등비수열Geometric Sequences

Algebra 1Algebra 1 · 8. 지수함수와 수열 입문8. Exponential Functions & Sequences

학습 목표

등비수열의 일반항 $a_n = a_1 r^{n-1}$ 을 쓰고, 지수함수와의 관계를 안다.
"한 칸 밀어 빼기"로 합 공식 $S_n = \dfrac{a_1(r^n - 1)}{r - 1}$ 을 유도한다.
등차·등비, 일차·지수의 대응표를 완성한다.

곱하는 수열

3, \; 6, \; 12, \; 24, \; 48, \; \ldots

이번엔 이웃 차가 $3, 6, 12, 24$ 로 벌어진다 — 등차가 아니다. 대신 이웃 비가 전부 $2$ 다.

정의등비수열

이웃한 두 항의 비 $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ 이 일정한 수열. 그 일정한 비 $r$ 를 공비라 한다.

일반항은 등차 때와 같은 셈법으로 나온다. 첫째항에서 $n$ 번째 항까지 곱하기 $r$ 을 $n-1$ 번 — 울타리 기둥 세기 그대로다:

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

위 수열이면 $a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$ 이고, $a_{10} = 3 \cdot 512 = 1536$ 이다.

지수법칙으로 한 번 더 정리하면 정체가 드러난다: $a_n = a_1 r^{n-1} = \frac{a_1}{r} \cdot r^n$ — 정수 눈금 위의 지수함수다. 등차수열이 일차함수의 점찍기였듯, 등비수열은 지수함수의 점찍기다. 대응표가 완성된다:

	변화	연속판	수열판
더하기	매번 $+d$	일차함수 (기울기 $d$ )	등차수열 (공차 $d$ )
곱하기	매번 $\times r$	지수함수 (밑 $r$ )	등비수열 (공비 $r$ )

공비가 음수일 수도 있다: $3, -6, 12, -24, \ldots$ 는 공비 $-2$ — 부호가 교대로 바뀐다. $r < 0$ 이면 지수함수 그래프와의 연결은 끊기지만(밑이 음수인 지수함수는 정의하지 않았다), 일반항과 아래의 합 공식은 그대로 작동한다.

합 — 한 칸 밀어서 뺀다

등차의 합은 뒤집어 더했다. 등비의 합은 $r$ 배 해서 민 다음 뺀다. $S = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1}$ 에 $r$ 를 곱하면 모든 항이 한 칸씩 밀린다:

\begin{aligned} S &= a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1} \\ rS &= \phantom{a + {}} ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1} + ar^n \end{aligned}

빼면 가운데가 전부 상쇄되고 양 끝만 남는다:

rS - S = ar^n - a \implies S(r-1) = a(r^n - 1) \implies \boxed{\;S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1}\;} \quad (r \neq 1)

( $r = 1$ 이면 모든 항이 같아 $S_n = na_1$ — 나누기 전에 갈라 둔다.) 가운데가 연쇄로 사라지는 이 구조, 유리식 단원의 텔레스코핑과 같은 피다.

예제 — 체스판의 쌀알

체스판 첫 칸에 쌀 $1$ 알, 둘째 칸에 $2$ 알, 셋째 칸에 $4$ 알 — 매 칸 두 배로 $64$ 칸을 채우면 쌀알은 모두 몇 알인가?

풀이. $a_1 = 1$ , $r = 2$ , $n = 64$ 인 등비수열의 합이다:

S_{64} = \frac{1 \cdot (2^{64} - 1)}{2 - 1} = 2^{64} - 1 \approx 1.8 \times 10^{19} \text{알}.

전 세계 연간 쌀 생산량을 아득히 넘는 양이다 — 왕이 신하의 "소박한" 부탁을 수락했다가 파산했다는 전설이 그냥 나온 게 아니다. 작은 검산: $1+2+4+8 = 15 = 2^4 - 1$ ✓ — 합은 언제나 "다음 항보다 $1$ 작다".

줄어드는 등비 — 반씩 채우기

$0 < r < 1$ 이면 항이 줄어든다. $\frac12 + \frac14 + \frac18 + \cdots$ 을 그림으로 보자:

넓이 1인 정사각형을 절반, 그 절반, 또 그 절반으로 채워 가면 합이 1에 다가간다

넓이 $1$ 인 정사각형의 절반을 채우고, 남은 것의 절반을 채우고, 또 그 절반을 채운다 — 남은 조각이 매번 반으로 줄지만 결코 $0$ 이 되지는 않는다. 공식으로도 같은 말이다:

\frac12 + \frac14 + \cdots + \frac{1}{2^n} = \frac{\frac12\left(1 - \left(\frac12\right)^n\right)}{1 - \frac12} = 1 - \frac{1}{2^n}

— $n$ 이 커질수록 $1$ 에 한없이 다가간다. "무한히 더하면 정확히 $1$ 인가"라는 질문은 수학에서 가장 좋은 질문 중 하나이고, 무한급수라는 이름으로 Algebra 2와 미적분에서 정면으로 다룬다. 지금은 그림이 주는 확신이면 충분하다.

문제 탭에는 일반항·합 기본기부터 두 항으로 수열 결정, 등비중항, $\pm$ 두 개인 삽입 문제, 체스판 구조 관찰, 그리고 합이 $10000$ 을 처음 넘는 순간을 찾는 경시 문제까지 열세 문제가 있다.

Goals

Write the general term $a_n = a_1 r^{n-1}$ and know how geometric sequences relate to exponential functions.
Derive the sum formula $S_n = \dfrac{a_1(r^n - 1)}{r - 1}$ by the shift-and-subtract trick.
Complete the correspondence table: arithmetic is to linear as geometric is to exponential.

The multiplying sequence

3, \; 6, \; 12, \; 24, \; 48, \; \ldots

This time the neighbor differences stretch out ( $3, 6, 12, 24$ ) — not arithmetic. But the neighbor ratios are all $2$ .

DefinitionGeometric sequence

A sequence in which the ratio of neighboring terms, $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ , is constant. That constant ratio $r$ is the common ratio.

The general term comes from the same count as before. From the first term to the $n$ th, you multiply by $r$ exactly $n-1$ times — fencepost counting again:

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

For the sequence above, $a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$ , so $a_{10} = 3 \cdot 512 = 1536$ .

One exponent-law rewrite exposes its identity: $a_n = a_1 r^{n-1} = \frac{a_1}{r} \cdot r^n$ — an exponential function on integer ticks. Just as an arithmetic sequence was a linear function sampled at the integers, a geometric sequence samples an exponential. The correspondence table is complete:

	Change	Continuous version	Sequence version
Adding	$+d$ each step	linear function (slope $d$ )	arithmetic sequence (difference $d$ )
Multiplying	$\times r$ each step	exponential function (base $r$ )	geometric sequence (ratio $r$ )

The ratio may be negative: $3, -6, 12, -24, \ldots$ has ratio $-2$ , with alternating signs. For $r < 0$ the exponential-graph connection breaks (we defined no exponential with a negative base), but the general term and the sum formula below work unchanged.

The sum: shift by one and subtract

Arithmetic sums were added to their reversals. Geometric sums are multiplied by $r$ , shifted, and subtracted. Multiplying $S = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1}$ by $r$ slides every term one slot over:

\begin{aligned} S &= a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1} \\ rS &= \phantom{a + {}} ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1} + ar^n \end{aligned}

Subtract, and the entire middle cancels, leaving only the two ends:

rS - S = ar^n - a \implies S(r-1) = a(r^n - 1) \implies \boxed{\;S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1}\;} \quad (r \neq 1)

(If $r = 1$ , all terms are equal and $S_n = na_1$ — set that case aside before dividing.) A middle that cancels in a chain — the same blood as the telescoping sums of the rational-expressions unit.

Example — Rice on the chessboard

One grain of rice on a chessboard's first square, two on the second, four on the third — doubling across all $64$ squares. How many grains in total?

Solution. It is a geometric sum with $a_1 = 1$ , $r = 2$ , $n = 64$ :

S_{64} = \frac{1 \cdot (2^{64} - 1)}{2 - 1} = 2^{64} - 1 \approx 1.8 \times 10^{19} \text{ grains}.

Far beyond the world's annual rice harvest — the legend of the king bankrupted by a courtier's "modest" request is no accident. A small check: $1+2+4+8 = 15 = 2^4 - 1$ ✓ — the sum always lands one short of the next term.

Shrinking ratios: filling by halves

When $0 < r < 1$ , the terms shrink. Picture $\frac12 + \frac14 + \frac18 + \cdots$ :

Filling a unit square by half, then half of what remains, and so on — the total approaches 1

Fill half of a unit square, then half of what remains, then half again — the leftover shrinks by half each time yet never reaches $0$ . The formula tells the same story:

\frac12 + \frac14 + \cdots + \frac{1}{2^n} = \frac{\frac12\left(1 - \left(\frac12\right)^n\right)}{1 - \frac12} = 1 - \frac{1}{2^n}

— approaching $1$ without end as $n$ grows. Whether "adding infinitely many gives exactly $1$ " is among the best questions in mathematics; it gets its head-on treatment, under the name infinite series, in Algebra 2 and calculus. For now, the picture's conviction is enough.

The problems tab runs from general-term and sum basics through determining a sequence from two terms, the geometric mean, an insertion problem with $\pm$ two answers, a structural observation on the chessboard, and a contest hunt for the first moment a sum passes $10000$ — thirteen problems.

등비수열Geometric Sequences

곱하는 수열

합 — 한 칸 밀어서 뺀다

줄어드는 등비 — 반씩 채우기

The multiplying sequence

The sum: shift by one and subtract

Shrinking ratios: filling by halves

몸풀기Warm-up

핵심Core

도전Challenge

경시Contest