유리식 약분과 곱셈·나눗셈Rational Expressions: Simplify, Multiply, Divide

분모가 $0$이 되는 값: $x - 4 = 0$, 즉 $x = 4$. 이 값에서는 $0$으로 나누게 되어 식이 정의되지 않는다.

(분자를 $0$으로 만드는 $x = -1$은 문제없다 — 그때 식의 값은 그냥 $0$이다. 정의를 막는 것은 분모뿐이다.)

The denominator is $0$ when $x - 4 = 0$, i.e. $x = 4$ — there the expression would divide by zero, so it is undefined.

(The value $x = -1$, which zeroes the numerator, is harmless — the expression simply equals $0$ there. Only the denominator can break the definition.)

공통인수 $3x$를 나눈다:

검산($x = 2$): 원식 $\frac{24}{18} = \frac43$, 결과 $\frac43$ ✓.

Divide out the common factor $3x$:

Check at $x = 2$: original $\frac{24}{18} = \frac43$; result $\frac43$ ✓.

분자를 합차로 접는다:

검산($x = 3$): 원식 $\frac{5}{5} = 1$, 결과 $3 - 2 = 1$ ✓. 원래 식이 정의되지 않던 $x = -2$는 여전히 제외다.

Fold the numerator as a difference of squares:

Check at $x = 3$: original $\frac{5}{5} = 1$; result $3 - 2 = 1$ ✓. The value $x = -2$, where the original was undefined, stays excluded.

분자·분모에서 각각 공통인수부터:

검산($x = 1$): 원식 $\frac{9}{3} = 3$, 결과 $\frac31 = 3$ ✓.

Pull the common factor out of top and bottom first:

Check at $x = 1$: original $\frac{9}{3} = 3$; result $\frac31 = 3$ ✓.

분자·분모를 인수분해한다:

검산($x = 1$): 원식 $\frac{1-9}{1-1-6} = \frac{-8}{-6} = \frac43$, 결과 $\frac{4}{3}$ ✓.

Factor top and bottom:

Check at $x = 1$: original $\frac{1-9}{1-1-6} = \frac{-8}{-6} = \frac43$; result $\frac{4}{3}$ ✓.

분자는 완전제곱, 분모는 곱·합으로:

$(x+3)$이 분자에 두 번 있었으므로 한 번 약분해도 하나가 남는다. 검산($x = 2$): 원식 $\frac{25}{5} = 5$, 결과 $\frac51 = 5$ ✓.

The numerator is a perfect square; factor the denominator by sum-and-product:

The numerator held two copies of $(x+3)$, so one survives the cancellation. Check at $x = 2$: original $\frac{25}{5} = 5$; result $\frac51 = 5$ ✓.

$x$에 아무 수나 넣어 양변을 비교하라. 그리고 두 분자에서 $5$의 역할이 어떻게 다른지 보라.

Try any number for $x$ and compare the sides. Then look at how differently the $5$ functions in the two numerators.

반례. $x = 5$: 좌변 $\frac{10}{5} = 2$, 우변 $6$. $2 \neq 6$이므로 틀렸다.

이유. 약분은 분자·분모에 곱해져 있는 공통인수를 나누는 연산이다($\frac{ac}{bc} = \frac ab$ — 분수의 성질). $\frac{5x}{5}$에서 분자의 $5$는 곱해진 인수이므로 나눌 수 있어 $x$가 된다. 그러나 $\frac{x+5}{5}$의 분자에서 $5$는 곱해진 것이 아니라 더해진 항이다 — 분자 전체가 $5$의 배수가 아니므로 나눌 자격이 없다. 지울 수 있는 것은 인수뿐, 항은 지울 수 없다.

채점 기준. 구체적 반례 하나($x=5$ 아니어도 좋다), "인수는 되고 항은 안 된다"는 구분(분수의 성질 $\frac{ac}{bc}=\frac ab$을 근거로 들면 더 좋다), $\frac{5x}5 = x$가 되는 이유. 세 요소가 갖춰지면 만점.

Counterexample. At $x = 5$: left side $\frac{10}{5} = 2$, right side $6$. Since $2 \neq 6$, the reduction is wrong.

Why. Reducing divides out a factor multiplied into both numerator and denominator ($\frac{ac}{bc} = \frac ab$ — the basic fraction property). In $\frac{5x}{5}$, the numerator's $5$ is a multiplied factor, so it divides out, leaving $x$. But in $\frac{x+5}{5}$, the $5$ is an added term — the numerator as a whole is not a multiple of $5$, so nothing licenses the division. Factors can be canceled; terms cannot.

Grading. One concrete counterexample (any value works), the factor-versus-term distinction (citing $\frac{ac}{bc}=\frac ab$ strengthens it), and the reason $\frac{5x}5 = x$ is legitimate. All three present earns full credit.

$5 - x = -(x-5)$를 쓴다:

검산($x = 1$): 원식 $\frac{4}{-24} = -\frac16$, 결과 $-\frac16$ ✓. 순서만 뒤집힌 $a-b$와 $b-a$는 부호 하나 차이 — $-1$을 꺼내면 같은 인수가 된다.

Use $5 - x = -(x-5)$:

Check at $x = 1$: original $\frac{4}{-24} = -\frac16$; result $-\frac16$ ✓. The reversed pair $a-b$ and $b-a$ differ only by sign — pull out $-1$ and they become the same factor.

전부 접어 놓고 약분부터:

$(x+1)$과 $(x+2)$가 각각 약분됐다. 검산($x = 2$): 원식 $\frac38 \times \frac43 = \frac12$, 결과 $\frac12$ ✓.

Factor everything, then cancel before multiplying:

Both $(x+1)$ and $(x+2)$ cancel away. Check at $x = 2$: original $\frac38 \times \frac43 = \frac12$; result $\frac12$ ✓.

나눗셈은 역수 곱셈으로 바꾼다 — 뒤집는 것은 나누는 쪽뿐:

검산($x = 1$): 원식 $\frac{-15}{2} \div \frac{-3}{2} = \frac{-15}{2} \times \frac{2}{-3} = 5$, 결과 $\frac51 = 5$ ✓.

Turn the division into multiplication by the reciprocal — flipping only the divisor:

Check at $x = 1$: original $\frac{-15}{2} \div \frac{-3}{2} = \frac{-15}{2} \times \frac{2}{-3} = 5$; result $\frac51 = 5$ ✓.

네 식을 전부 접는다:

모든 인수가 상쇄되어 $1$ — 두 분수가 서로 역수였던 것이다. 검산($x = 3$): 원식 $\frac{1}{5} \times \frac{15}{3} = \frac{1}{5} \times 5 = 1$ ✓. 복잡해 보이는 식일수록 접기 전에는 정체를 알 수 없다.

Fold all four polynomials:

Every factor cancels, leaving $1$ — the two fractions were reciprocals in disguise. Check at $x = 3$: original $\frac{1}{5} \times \frac{15}{3} = \frac{1}{5} \times 5 = 1$ ✓. The messier an expression looks, the less you know about it until it's folded.

분자가 $(x-2) \times (\text{일차식})$으로 접혀야 한다. 그 일차식을 $x + k$로 놓고 전개해 비교하라.

The numerator must fold as $(x-2) \times (\text{linear})$. Call the linear factor $x + k$, expand, and compare.

약분이 되려면 분자가 $(x-2)(x+k)$ 꼴이어야 한다. 전개하면

상수항 비교: $-2k = -6$에서 $k = 3$. 그러면 $x$의 계수는 $k - 2 = 1$, 즉 $a = 1$이고

검산($x = 1$): 원식 $\frac{1+1-6}{-1} = 4$, 몫 $1+3 = 4$ ✓.

For the fraction to reduce, the numerator must have the form $(x-2)(x+k)$. Expanding,

Matching constants: $-2k = -6$ gives $k = 3$. The $x$-coefficient is then $k - 2 = 1$, so $a = 1$, and

Check at $x = 1$: original $\frac{1+1-6}{-1} = 4$; quotient $1+3 = 4$ ✓.

각 인수를 합차로 접어라: $1-\frac{1}{k^2} = \left(1-\frac1k\right)\left(1+\frac1k\right)$.

Fold each factor by difference of squares: $1-\frac{1}{k^2} = \left(1-\frac1k\right)\left(1+\frac1k\right)$.

각 인수를 합차로 접으면

곱 전체를 두 줄로 나눠 세우면 각각 연쇄 상쇄된다:

따라서 전체 곱은

검산(작은 경우): 인수 두 개만이면 $\frac34 \cdot \frac89 = \frac23$이고, 같은 방법으로 $\frac13 \times \frac42 = \frac23$ ✓. 합차 접기 → 두 갈래 텔레스코핑 — 유리식과 인수분해가 만나는 경시 단골 구조다.

Folding each factor,

Line the product up as two rows, and each row telescopes:

So the whole product is

Check on a small case: with just two factors, $\frac34 \cdot \frac89 = \frac23$, and the method gives $\frac13 \times \frac42 = \frac23$ ✓. Difference-of-squares folding into a double telescope — a fixture of contest problems where rational expressions and factoring meet.