제곱근 풀이와 완전제곱식 만들기Square Roots & Completing the Square

Algebra 1Algebra 1 · 6. 이차방정식과 이차함수6. Quadratics

학습 목표

$x^2 = k$ 꼴을 제곱근으로 풀고, 해가 $\pm$ 두 개인 이유를 안다.
완전제곱식 만들기로 인수분해가 안 되는 이차방정식까지 푼다.
$\left(\frac{b}{2}\right)^2$ 을 더하는 규칙이 그림(정사각형 완성)에서 나온다는 것을 안다.

접히지 않던 그 방정식

지난 차시 끝에 만난 $x^2 + 6x + 2 = 0$ — 곱 $2$ , 합 $6$ 인 정수 쌍이 없어 접히지 않았다. 이 방정식을 여는 것이 오늘의 목표다. 우회로는 뜻밖에 단순한 질문에서 시작한다: 가장 풀기 쉬운 이차방정식은 무엇인가?

$x^2 = k$ — 제곱을 벗기는 방정식

$x^2 = 9$ 는 "제곱해서 $9$ 가 되는 수는?"이라는 질문 그 자체다. $3$ 이 떠오르지만, $(-3)^2 = 9$ 이므로 $-3$ 도 답이다:

x^2 = 9 \implies x = 3 \;\text{또는}\; x = -3.

정의제곱근

양수 $k$ 에 대해 제곱해서 $k$ 가 되는 수는 정확히 두 개 있고, 그중 양수 쪽을 $\sqrt{k}$ 로 쓴다. 따라서 $x^2 = k$ 의 해는 $x = \sqrt{k}$ 와 $x = -\sqrt{k}$ , 묶어서 $x = \pm\sqrt{k}$ 다.

$k$ 가 완전제곱수가 아니어도 달라질 것은 없다. $x^2 = 7$ 의 해는 $x = \pm\sqrt{7}$ — 소수로 어림하면 $\pm 2.65$ 쯤이지만, $\sqrt{7}$ 이라는 표기 자체가 정확한 답이다(이런 수의 계산 규칙은 근호 단원에서 본격적으로 다룬다). 반대로 $x^2 = -4$ 는 실수 해가 없다: 어떤 실수도 제곱하면 음이 아니기 때문이다. 그리고 $x^2 = 0$ 의 해는 $x = 0$ 하나(중근)다. $k$ 의 부호 하나로 해의 개수가 $2, 1, 0$ 으로 갈린다 — 이 관찰이 다음 차시의 판별식으로 자란다.

주의

$x^2 = 9$ 의 답을 " $x = 3$ "이라고만 쓰는 것이 이 단원 전체에서 가장 흔한 감점이다. 제곱을 벗길 때는 반드시 $\pm$ — 두 갈래를 모두 적는다.

같은 원리는 덩어리에도 통한다. $(x-2)^2 = 25$ 라면 $x-2$ 라는 덩어리가 제곱해서 $25$ 가 되는 수, 즉 $\pm 5$ 다:

x - 2 = \pm 5 \implies x = 2 \pm 5 \implies x = 7 \;\text{또는}\; x = -3.

검산: $(7-2)^2 = 25$ ✓, $(-3-2)^2 = (-5)^2 = 25$ ✓. 좌변이 완전제곱이기만 하면, 이차방정식은 제곱근 한 번으로 풀린다. 그렇다면 남은 질문은 하나 — 완전제곱이 아닌 좌변을 완전제곱으로 만들 수 있는가?

완전제곱식 만들기

$x^2 + 6x$ 를 넓이로 그려 보자. $x \times x$ 정사각형에 $6x$ 를 반으로 갈라 $3x$ 짜리 직사각형 두 장으로 붙이면, 정사각형에서 모서리 한 조각만 빠진 ㄱ자 모양이 된다:

x제곱 더하기 6x를 정사각형과 두 직사각형으로 배치하면 모서리 9가 빠진 정사각형이 된다

빠진 모서리는 $3 \times 3 = 9$ . 그러니 $9$ 를 더하면 한 변이 $x+3$ 인 정사각형이 완성된다:

x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2.

"완전제곱식 만들기"라는 이름은 말 그대로다 — 정사각형(제곱)을 완성하는 것이다. 일반 규칙도 그림에서 바로 읽힌다: $x^2 + bx$ 에서 $bx$ 를 반으로 가르므로 조각의 폭은 $\frac{b}{2}$ , 빠진 모서리는

\left(\frac{b}{2}\right)^2 \qquad \text{— } x\text{의 계수의 절반의 제곱을 더한다.}

예제 1 — 접히지 않던 방정식을 열다

$x^2 + 6x + 2 = 0$ 을 풀어라.

풀이. 상수항을 우변으로 보내고, 양변에 $\left(\frac62\right)^2 = 9$ 를 더해 좌변을 완성한다:

x^2 + 6x = -2 \implies x^2 + 6x + 9 = 7 \implies (x+3)^2 = 7.

이제 제곱을 벗긴다:

x + 3 = \pm\sqrt{7} \implies x = -3 \pm \sqrt{7}.

검산( $x = -3+\sqrt{7}$ ): $x^2 = 9 - 6\sqrt{7} + 7 = 16 - 6\sqrt{7}$ 이고 $6x = -18 + 6\sqrt{7}$ 이므로

x^2 + 6x + 2 = (16 - 6\sqrt{7}) + (-18 + 6\sqrt{7}) + 2 = 0 \;✓

( $\sqrt{7}$ 항이 정확히 상쇄된다 — 다른 해도 같은 방식으로 ✓). 정수 쌍이 없어 접히지 않던 방정식이 열렸고, 해는 무리수였다. 인수분해 실패는 "해 없음"이 아니라 "정수 해 없음"일 뿐이다.

앞 계수가 있으면 — 나누고 시작한다

완전제곱 만들기는 $x^2$ 의 계수가 $1$ 일 때의 그림이다. 계수가 있으면 먼저 양변을 그 계수로 나눈다:

3x^2 + 6x - 12 = 0 \implies x^2 + 2x - 4 = 0 \implies x^2 + 2x + 1 = 5 \implies (x+1)^2 = 5,

따라서 $x = -1 \pm \sqrt{5}$ . 검산( $x = -1+\sqrt5$ ): $x^2 = 6 - 2\sqrt5$ , $2x = -2 + 2\sqrt5$ , 합하면 $6 - 2\sqrt5 - 2 + 2\sqrt5 - 4 = 0$ ✓.

이 절차가 향하는 곳

오늘의 절차를 정리하면: ① 계수로 나눈다 ② 상수를 넘긴다 ③ $\left(\frac{b}{2}\right)^2$ 을 더한다 ④ 제곱을 벗긴다( $\pm$ !). 이 네 단계는 어떤 이차방정식에도 통한다 — 접히든 안 접히든.

그렇다면 궁금해진다. 숫자 대신 문자 그대로 $ax^2+bx+c=0$ 에 이 네 단계를 실행하면 무슨 일이 벌어질까? 답부터 말하면, 모든 이차방정식의 해를 한 방에 주는 근의 공식이 튀어나온다. 다음 차시에서 직접 유도한다.

문제 탭에는 $\pm$ 기본기부터 두 방법(인수분해·완전제곱)의 교차 검산, 최솟값 맛보기, 그리고 완전제곱 두 번으로 $x$ , $y$ 를 동시에 결정하는 경시 문제까지 열세 문제가 있다.

Goals

Solve equations of the form $x^2 = k$ with square roots, and know why there are $\pm$ two solutions.
Solve quadratics that refuse to factor, by completing the square.
See where the rule "add $\left(\frac{b}{2}\right)^2$ " comes from — literally completing a square in a picture.

The equation that wouldn't fold

At the end of last lesson we met $x^2 + 6x + 2 = 0$ — no integer pair with product $2$ and sum $6$ , so it wouldn't fold. Opening it is today's goal, and the detour starts with a surprisingly simple question: what is the easiest quadratic equation in the world?

$x^2 = k$ : peeling off a square

The equation $x^2 = 9$ is the question "which numbers square to $9$ ?" The answer $3$ comes to mind — but $(-3)^2 = 9$ too:

x^2 = 9 \implies x = 3 \;\text{ or }\; x = -3.

DefinitionSquare roots

For a positive number $k$ , exactly two numbers square to $k$ ; the positive one is written $\sqrt{k}$ . The solutions of $x^2 = k$ are therefore $x = \sqrt{k}$ and $x = -\sqrt{k}$ — together, $x = \pm\sqrt{k}$ .

Nothing changes when $k$ isn't a perfect square. The solutions of $x^2 = 7$ are $x = \pm\sqrt{7}$ — roughly $\pm 2.65$ as decimals, but the symbol $\sqrt{7}$ itself is the exact answer (the arithmetic of such numbers gets its own unit later). By contrast, $x^2 = -4$ has no real solution: no real number squares to a negative. And $x^2 = 0$ has the single solution $x = 0$ (a repeated root). The sign of $k$ alone swings the solution count through $2, 1, 0$ — an observation that will grow into next lesson's discriminant.

Watch out

Writing " $x = 3$ " as the answer to $x^2 = 9$ is the most common lost point in this whole unit. When you peel off a square, always $\pm$ — write both branches.

The same move works on chunks. If $(x-2)^2 = 25$ , then the chunk $x-2$ is a number that squares to $25$ , namely $\pm 5$ :

x - 2 = \pm 5 \implies x = 2 \pm 5 \implies x = 7 \;\text{ or }\; x = -3.

Check: $(7-2)^2 = 25$ ✓ and $(-3-2)^2 = (-5)^2 = 25$ ✓. As long as the left side is a perfect square, one square root finishes the equation. Which leaves exactly one question — can a non-square left side be made into a square?

Completing the square

Draw $x^2 + 6x$ as area. Take the $x \times x$ square, cut the $6x$ in half, and lay the two $3x$ rectangles along two sides. What you get is an L-shape — a square with one corner missing:

Arranging x-squared plus 6x as a square and two strips leaves a square with a 9-sized corner missing

The missing corner is $3 \times 3 = 9$ . Add $9$ , and a full square of side $x+3$ is completed:

x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2.

The name "completing the square" is literal — you are finishing a geometric square. The general rule reads straight off the picture: in $x^2 + bx$ , the $bx$ gets cut in half, so each strip has width $\frac{b}{2}$ , and the missing corner is

\left(\frac{b}{2}\right)^2 \qquad \text{— add the square of half the coefficient of } x.

Example 1 — Opening the unfoldable equation

Solve $x^2 + 6x + 2 = 0$ .

Solution. Send the constant to the right side, then add $\left(\frac62\right)^2 = 9$ to both sides to complete the left:

x^2 + 6x = -2 \implies x^2 + 6x + 9 = 7 \implies (x+3)^2 = 7.

Now peel off the square:

x + 3 = \pm\sqrt{7} \implies x = -3 \pm \sqrt{7}.

Check (at $x = -3+\sqrt{7}$ ): $x^2 = 9 - 6\sqrt{7} + 7 = 16 - 6\sqrt{7}$ and $6x = -18 + 6\sqrt{7}$ , so

x^2 + 6x + 2 = (16 - 6\sqrt{7}) + (-18 + 6\sqrt{7}) + 2 = 0 \;✓

(the $\sqrt{7}$ terms cancel exactly — the other solution checks the same way ✓). The equation that had no integer pair opened after all, with irrational solutions. A failed factorization means "no integer solutions," never "no solutions."

With a leading coefficient: divide first

The picture behind completing the square assumes the $x^2$ coefficient is $1$ . When it isn't, divide both sides by it first:

3x^2 + 6x - 12 = 0 \implies x^2 + 2x - 4 = 0 \implies x^2 + 2x + 1 = 5 \implies (x+1)^2 = 5,

so $x = -1 \pm \sqrt{5}$ . Check (at $x = -1+\sqrt5$ ): $x^2 = 6 - 2\sqrt5$ and $2x = -2 + 2\sqrt5$ , so the total is $6 - 2\sqrt5 - 2 + 2\sqrt5 - 4 = 0$ ✓.

Where the procedure leads

Today's procedure, in order: ① divide by the leading coefficient ② move the constant across ③ add $\left(\frac{b}{2}\right)^2$ ④ peel the square (with $\pm$ !). These four steps work on every quadratic equation — foldable or not.

Which raises a question. What happens if you run the four steps on $ax^2+bx+c=0$ itself — with letters instead of numbers? The answer: out pops the quadratic formula, which hands you the solutions of any quadratic at once. Next lesson, we derive it exactly that way.

The problems tab runs from $\pm$ basics through a cross-check between the two methods (factoring vs. completing), a first taste of minimum values, and a contest problem where completing the square twice pins down $x$ and $y$ simultaneously — thirteen problems.

제곱근 풀이와 완전제곱식 만들기Square Roots & Completing the Square

접히지 않던 그 방정식

$x^2 = k$ — 제곱을 벗기는 방정식

완전제곱식 만들기

앞 계수가 있으면 — 나누고 시작한다

이 절차가 향하는 곳

The equation that wouldn't fold

$x^2 = k$ : peeling off a square

Completing the square

With a leading coefficient: divide first

Where the procedure leads

몸풀기Warm-up

핵심Core

도전Challenge

경시Contest

제곱근 풀이와 완전제곱식 만들기Square Roots & Completing the Square

접히지 않던 그 방정식

x2=kx^2 = kx2=k — 제곱을 벗기는 방정식

완전제곱식 만들기

앞 계수가 있으면 — 나누고 시작한다

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$x^2 = k$ : peeling off a square