x² + bx + c의 인수분해Factoring x² + bx + c

Algebra 1Algebra 1 · 5. 인수분해5. Factoring

학습 목표

$(x+p)(x+q)$ 의 전개에서 합·곱 구조를 읽어내고, 그것을 거꾸로 사용한다.
$x^2 + bx + c$ 를 "곱이 $c$ , 합이 $b$ 인 두 수 찾기"로 인수분해한다.
$b$ , $c$ 의 부호만 보고 두 수의 부호를 먼저 결정하는 요령을 익힌다.

전개 한 줄을 거꾸로 읽는다

이 차시 전체는 다항식 단원의 전개 한 줄에서 나온다:

(x+p)(x+q) = x^2 + (p+q)x + pq.

오른쪽을 보라. $x$ 의 계수는 두 수의 합 $p+q$ , 상수항은 두 수의 곱 $pq$ 다. 그러니 거꾸로, $x^2 + bx + c$ 를 $(x+p)(x+q)$ 로 접고 싶다면 찾아야 할 것은 정확히 이것이다:

\text{곱이 } c, \quad \text{합이 } b \text{인 두 수 } p, q.

예제 1 — 기본형

$x^2 + 7x + 12$ 를 인수분해하라.

풀이. 곱이 $12$ , 합이 $7$ 인 두 수를 찾는다. 곱부터 나열하는 것이 요령이다 — 곱의 후보는 유한하지만 합의 후보는 무한하다. $12 = 1 \times 12 = 2 \times 6 = 3 \times 4$ 에서 합을 각각 확인하면 $13$ , $8$ , $7$ — 마지막 쌍이 맞는다:

x^2 + 7x + 12 = (x+3)(x+4).

검산(전개): $x^2 + 4x + 3x + 12 = x^2 + 7x + 12$ ✓.

그림으로 보면, 인수분해는 넓이 조각들로 직사각형을 복원하는 일이다:

네 조각 x², 3x, 2x, 6을 직사각형으로 맞추면 두 변 x+3과 x+2가 드러난다

$x^2 + 5x + 6$ 의 $5x$ 를 $3x + 2x$ 로 쪼개 네 조각을 만들면 가로 $x+3$ , 세로 $x+2$ 인 직사각형이 완성된다 — 전개 때 쓰던 넓이 모델을 거꾸로 돌린 것이다.

부호는 먼저 정해진다

$b$ 와 $c$ 의 부호만 보고도 $p$ , $q$ 의 부호를 미리 알 수 있다. 곱 $pq = c$ 부터 본다:

$c > 0$ 이면 $p$ , $q$ 는 같은 부호 — 그리고 그 부호는 합 $b$ 의 부호를 따른다.
$c < 0$ 이면 $p$ , $q$ 는 다른 부호 — 절댓값이 큰 쪽이 합 $b$ 의 부호를 가진다.

같은 상수항 $15$ 로 세 경우를 나란히 보자.

예제 2 — 부호 세 형제

다음을 각각 인수분해하라: $x^2 - 8x + 15$ , $\quad x^2 + 2x - 15$ , $\quad x^2 - 2x - 15$

풀이. 첫째: 곱 $+15$ , 합 $-8$ — 둘 다 음수다. $(-3) \times (-5) = 15$ , $(-3) + (-5) = -8$ ✓:

x^2 - 8x + 15 = (x-3)(x-5).

둘째: 곱 $-15$ — 부호가 다르고, 합이 $+2$ 이므로 큰 쪽이 양수. $5 \times (-3) = -15$ , $5 + (-3) = 2$ ✓:

x^2 + 2x - 15 = (x+5)(x-3).

셋째: 곱 $-15$ , 합 $-2$ — 큰 쪽이 음수. $(-5) \times 3 = -15$ , $(-5) + 3 = -2$ ✓:

x^2 - 2x - 15 = (x-5)(x+3).

검산은 각자 전개로 — 예를 들어 셋째: $x^2 + 3x - 5x - 15 = x^2 - 2x - 15$ ✓.

주의

부호를 눈대중으로 넘기지 말 것. $x^2 - 2x - 15$ 를 $(x-5)(x-3)$ 으로 쓰는 실수가 정말 잦다 — 전개하면 상수항이 $+15$ 가 되어 바로 들킨다. 접은 뒤 10초 전개 검산이 이 단원의 안전벨트다.

지난 차시의 공식들도 같은 원리다

합차와 완전제곱은 이 방법의 특수한 경우일 뿐이다. $x^2 - 9$ 는 $b = 0$ , $c = -9$ 인 삼항식 — 곱이 $-9$ , 합이 $0$ 인 두 수는 $3$ 과 $-3$ 이고, 그래서 $(x+3)(x-3)$ 이다. $x^2 + 6x + 9$ 는 곱 $9$ , 합 $6$ — $3$ 과 $3$ , 그래서 $(x+3)^2$ . 공식으로 빨리 알아보되, 잊어버려도 곱·합 찾기로 언제든 복구할 수 있다.

접히지 않는 삼항식도 있다

곱이 $c$ , 합이 $b$ 인 정수 쌍이 없으면 그 삼항식은 정수 계수 범위에서 인수분해되지 않는다. $x^2 + x + 1$ 이 그렇다: 곱이 $1$ 인 정수 쌍은 $(1, 1)$ 과 $(-1, -1)$ 뿐인데 합이 $2$ 와 $-2$ — $1$ 이 나올 수 없다. 소수가 더 쪼개지지 않는 수이듯, 더 접히지 않는 다항식도 있다. "안 된다"를 확인하고 멈추는 것도 정답이다.

공통인수가 항상 먼저 — 이번에도

2x^2 + 14x + 24 = 2(x^2 + 7x + 12) = 2(x+3)(x+4).

공통인수 $2$ 를 먼저 묶지 않으면 곱 $24$ , 합 $14$ 인 쌍을 찾아 헤매게 된다 — $(2, 12)$ 가 있긴 하지만, 그렇게 얻은 $(x+2)(x+12)$ 를 전개하면 $x^2$ 의 계수가 $1$ 이라 원식의 $2x^2$ 과 맞지 않는다. 규칙은 지난 차시 그대로: 묶을 수 있으면 먼저 묶는다.

$x^2$ 앞에 $2$ 나 $3$ 같은 계수가 공통인수 없이 버티고 있는 경우( $2x^2+7x+3$ 같은)는 다음 차시에서 다룬다. 우선은 문제 탭에서 곱·합 찾기를 손에 붙이자 — 넓이 응용, "가능한 $b$ 모두 찾기", 치환 맛보기, 그리고 $(n-2)(n-3)$ 이 소수가 되는 조건을 묻는 경시 문제까지 열세 문제다.

Goals

Read the sum-and-product structure out of the expansion of $(x+p)(x+q)$ , then use it in reverse.
Factor $x^2 + bx + c$ by finding two numbers with product $c$ and sum $b$ .
Decide the signs of the two numbers first, straight from the signs of $b$ and $c$ .

One line of expansion, read backwards

This whole lesson comes out of a single line from the polynomials unit:

(x+p)(x+q) = x^2 + (p+q)x + pq.

Look at the right side. The coefficient of $x$ is the sum $p+q$ ; the constant is the product $pq$ . So, in reverse: to fold $x^2 + bx + c$ into $(x+p)(x+q)$ , what you need is exactly

\text{two numbers } p, q \text{ with product } c \text{ and sum } b.

Example 1 — The basic case

Factor $x^2 + 7x + 12$ .

Solution. We need two numbers with product $12$ and sum $7$ . Start from the product — its candidates are finite, while sums go on forever. From $12 = 1 \times 12 = 2 \times 6 = 3 \times 4$ , the sums are $13$ , $8$ , $7$ — the last pair wins:

x^2 + 7x + 12 = (x+3)(x+4).

Check by expanding: $x^2 + 4x + 3x + 12 = x^2 + 7x + 12$ ✓.

In a picture, factoring is reassembling a rectangle from its area pieces:

Fitting the four pieces x², 3x, 2x, and 6 into a rectangle reveals the sides x+3 and x+2

Split the $5x$ of $x^2 + 5x + 6$ into $3x + 2x$ , and the four pieces assemble into a rectangle with sides $x+3$ and $x+2$ — the area model from the expansion lessons, run backwards.

The signs come first

You can determine the signs of $p$ and $q$ before hunting for the numbers, straight from $b$ and $c$ . Start with the product $pq = c$ :

If $c > 0$ , then $p$ and $q$ have the same sign — and it matches the sign of the sum $b$ .
If $c < 0$ , they have opposite signs — and the one with the larger absolute value carries the sign of $b$ .

Here are all three cases side by side, sharing the constant $15$ .

Example 2 — Three siblings

Factor each: $x^2 - 8x + 15$ , $\quad x^2 + 2x - 15$ , $\quad x^2 - 2x - 15$

Solution. First: product $+15$ , sum $-8$ — both negative. $(-3) \times (-5) = 15$ and $(-3) + (-5) = -8$ ✓:

x^2 - 8x + 15 = (x-3)(x-5).

Second: product $-15$ , so opposite signs; the sum $+2$ makes the larger one positive. $5 \times (-3) = -15$ , $5 + (-3) = 2$ ✓:

x^2 + 2x - 15 = (x+5)(x-3).

Third: product $-15$ , sum $-2$ — the larger one is negative. $(-5) \times 3 = -15$ , $(-5) + 3 = -2$ ✓:

x^2 - 2x - 15 = (x-5)(x+3).

Each deserves its own expansion check — for the third: $x^2 + 3x - 5x - 15 = x^2 - 2x - 15$ ✓.

Watch out

Don't eyeball the signs. Writing $x^2 - 2x - 15$ as $(x-5)(x-3)$ is a very common slip — expand it and the constant comes out $+15$ , caught immediately. The ten-second expansion check after every fold is this unit's seatbelt.

Last lesson's formulas are the same idea

Difference of squares and perfect squares are special cases of this method. $x^2 - 9$ is the trinomial with $b = 0$ , $c = -9$ : two numbers with product $-9$ and sum $0$ are $3$ and $-3$ , hence $(x+3)(x-3)$ . And $x^2 + 6x + 9$ : product $9$ , sum $6$ — the pair $3$ and $3$ , hence $(x+3)^2$ . Recognize them fast by formula, but know that sum-and-product can always rebuild them if the formula slips your mind.

Some trinomials refuse to fold

If no integer pair has product $c$ and sum $b$ , the trinomial doesn't factor over the integers. Take $x^2 + x + 1$ : the integer pairs with product $1$ are $(1, 1)$ and $(-1, -1)$ , with sums $2$ and $-2$ — never $1$ . Just as primes are the numbers that won't split, some polynomials won't fold. Verifying that "it doesn't factor" — and stopping — is itself a correct answer.

Common factor first — again

2x^2 + 14x + 24 = 2(x^2 + 7x + 12) = 2(x+3)(x+4).

Skip the common $2$ and you end up hunting for product $24$ , sum $14$ — the pair $(2, 12)$ exists, but expanding the resulting $(x+2)(x+12)$ gives a leading coefficient of $1$ , which cannot match the original $2x^2$ . The standing rule from last lesson holds: if something can be pulled out, pull it out first.

When a coefficient sits on $x^2$ with no common factor to blame — as in $2x^2+7x+3$ — that's the next lesson's business. For now, the problems tab will put sum-and-product into your hands: an area application, a "find every possible $b$ " hunt, a taste of substitution, and a contest problem about when $(n-2)(n-3)$ can be prime — thirteen problems in all.