유리식의 덧셈과 뺄셈Adding & Subtracting Rational Expressions

분모가 같으므로 분자끼리 더한다:

검산($x = 1$): 원식 $\frac22 + \frac32 = \frac52$, 결과 $\frac52$ ✓.

Same denominator, so add the numerators:

Check at $x = 1$: original $\frac22 + \frac32 = \frac52$; result $\frac52$ ✓.

분자끼리 더한 뒤 약분한다:

더한 뒤 약분 확인까지가 한 동작이다. 검산($x = 3$): 원식 $\frac56 + \frac16 = 1$, 결과 $\frac33 = 1$ ✓.

Add the numerators, then reduce:

The reduction check after adding is part of the motion. Check at $x = 3$: original $\frac56 + \frac16 = 1$; result $\frac33 = 1$ ✓.

최소공배 분모는 $x^2$ — 첫 분수만 $x$로 부풀린다:

검산($x = 2$): 원식 $\frac32 + \frac24 = 2$, 결과 $\frac84 = 2$ ✓.

The LCD is $x^2$ — only the first fraction needs scaling, by $x$:

Check at $x = 2$: original $\frac32 + \frac24 = 2$; result $\frac84 = 2$ ✓.

최소공배 분모 $(x+2)(x-2)$로 통분한다:

분자에서 $-2$와 $+2$가 상쇄된다. 검산($x = 3$): 원식 $\frac15 + 1 = \frac65$, 결과 $\frac{6}{5}$ ✓.

Combine over the LCD $(x+2)(x-2)$:

The $-2$ and $+2$ cancel in the numerator. Check at $x = 3$: original $\frac15 + 1 = \frac65$; result $\frac{6}{5}$ ✓.

통분하면

분자를 마지막에 한 번 접어 두면(공통인수 $5$) 더 약분될 게 없는지도 확인된다. 검산($x = 2$): 원식 $2 + \frac12 = \frac52$, 결과 $\frac{5 \cdot 3}{1 \cdot 6} = \frac{15}{6} = \frac52$ ✓.

Over the common denominator,

Folding the numerator at the end (common factor $5$) doubles as a check that nothing further cancels. Check at $x = 2$: original $2 + \frac12 = \frac52$; result $\frac{5 \cdot 3}{1 \cdot 6} = \frac{15}{6} = \frac52$ ✓.

분모가 같으니 분자끼리 — 단, 빼는 분자 전체에 괄호:

$-(x-1) = -x+1$ — 뒤 항의 부호까지 바뀐다. 검산($x = 1$): 원식 $\frac14 - 0 = \frac14$, 결과 $\frac14$ ✓.

Same denominator, so subtract numerators — with parentheses around the whole subtracted one:

Note $-(x-1) = -x+1$ — the second term's sign flips too. Check at $x = 1$: original $\frac14 - 0 = \frac14$; result $\frac14$ ✓.

분모를 접으면 $x^2-9 = (x-3)(x+3)$ — 이것이 최소공배 분모다. 둘째 분수를 $(x+3)$으로 부풀린다:

분자에서 $x - (x+3) = -3$ — 괄호 없이 계산하면 $+3$이 나오는 그 함정이다. 검산($x = 4$): 원식 $\frac47 - 1 = -\frac37$, 결과 $\frac{-3}{1 \cdot 7} = -\frac37$ ✓.

Folding the denominator, $x^2-9 = (x-3)(x+3)$ — which is itself the LCD. Scale the second fraction by $(x+3)$:

In the numerator, $x - (x+3) = -3$ — the very trap that yields $+3$ without parentheses. Check at $x = 4$: original $\frac47 - 1 = -\frac37$; result $\frac{-3}{1 \cdot 7} = -\frac37$ ✓.

분모를 접으면 $x^2 - x = x(x-1)$ — 최소공배 분모는 $x(x-1)$이고, 둘째 분수만 $(x-1)$로 부풀린다:

검산($x = 2$): 원식 $\frac22 + \frac32 = \frac52$, 결과 $\frac{5}{2}$ ✓.

Folding gives $x^2 - x = x(x-1)$ — that is the LCD, and only the second fraction needs scaling, by $(x-1)$:

Check at $x = 2$: original $\frac22 + \frac32 = \frac52$; result $\frac{5}{2}$ ✓.

양변에 최소공배 분모 $2x$를 곱한다:

$x = 4$는 분모를 $0$으로 만들지 않으므로 유효하다. 검산: $\frac24 + \frac12 = \frac12 + \frac12 = 1$ ✓.

Multiply both sides by the LCD $2x$:

Since $x = 4$ zeroes no denominator, it stands. Check: $\frac24 + \frac12 = \frac12 + \frac12 = 1$ ✓.

양변에 $x-3$을 곱한 뒤 — 나온 후보가 분모에게 허락받을 수 있는지 보라.

Multiply both sides by $x-3$ — then ask whether the resulting candidate gets past the denominator.

양변에 $x-3$을 곱하면

그런데 $x = 3$은 원래 방정식의 분모 $x-3$을 $0$으로 만든다 — 양변이 정의되지 않으므로 무연근이다. 유일한 후보가 탈락했으니 해가 없다.

(확인 삼아 $x = 3$ 근처 값: $x = 4$이면 좌변 $4 - 2 = 2$, 우변 $3$ — 불일치 ✓, 실제로 어떤 $x$도 등식을 만족하지 않는다.)

Multiplying both sides by $x-3$:

But $x = 3$ zeroes the original denominators — both sides are undefined there, so it is extraneous. The only candidate fell, so the equation has no solution.

(A nearby spot check: at $x = 4$ the left side is $4 - 2 = 2$ versus the right side $3$ — no match ✓; indeed no $x$ satisfies the equation.)

양변에 $2x(x+3)$을 곱하면 이차방정식이 된다 — 후보 둘을 모두 검산하라.

Multiplying both sides by $2x(x+3)$ produces a quadratic — check both candidates.

양변에 $2x(x+3)$을 곱한다:

후보는 $x = 3$과 $x = -2$ — 어느 쪽도 분모($x$, $x+3$)를 $0$으로 만들지 않는다. 검산:

• $x = 3$: $\frac13 + \frac16 = \frac12$ ✓
• $x = -2$: $-\frac12 + 1 = \frac12$ ✓

둘 다 답이다. 무연근이 나오는 문제(앞 문제)와 둘 다 살아남는 문제 — 가르는 것은 오직 검산이다.

Multiply both sides by $2x(x+3)$:

Candidates $x = 3$ and $x = -2$ — neither zeroes a denominator ($x$ or $x+3$). Check:

• $x = 3$: $\frac13 + \frac16 = \frac12$ ✓
• $x = -2$: $-\frac12 + 1 = \frac12$ ✓

Both are answers. One problem loses its only candidate (the previous one), another keeps both — and only the check tells them apart.

통분하면 분자가 $(x+1)^2 - (x-1)^2$ — 어디서 본 꼴이다.

Over a common denominator the numerator becomes $(x+1)^2 - (x-1)^2$ — a familiar shape.

통분하면

분자는 제곱의 차 — 합차로 접는다:

따라서 결과는 $\dfrac{4x}{x^2-1}$. 검산($x = 2$): 원식 $3 - \frac13 = \frac83$, 결과 $\frac{8}{3}$ ✓. (전개해서 $4x$를 얻어도 물론 같다 — 합차가 세 줄을 한 줄로 줄일 뿐이다.)

Over the common denominator,

The numerator is a difference of squares — fold it:

So the result is $\dfrac{4x}{x^2-1}$. Check at $x = 2$: original $3 - \frac13 = \frac83$; result $\frac{8}{3}$ ✓. (Expanding also lands on $4x$, of course — the formula just turns three lines into one.)

$\dfrac{1}{k(k+1)}$을 $\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1}$로 쪼갤 수 있는가? 통분해서 확인해 보라.

Can $\dfrac{1}{k(k+1)}$ be split as $\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1}$? Verify by combining over a common denominator.

핵심 항등식을 먼저 확인한다 — 통분(이 차시의 기술)을 거꾸로 쓰는 것이다:

각 항을 이 꼴로 쪼개면 합이 망원경처럼 접힌다:

이웃한 항끼리 전부 상쇄되고 양 끝만 남는다. 검산(작은 경우): 처음 두 항 $\frac12 + \frac16 = \frac23$, 공식 $1 - \frac13 = \frac23$ ✓.

분수를 두 분수의 차로 쪼개는 이 기법(부분분수)은 통분의 역방향이다 — 유리식 단원의 마지막 문제가 단원의 기술을 거꾸로 돌려 끝맺는다.

First verify the key identity — it is this lesson's skill, run in reverse:

Splitting every term this way folds the sum like a telescope:

All neighboring pieces cancel, leaving only the two ends. Check on a small case: the first two terms give $\frac12 + \frac16 = \frac23$, and the formula gives $1 - \frac13 = \frac23$ ✓.

Splitting a fraction into a difference of fractions (partial fractions) is common denominators run backwards — the unit's final problem closes by reversing the unit's technique.