인수분해로 이차방정식 풀기Solving Quadratics by Factoring

이미 곱 꼴이고 우변이 $0$이다. 곱=0 성질로 쪼개면 $x+2 = 0$ 또는 $x-7 = 0$:

검산: $x=-2$: $(0)(-9) = 0$ ✓, $x=7$: $(9)(0) = 0$ ✓.

Already a product equal to $0$. Split by the zero-product property: $x+2 = 0$ or $x-7 = 0$:

Check: at $x=-2$, $(0)(-9) = 0$ ✓; at $x=7$, $(9)(0) = 0$ ✓.

곱 $6$, 합 $-5$ — 쌍 $(-2, -3)$으로 접는다:

검산: $4 - 10 + 6 = 0$ ✓, $9 - 15 + 6 = 0$ ✓.

Product $6$, sum $-5$ — fold with the pair $(-2, -3)$:

Check: $4 - 10 + 6 = 0$ ✓ and $9 - 15 + 6 = 0$ ✓.

공통인수 $x$를 묶는다:

$x = 0$도 어엿한 해다 — 빠뜨리기 쉬우니 검산까지: $0 + 0 = 0$ ✓, $16 - 16 = 0$ ✓.

Pull out the common factor $x$:

Note that $x = 0$ is a full-fledged solution — easy to drop, so check it too: $0 + 0 = 0$ ✓, and $16 - 16 = 0$ ✓.

합차로 접는다:

검산: $16 - 16 = 0$ 양쪽 모두 ✓. 제곱해서 $16$이 되는 수는 둘이다 — 양수 해만 쓰면 절반짜리 답이다.

Fold as a difference of squares:

Check: $16 - 16 = 0$ both ways ✓. Two numbers square to $16$ — writing only the positive one is half an answer.

양변을 $x$로 나누고 싶은 유혹을 참아라 — 이항부터.

Resist dividing both sides by $x$ — move terms across instead.

양변을 $x$로 나누면 $x = 8$만 남고 해 하나를 잃는다. 이항해서 접는 것이 바른 길이다:

검산: $0 = 0$ ✓, $64 = 64$ ✓. 값을 모르는 문자로 나누는 것은 "그 문자는 $0$이 아니다"라는 무단 가정이다.

Dividing both sides by $x$ leaves only $x = 8$ and loses a solution. The honest route is to move and fold:

Check: $0 = 0$ ✓ and $64 = 64$ ✓. Dividing by an unknown is an unlicensed assumption that it isn't zero.

완전제곱 판정 — 양 끝 $x^2$, $5^2$, 가운데 $2 \cdot x \cdot 5 = 10x$ ✓:

두 인수가 같으므로 두 갈래가 모두 $x = 5$ — 해는 하나뿐인 중근이다. 검산: $25 - 50 + 25 = 0$ ✓.

Run the perfect-square test — ends $x^2$ and $5^2$, middle $2 \cdot x \cdot 5 = 10x$ ✓:

The two factors are identical, so both branches give $x = 5$ — a single repeated root. Check: $25 - 50 + 25 = 0$ ✓.

$ac = -6$, 합 $5$ — 쌍 $(6, -1)$로 접는다:

따라서 $x = \frac12$ 또는 $x = -3$. 검산: $2 \cdot \frac14 + \frac52 - 3 = \frac12 + \frac52 - 3 = 0$ ✓, $18 - 15 - 3 = 0$ ✓. 분수 해도 해다.

$ac = -6$, sum $5$ — fold with the pair $(6, -1)$:

so $x = \frac12$ or $x = -3$. Check: $2 \cdot \frac14 + \frac52 - 3 = \frac12 + \frac52 - 3 = 0$ ✓, and $18 - 15 - 3 = 0$ ✓. Fractional solutions are solutions.

우변이 $0$이 아니다 — 곱=0 성질을 바로 쓸 수 없다.

The right side isn't $0$ — the zero-product property doesn't apply yet.

"$x-2 = 6$ 또는 $x+3 = 6$"으로 쪼개면 안 된다 — 곱=0 성질은 우변이 $0$일 때만 작동한다. 전개해 표준형으로 정리한다:

따라서 $x = -4$ 또는 $x = 3$. 검산: $x=3$: $(1)(6) = 6$ ✓, $x=-4$: $(-6)(-1) = 6$ ✓.

Splitting into "$x-2 = 6$ or $x+3 = 6$" is invalid — zero-product only works when the right side is $0$. Expand and tidy into standard form:

so $x = -4$ or $x = 3$. Check: at $x=3$, $(1)(6) = 6$ ✓; at $x=-4$, $(-6)(-1) = 6$ ✓.

작은 수를 $n$이라 하면 $n(n+1) = 72$:

$n$은 자연수이므로 $n = -9$는 버린다 — 방정식의 해라고 전부 답이 되는 것이 아니라, 문제의 조건을 통과해야 답이다. 따라서 두 수는 $8$과 $9$. 검산: $8 \times 9 = 72$ ✓.

Let the smaller number be $n$, so $n(n+1) = 72$:

Since $n$ is a natural number, $n = -9$ gets discarded — solving the equation is not the finish line; a solution must also pass the problem's conditions. The numbers are $8$ and $9$. Check: $8 \times 9 = 72$ ✓.

삼차라고 겁먹을 것 없다 — 같은 전략이 통한다. 인수가 세 개 나올 뿐이다.

Don't let the cube scare you — the same strategy works. You just get three factors.

공통인수부터, 그다음 합차:

인수가 셋이므로 갈래도 셋:

검산: $0 - 0 = 0$ ✓, $\pm27 \mp 27 = 0$ ✓. 곱=0 성질은 인수 개수에 제한이 없다 — 완전히 접기만 하면 몇 차든 쪼개진다.

Common factor first, then difference of squares:

Three factors, three branches:

Check: $0 - 0 = 0$ ✓ and $\pm27 \mp 27 = 0$ ✓. The zero-product property doesn't care how many factors there are — fold completely and any degree splits.

풀이 과정을 거꾸로 밟아라 — 해에서 인수로, 인수에서 전개로.

Walk the solving process backwards — from solutions to factors, from factors to the expansion.

풀이의 마지막 줄에서 거꾸로 출발한다. 해가 $-2$와 $5$가 되려면 갈래가 $x+2 = 0$과 $x-5 = 0$이어야 하고, 그러려면 접힌 꼴이

이어야 한다. 전개하면

검산: $4 + 6 - 10 = 0$ ✓, $25 - 15 - 10 = 0$ ✓. 풀기(접기)와 만들기(펴기)가 정확히 역방향이다.

Start from the last line of a solution and walk backwards. For the solutions to be $-2$ and $5$, the branches must be $x+2 = 0$ and $x-5 = 0$, so the folded form must be

Expanding,

Check: $4 + 6 - 10 = 0$ ✓ and $25 - 15 - 10 = 0$ ✓. Solving (folding) and building (expanding) are exact reverses.

해는 대입하면 등식을 참으로 만든다 — $x = 2$를 넣어 $k$부터.

A solution makes the equation true when substituted — plug in $x = 2$ to get $k$ first.

$x = 2$가 해이므로 대입하면 등식이 성립해야 한다:

방정식은 $x^2 - 6x + 8 = 0$, 접으면 $(x-2)(x-4) = 0$ — 과연 $x = 2$가 인수로 나타나고, 나머지 해는 $x = 4$다.

검산: $16 - 24 + 8 = 0$ ✓.

Since $x = 2$ is a solution, substituting it must give a true equation:

The equation is $x^2 - 6x + 8 = 0$, which folds into $(x-2)(x-4) = 0$ — sure enough, $x = 2$ shows up as a factor, and the other solution is $x = 4$.

Check: $16 - 24 + 8 = 0$ ✓.

$p$와 $q$가 각각 방정식을 만족한다는 두 등식에서 출발하라. 두 등식을 빼면? 더하면?

Start from the two statements that $p$ and $q$ each satisfy the equation. What does subtracting them give? Adding them?

$p$, $q$가 해이므로

두 식을 빼면 $p^2 - q^2 = 7(p - q)$, 합차로 $(p+q)(p-q) = 7(p-q)$ — $p \neq q$이므로 $p - q$로 나눌 수 있어

두 식을 더하면 $p^2 + q^2 = 7(p+q) - 18 = 49 - 18 = 31$이고, $(p+q)^2 = p^2 + 2pq + q^2$에서

이제 목표 식을 전개하면

해 자체는 $\frac{7 \pm \sqrt{13}}{2}$ 꼴의 무리수라 직접 구하면 계산이 험하다 — 합과 곱만 뽑아내면 값이 깨끗하게 나온다. (두 해의 합과 곱을 계수에서 바로 읽는 일반 공식은 근의 공식 차시에서 정리한다.)

Since $p$ and $q$ are solutions,

Subtracting gives $p^2 - q^2 = 7(p - q)$, and by difference of squares $(p+q)(p-q) = 7(p-q)$ — since $p \neq q$ we may divide by $p - q$:

Adding gives $p^2 + q^2 = 7(p+q) - 18 = 49 - 18 = 31$, and from $(p+q)^2 = p^2 + 2pq + q^2$,

Now expand the target:

The solutions themselves are the irrational numbers $\frac{7 \pm \sqrt{13}}{2}$ — computing with them directly is rough going, but extracting just the sum and product makes the value fall out cleanly. (The general rule for reading a quadratic's root sum and product straight off its coefficients gets its full treatment in the quadratic-formula lesson.)