and $M$ satisfies it: $6 - 4 = 2$ ✓. Test the "equidistant" claim at one point of the line, say $(0, -4)$: squared distance to $A$ is $1^2 + 7^2 = 50$, and to $B$ is $5^2 + 5^2 = 50$. Equal.

구하는 직선을 $y = 2x + b$ ($b > 0$)로 놓고 두 절편을 $b$로 나타내면, 넓이가 $b$의 식이 된다.

Write the line as $y = 2x + b$ with $b > 0$, express both intercepts in terms of $b$, and the area becomes an equation in $b$.

평행 조건에서 기울기는 2이므로 구하는 직선을 $y = 2x + b$ ($b > 0$)라 하자.

$y$절편은 $(0, b)$, $x$절편은 $0 = 2x + b$에서 $\left(-\dfrac{b}{2}, 0\right)$이다. 두 축과 만드는 직각삼각형의 밑변 길이는 $\dfrac{b}{2}$, 높이는 $b$이므로

$b^2 = 36$이고 $b > 0$이므로 $b = 6$:

검산: 절편은 $(0, 6)$과 $(-3, 0)$, 넓이는 $\frac{1}{2} \times 3 \times 6 = 9$ ✓. ($b = -6$이면 $y = 2x - 6$도 넓이 9인 평행선이 된다 — 조건 "$y$절편 양수"가 답을 하나로 고정한 것이다.)

Parallel fixes the slope at 2, so write the line as $y = 2x + b$ with $b > 0$.

The $y$-intercept is $(0, b)$; the $x$-intercept solves $0 = 2x + b$, giving $\left(-\dfrac{b}{2}, 0\right)$. The right triangle against the axes has legs $\dfrac{b}{2}$ and $b$, so

Then $b^2 = 36$, and $b > 0$ gives $b = 6$:

Check: the intercepts are $(0, 6)$ and $(-3, 0)$, and the area is $\frac{1}{2} \times 3 \times 6 = 9$ ✓. (With $b = -6$, the line $y = 2x - 6$ also encloses area 9 — the "positive $y$-intercept" condition is what pins down a single answer.)

변 $BC$는 변 $AB$에 수직이고 길이가 같다. 개념 페이지의 회전 논법을 그대로 쓰자 — 가로 4, 세로 3짜리 계단을 $90°$ 돌리면 어떻게 되는가?

Side $BC$ must be perpendicular to side $AB$ and equally long. Use the rotation argument from the concept page verbatim — what happens to a run-4, rise-3 staircase when it turns $90°$?

$A$에서 $B$로의 이동은 "가로 $+4$, 세로 $+3$"이고, 그 길이는 $\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$다.

정사각형이므로 $B$에서 $C$로의 이동은 이것과 수직이고 같은 길이여야 한다. 가로 4·세로 3짜리 계단을 $90°$ 돌리면(개념 페이지의 회전 논법) "가로 $-3$, 세로 $+4$" 또는 반대쪽으로 돌려 "가로 $+3$, 세로 $-4$"가 된다 — 둘 다 길이 5다.

검산: $BC$의 기울기는 각각 $\dfrac{7-3}{1-4} = -\dfrac{4}{3}$, $\dfrac{-1-3}{7-4} = -\dfrac{4}{3}$이고, $AB$의 기울기 $\dfrac{3}{4}$과의 곱은 $-1$ ✓. 길이도 $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$로 같다 ✓.

따라서 $C$는 $(1, 7)$ 또는 $(7, -1)$ — 정사각형이 선분 $AB$의 어느 쪽에 있는지에 따라 두 경우가 모두 가능하다. (각 경우의 나머지 꼭짓점은 $D = (-3, 4)$ 또는 $D = (3, -4)$다.)

Going from $A$ to $B$ means "right 4, up 3," a displacement of length $\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$.

In a square, the step from $B$ to $C$ must be perpendicular to that and equally long. Rotating the run-4, rise-3 staircase by $90°$ (the concept page's rotation argument) gives "left 3, up 4" — or, turning the other way, "right 3, down 4." Both have length 5.

Check: the slopes of $BC$ are $\dfrac{7-3}{1-4} = -\dfrac{4}{3}$ and $\dfrac{-1-3}{7-4} = -\dfrac{4}{3}$; multiplied by $AB$'s slope $\dfrac{3}{4}$, both give $-1$ ✓. The lengths are $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$, matching ✓.

So $C$ is $(1, 7)$ or $(7, -1)$, depending on which side of segment $AB$ the square sits — both are valid. (The remaining vertex is then $D = (-3, 4)$ or $D = (3, -4)$ respectively.)

$OP$가 가져야 하는 기울기부터 정하자. 그러면 $P$는 두 조건 — 그 기울기의 직선 위 + 주어진 직선 위 — 을 동시에 만족해야 한다.

First decide what slope $OP$ must have. Then $P$ has to satisfy two conditions at once — it's on the line with that slope, and on the given line.

주어진 직선의 기울기는 $-1$이므로, 수직인 $OP$의 기울기는 $1$이어야 한다. 원점을 지나고 기울기 1인 직선은 $y = x$다.

$P$는 두 직선 위에 동시에 있어야 하므로

즉 $2x = 8$, $x = 4$이고 $y = 4$다. 따라서 $P = (4, 4)$이다.

검산: $(4, 4)$는 $y = -x + 8$ 위에 있고($-4 + 8 = 4$ ✓), $OP$의 기울기는 $\frac{4}{4} = 1$로 기울기 곱 $1 \times (-1) = -1$ ✓.

덧붙이면, 이 $P$는 원점에서 직선까지 가장 가까운 점(수선의 발)이다 — 가장 짧은 길은 언제나 수직으로 내린 길이라는 사실은 Geometry에서 증명하게 된다. 두 직선이 만나는 점을 찾는 계산은 다음 단원(연립방정식)의 주인공이기도 하다.

The given line has slope $-1$, so a perpendicular $OP$ must have slope $1$. The line through the origin with slope 1 is $y = x$.

$P$ lies on both lines at once:

so $2x = 8$, giving $x = 4$ and $y = 4$. Therefore $P = (4, 4)$.

Check: $(4, 4)$ is on $y = -x + 8$ since $-4 + 8 = 4$ ✓, and $OP$ has slope $\frac{4}{4} = 1$, with product $1 \times (-1) = -1$ ✓.