공통인수와 곱셈 공식 거꾸로Common Factors & Formulas in Reverse

계수 $6$과 $15$의 최대공약수 $3$을 묶는다:

검산(전개): $3 \cdot 2x = 6x$ ✓, $3 \cdot 5 = 15$ ✓.

Pull out $\gcd(6, 15) = 3$:

Check by expanding: $3 \cdot 2x = 6x$ ✓, $3 \cdot 5 = 15$ ✓.

계수의 최대공약수는 $4$, 문자는 두 항 모두에 $x^2$이 들어 있다:

$4(x^3 - 2x^2)$이나 $4x(x^2-2x)$에서 멈추면 괄호 안에 공통인수가 남는다. 검산($x = 3$): 원식 $108 - 72 = 36$, 결과 $36 \cdot 1 = 36$ ✓.

The coefficients share a factor of $4$, and both terms carry $x^2$:

Stopping at $4(x^3 - 2x^2)$ or $4x(x^2-2x)$ leaves a common factor inside. Check at $x = 3$: original $108 - 72 = 36$; result $36 \cdot 1 = 36$ ✓.

제곱의 차: $x^2 - 5^2 = (x+5)(x-5)$.

검산(전개): $x^2 - 5x + 5x - 25 = x^2 - 25$ ✓ — 가운데 항이 상쇄된다.

A difference of squares: $x^2 - 5^2 = (x+5)(x-5)$.

Check by expanding: $x^2 - 5x + 5x - 25 = x^2 - 25$ ✓ — the middle terms cancel.

양 끝이 $x^2$과 $6^2$, 가운데가 $2 \cdot x \cdot 6 = 12x$ ✓ — 완전제곱식이다:

검산($x = 1$): 원식 $1 + 12 + 36 = 49$, 결과 $7^2 = 49$ ✓.

The ends are $x^2$ and $6^2$, and the middle is $2 \cdot x \cdot 6 = 12x$ ✓ — a perfect square:

Check at $x = 1$: original $1 + 12 + 36 = 49$; result $7^2 = 49$ ✓.

공통인수를 통째로 묶으면 셋째 항 자리에는 무엇이 남는가?

If you pull out the entire common factor, what remains in the third term's slot?

계수 $6, 9, 3$의 최대공약수는 $3$; 문자는 세 항 공통으로 $a^2$과 $b$가 들어 있다. $3a^2b$를 묶으면

셋째 항은 공통인수 그 자체이므로 $1$이 남는다 — 이 $1$을 떨어뜨리는 것이 이 문제의 대표 오답이다. 검산(전개): $3a^2b \cdot 2a = 6a^3b$ ✓, $3a^2b \cdot (-3b) = -9a^2b^2$ ✓, $3a^2b \cdot 1 = 3a^2b$ ✓.

The coefficients $6, 9, 3$ share a factor of $3$; all three terms carry $a^2$ and $b$. Pulling out $3a^2b$:

The third term is the common factor, so a $1$ stays behind — dropping that $1$ is this problem's signature wrong answer. Check by expanding: $3a^2b \cdot 2a = 6a^3b$ ✓, $3a^2b \cdot (-3b) = -9a^2b^2$ ✓, $3a^2b \cdot 1 = 3a^2b$ ✓.

두 항 모두 제곱이다: $(3x)^2 - (4y)^2$. 합차 공식 거꾸로:

검산($x=1, y=1$): 원식 $9 - 16 = -7$, 결과 $7 \times (-1) = -7$ ✓.

Both terms are squares: $(3x)^2 - (4y)^2$. Difference of squares in reverse:

Check at $x=1, y=1$: original $9 - 16 = -7$; result $7 \times (-1) = -7$ ✓.

공통인수부터. 그다음 괄호 안을 다시 보라.

Common factor first. Then look again at what's inside the parentheses.

공통인수 $3x$를 먼저 묶는다:

괄호 안이 제곱의 차다 — 한 번 더 접는다:

검산($x = 3$): 원식 $81 - 36 = 45$, 결과 $9 \times 5 \times 1 = 45$ ✓. "더 접을 수 있는가?"를 물어야 끝까지 간다.

Pull out the common $3x$ first:

Inside sits a difference of squares — fold once more:

Check at $x = 3$: original $81 - 36 = 45$; result $9 \times 5 \times 1 = 45$ ✓. Asking "does anything fold further?" is what carries you to the end.

완전제곱식 판정의 두 번째 단계 — 가운데 항 확인 — 를 실행해 보라.

Run step two of the perfect-square test — the middle-term check.

판정. 양 끝은 $x^2$과 $4^2$으로 제곱이 맞다. 그러나 가운데 항 확인에서 $2 \cdot x \cdot 4 = 8x \neq 10x$ — 완전제곱식이 아니다. 전개 검산으로도 즉시 드러난다: $(x+4)^2 = x^2 + 8x + 16 \neq x^2 + 10x + 16$.

수정. 가운데 항 $10x$가 $2 \cdot x \cdot b$가 되려면 $b = 5$, 그러면 상수항은 $b^2 = 25$여야 한다:

검산: $2 \cdot x \cdot 5 = 10x$ ✓, $(x+5)^2 = x^2 + 10x + 25$ ✓.

채점 기준. 가운데 항 판정($8x \neq 10x$ 또는 전개 비교)으로 오류를 밝혔는가, 상수항 $25$와 $(x+5)^2$을 얻었는가, 수정한 식을 검산했는가. 반례 수치 대입(예: $x=1$에서 $27 \neq 25$)으로 오류를 보인 풀이도 만점.

The test. The ends, $x^2$ and $4^2$, are indeed squares. But the middle-term check gives $2 \cdot x \cdot 4 = 8x \neq 10x$ — not a perfect square. Expansion exposes it just as fast: $(x+4)^2 = x^2 + 8x + 16 \neq x^2 + 10x + 16$.

The fix. For the middle term $10x$ to equal $2 \cdot x \cdot b$ we need $b = 5$, which forces the constant term to be $b^2 = 25$:

Check: $2 \cdot x \cdot 5 = 10x$ ✓ and $(x+5)^2 = x^2 + 10x + 25$ ✓.

Grading. Identifying the failure via the middle-term check ($8x \neq 10x$) or by expansion, producing $25$ and $(x+5)^2$, and checking the corrected identity. Showing the error with a numerical counterexample instead (say $x=1$: $27 \neq 25$) earns full credit too.

양 끝은 $(2x)^2$과 $5^2$, 가운데는 $2 \cdot 2x \cdot 5 = 20x$ ✓ — 부호가 $-$인 완전제곱식이다:

검산($x = 1$): 원식 $4 - 20 + 25 = 9$, 결과 $(-3)^2 = 9$ ✓.

The ends are $(2x)^2$ and $5^2$; the middle is $2 \cdot 2x \cdot 5 = 20x$ ✓ — a perfect square with a minus:

Check at $x = 1$: original $4 - 20 + 25 = 9$; result $(-3)^2 = 9$ ✓.

$x^4 = (x^2)^2$. 한 번 접은 뒤, 나온 조각들을 다시 살펴보라.

$x^4 = (x^2)^2$. Fold once, then look again at the pieces.

$x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2$이므로 합차로

여기서 멈추면 안 된다 — $x^2 - 4$가 다시 제곱의 차다:

$x^2 + 4$는 제곱의 합이므로 더 접히지 않는다. 검산($x = 1$): 원식 $1 - 16 = -15$, 결과 $5 \times 3 \times (-1) = -15$ ✓.

Since $x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2$, the difference of squares gives

Don't stop — $x^2 - 4$ is itself a difference of squares:

The piece $x^2 + 4$ is a sum of squares, so it folds no further. Check at $x = 1$: original $1 - 16 = -15$; result $5 \times 3 \times (-1) = -15$ ✓.

$4052$는 어떤 수의 2배인가?

$4052$ is twice which number?

$4052 = 2 \times 2026$이므로 이 식은 $a = 2026$, $b = 2025$인 완전제곱 꼴이다:

거대해 보이는 식이 공식 하나로 $1$이 된다. 검산 삼아 구조만 다시 확인: $2026^2 - 2\cdot 2026 \cdot 2025 + 2025^2$ — 완전제곱 전개와 정확히 일치 ✓.

Since $4052 = 2 \times 2026$, the expression is a perfect square with $a = 2026$, $b = 2025$:

A monstrous-looking expression collapses to $1$ under one formula. As a check, re-read the structure: $2026^2 - 2 \cdot 2026 \cdot 2025 + 2025^2$ matches the perfect-square expansion exactly ✓.

괄호 안의 부호가 두 가지일 수 있다.

The sign inside the parentheses could go either way.

양 끝이 $x^2$과 $7^2$이므로 후보는 $(x+7)^2$과 $(x-7)^2$의 둘이다:

따라서 $k = 14$ 또는 $k = -14$. 하나 찾고 멈추면 절반짜리 답이다 — "모두 구하라"는 문제에서는 음수 쪽 괄호를 항상 의심하라.

With ends $x^2$ and $7^2$, there are two candidates, $(x+7)^2$ and $(x-7)^2$:

So $k = 14$ or $k = -14$. Finding one and stopping gives half an answer — on any "find all" problem, suspect the negative-sign parenthesis.

좌변을 인수분해하면 두 자연수의 곱이 된다. $45$의 약수 쌍을 나열해 보라.

Factor the left side into a product of two natural numbers, then list the factor pairs of $45$.

인수분해하면

$a, b$가 자연수이고 $a > b$이므로 $a+b$와 $a-b$는 모두 자연수이며 $a+b > a-b$다. $45$를 두 자연수의 곱으로 쓰는 방법은 $45 \times 1$, $15 \times 3$, $9 \times 5$의 세 가지. 각각에서 $a = \frac{(a+b)+(a-b)}{2}$, $b = \frac{(a+b)-(a-b)}{2}$로 복원한다:

• $a+b = 45$, $a-b = 1$ → $(a, b) = (23, 22)$
• $a+b = 15$, $a-b = 3$ → $(a, b) = (9, 6)$
• $a+b = 9$, $a-b = 5$ → $(a, b) = (7, 2)$

검산: $23^2 - 22^2 = 529 - 484 = 45$ ✓, $81 - 36 = 45$ ✓, $49 - 4 = 45$ ✓. ($45$가 홀수라 모든 약수 쌍이 홀수끼리 — 합과 차를 2로 나눌 때 항상 자연수가 나온다. 두 인수의 홀짝이 다르면 해가 없다는 것도 이 관찰에서 나온다.)

Factoring,

With $a, b$ natural and $a > b$, both $a+b$ and $a-b$ are natural numbers and $a+b > a-b$. The ways to write $45$ as such a product: $45 \times 1$, $15 \times 3$, $9 \times 5$. Recover $a = \frac{(a+b)+(a-b)}{2}$ and $b = \frac{(a+b)-(a-b)}{2}$ in each case:

• $a+b = 45$, $a-b = 1$ → $(a, b) = (23, 22)$
• $a+b = 15$, $a-b = 3$ → $(a, b) = (9, 6)$
• $a+b = 9$, $a-b = 5$ → $(a, b) = (7, 2)$

Check: $23^2 - 22^2 = 529 - 484 = 45$ ✓, $81 - 36 = 45$ ✓, $49 - 4 = 45$ ✓. (Because $45$ is odd, every factor pair is odd-with-odd, so halving the sum and difference always lands on whole numbers — and the same observation shows there is no solution when the two factors have opposite parity.)