이차방정식의 활용Applications of Quadratics

작은 짝수를 $n$이라 하면 다음 짝수는 $n+2$:

$n = 10$ 또는 $n = -12$. 문제에 "짝수"라고만 했다면 $-12, -10$도 후보지만, 보통 이런 문제는 자연수 맥락 — 여기서는 $10$과 $12$가 답이다. 검산: $10 \times 12 = 120$ ✓.

Let the smaller be $n$; the next even number is $n+2$:

So $n = 10$ or $n = -12$; since we want natural numbers, keep $n = 10$. The numbers are $10$ and $12$. Check: $10 \times 12 = 120$ ✓.

한 변을 $x$라 하면 넓이 $x^2$, 둘레 $4x$:

$x = 0$ 또는 $x = 8$ — 변의 길이는 양수여야 하므로 $x = 0$을 버린다. 답은 $8$.

검산: 넓이 $64$, 둘레 $32$, 그리고 $64 = 2 \times 32$ ✓. ($x$로 나누지 않고 인수분해한 덕분에 $x=0$을 보고 나서 "버린" 것이다 — 잃는 것과 버리는 것은 다르다.)

With side $x$, the area is $x^2$ and the perimeter $4x$:

So $x = 0$ or $x = 8$ — a side must be positive, so discard $x = 0$. The answer is $8$.

Check: area $64$, perimeter $32$, and $64 = 2 \times 32$ ✓. (Factoring instead of dividing by $x$ meant we saw $x=0$ and then discarded it — discarding a solution is different from losing one.)

그 수를 $x$라 하면

즉 $x = 5$ 또는 $x = -2$. 이 문제에는 버릴 조건이 없다 — "어떤 수"에는 음수도 포함되므로 둘 다 답이다.

검산: $25 = 15 + 10$ ✓, $4 = -6 + 10$ ✓. 거르기는 습관이 아니라 판단이다.

Calling the number $x$,

so $x = 5$ or $x = -2$. Nothing here filters anything out — "a number" includes negatives, so both are answers.

Check: $25 = 15 + 10$ ✓ and $4 = -6 + 10$ ✓. Filtering is a judgment, not a reflex.

전체는 가로 $20+2x$, 세로 $15+2x$다.

The overall rectangle is $20+2x$ by $15+2x$.

테두리 폭을 $x$라 하면

$ac = -200$, 합 $35$ — 쌍 $(40, -5)$로 묶는다:

즉 $x = \frac52$ 또는 $x = -20$. 폭은 양수: $x = 2.5$ cm.

검산: 전체 $25 \times 20 = 500$ ✓. 답이 분수라고 이상한 것이 아니다 — 테두리 폭이 $2.5$ cm인 액자는 얼마든지 있다.

With border width $x$,

$ac = -200$, sum $35$ — group with the pair $(40, -5)$:

so $x = \frac52$ or $x = -20$. A width is positive: $x = 2.5$ cm.

Check: overall $25 \times 20 = 500$ ✓. A fractional answer is nothing strange — frames come in $2.5$ cm widths all the time.

착지. $h = 0$: $-5t(t - 6) = 0$이므로 $t = 0$(발사) 또는 $t = 6$ — 착지는 $6$초 후.

최고 높이. 완전제곱꼴로: $h = -5(t^2 - 6t) = -5(t-3)^2 + 45$ — 꼭짓점 $(3, 45)$이므로 $3$초에 최고 $45$ m.

검산: $t = 3$에서 $-45 + 90 = 45$ ✓; 착지 시각이 꼭짓점의 두 배($6 = 2 \times 3$)인 것도 대칭과 맞는다 ✓.

Landing. Set $h = 0$: $-5t(t - 6) = 0$, so $t = 0$ (launch) or $t = 6$ — it lands after $6$ seconds.

Peak. Complete the square: $h = -5(t^2 - 6t) = -5(t-3)^2 + 45$ — vertex $(3, 45)$, so the peak is $45$ m at $t = 3$.

Check: at $t = 3$, $-45 + 90 = 45$ ✓; and the landing time being double the peak time ($6 = 2 \times 3$) matches the symmetry ✓.

즉 $t = 2$ 또는 $t = 6$. 공은 올라가며 $2$초에 $60$ m를 지나고, $4$초에 꼭대기($80$ m)를 찍은 뒤, 내려오며 $6$초에 다시 $60$ m를 지난다 — 두 해 모두 실제 상황이므로 둘 다 답이다.

검산: $t=2$: $-20 + 80 = 60$ ✓, $t=6$: $-180 + 240 = 60$ ✓.

so $t = 2$ or $t = 6$. The ball passes $60$ m on the way up at $t=2$, peaks at $80$ m at $t=4$, and passes $60$ m again on the way down at $t=6$ — both solutions describe real moments, so both are answers.

Check: $t=2$: $-20 + 80 = 60$ ✓; $t=6$: $-180 + 240 = 60$ ✓.

$10$원 인상을 $n$번 했다고 놓고 수익을 $n$의 식으로 써라.

Let the price be raised $n$ times by $10$ won, and write the revenue in terms of $n$.

$10$원 인상을 $n$번 하면 가격은 $500+10n$원, 판매량은 $400-5n$개:

최대는 꼭짓점 $n = \dfrac{1500}{2 \cdot 50} = 15$에서: 가격 $500 + 150 = 650$원, 판매량 $400 - 75 = 325$개, 수익

검산 — 이웃으로: $n=14$: $640 \times 330 = 211200$원, $n=16$: $660 \times 320 = 211200$원 — 둘 다 작고 서로 같다(대칭) ✓.

After $n$ increases of $10$ won, the price is $500+10n$ and sales are $400-5n$:

The maximum sits at the vertex $n = \dfrac{1500}{2 \cdot 50} = 15$: price $500 + 150 = 650$ won, sales $400 - 75 = 325$, revenue

Check with neighbors: $n=14$: $640 \times 330 = 211200$; $n=16$: $660 \times 320 = 211200$ — both smaller, and equal to each other (symmetry) ✓.

한 수를 $x$라 하면 다른 수는 $14 - x$:

즉 $x = 5$ 또는 $9$ — 어느 쪽을 $x$로 잡아도 두 수는 $\{5, 9\}$다. 검산: $5+9 = 14$ ✓, $5 \times 9 = 45$ ✓.

(근과 계수의 관계로 보면, 합 $14$·곱 $45$인 두 수는 $t^2 - 14t + 45 = 0$의 두 근 그 자체다.)

Let one number be $x$; the other is $14 - x$:

so $x = 5$ or $9$ — either choice leaves the pair $\{5, 9\}$. Check: $5+9 = 14$ ✓, $5 \times 9 = 45$ ✓.

(In root–coefficient language: numbers with sum $14$ and product $45$ are exactly the roots of $t^2 - 14t + 45 = 0$.)

높이를 $h$라 하면 밑변은 $h+4$:

즉 $h = 6$ 또는 $-10$. 길이 조건으로 $-10$을 버리면 높이 $6$ cm, 밑변 $10$ cm.

검산: $\frac{6 \times 10}{2} = 30$ ✓.

With height $h$, the base is $h+4$:

so $h = 6$ or $-10$. Lengths are positive, so the height is $6$ cm and the base $10$ cm.

Check: $\frac{6 \times 10}{2} = 30$ ✓.

길을 밭의 가장자리로 밀어 붙였다고 상상하라 — 남은 밭이 직사각형 하나로 모인다.

Imagine sliding both paths to the field's edges — the remaining field gathers into a single rectangle.

십자 길을 각각 가장자리로 밀어 붙여도 남은 밭의 넓이는 변하지 않는다 — 그러면 남은 밭은 가로 $20-x$, 세로 $14-x$인 직사각형 하나가 된다:

곱 $64$, 합 $34$ — $(2, 32)$로 $(x-2)(x-32) = 0$, 즉 $x = 2$ 또는 $32$. 길 폭이 세로 $14$ m를 넘을 수는 없으므로 $x = 2$ m.

검산: $18 \times 12 = 216$ ✓. "밀어 붙이기"가 십자 겹침(가운데 $x^2$이 두 번 빠지는 문제)을 통째로 피해 준다 — 겹침을 직접 세도 같은 식이 나온다: $280 - 20x - 14x + x^2$.

Sliding each path to an edge doesn't change the leftover area — and afterwards the remaining field is one rectangle, $20-x$ by $14-x$:

Product $64$, sum $34$ — the pair $(2, 32)$ gives $(x-2)(x-32) = 0$, so $x = 2$ or $32$. A path can't be wider than the $14$ m field, so $x = 2$ m.

Check: $18 \times 12 = 216$ ✓. The sliding trick sidesteps the overlap issue (the central $x^2$ counted twice) entirely — counting the overlap directly gives the same equation: $280 - 20x - 14x + x^2$.

가운데 수를 $n$으로 놓으면 식이 가장 깔끔하다.

Naming the middle number $n$ keeps the algebra cleanest.

세 수를 $n-1$, $n$, $n+1$이라 하면

$n = 0$ 또는 $4$. $n = 0$이면 $n - 1 = -1$이 자연수가 아니므로 버린다: $n = 4$, 즉 세 수는 $3, 4, 5$.

검산: $5^2 = 25 = 16 + 9 = 4^2 + 3^2$ ✓ — 가장 유명한 직각삼각형 세 변 $3$-$4$-$5$가 여기서 나온다. (이 등식이 왜 직각삼각형과 연결되는지는 Geometry의 피타고라스 정리에서 다룬다.)

Call the numbers $n-1$, $n$, $n+1$:

So $n = 0$ or $4$. At $n = 0$ the smallest number would be $-1$, not natural — discard. Hence $n = 4$ and the numbers are $3, 4, 5$.

Check: $5^2 = 25 = 16 + 9 = 4^2 + 3^2$ ✓ — the most famous right-triangle triple, $3$-$4$-$5$, drops out. (Why this equation connects to right triangles is the Pythagorean theorem's story, told in Geometry.)

한 변을 $x$로 놓고 방정식을 세운 뒤, 풀리기 전에 판별식부터 보라.

Set up the equation with one side as $x$ — then look at the discriminant before trying to solve.

한 변을 $x$라 하면 다른 변은 $15 - x$이고, 넓이 $60$이 되려면

판별식은 $D = 225 - 240 = -15 < 0$ — 실수 해가 없으므로 그런 직사각형은 존재하지 않는다.

최대 넓이는 꼭짓점에서 읽는다: 넓이 $A = x(15-x) = -\left(x - \frac{15}{2}\right)^2 + \frac{225}{4}$이므로 $x = 7.5$(정사각형)일 때 최대 $\frac{225}{4} = 56.25$. $56.25 < 60$이므로 판별식의 판정과 일치한다 ✓.

채점 기준. 방정식을 바르게 세웠는가, $D < 0$으로 비존재를 판정했는가(또는 최대 넓이 $56.25 < 60$으로 논증해도 만점), 최대 넓이를 꼭짓점(혹은 정사각형 논거)으로 구했는가.

With one side $x$, the other is $15 - x$, and area $60$ would require

The discriminant is $D = 225 - 240 = -15 < 0$ — no real solutions, so no such rectangle exists.

The maximum area comes from the vertex: $A = x(15-x) = -\left(x - \frac{15}{2}\right)^2 + \frac{225}{4}$, largest at $x = 7.5$ (the square), giving $\frac{225}{4} = 56.25$. Since $56.25 < 60$, this agrees with the discriminant's verdict ✓.

Grading. A correct equation; the non-existence argued via $D < 0$ (arguing via the maximum $56.25 < 60$ earns full credit too); and the maximum area found from the vertex (or the square argument).

상자의 밑면은 원래 종이에서 가로세로 각각 $4$씩 줄어든 직사각형이고, 높이는 $2$다.

The box's base is the original sheet shrunk by $4$ in each direction, and its height is $2$.

세로를 $w$라 하면 가로는 $w+5$. 모퉁이 정사각형($2 \times 2$)을 잘라 접으면 밑면은 $(w-4) \times (w+5-4) = (w-4)(w+1)$, 높이는 $2$:

$w = 9$ 또는 $-6$ — 길이 조건으로 $w = 9$. 종이는 세로 $9$, 가로 $14$.

검산: 밑면 $(9-4) \times (14-4) = 5 \times 10$, 높이 $2$ — 부피 $5 \times 10 \times 2 = 100$ ✓. 입체 문제처럼 보여도, 밑면 치수를 식으로 옮기고 나면 남는 것은 이차방정식 하나다.

Let the width be $w$, so the length is $w+5$. Cutting the $2 \times 2$ corners and folding gives a base of $(w-4) \times (w+5-4) = (w-4)(w+1)$ and height $2$:

So $w = 9$ or $-6$ — lengths being positive, $w = 9$. The sheet is $9$ by $14$.

Check: base $(9-4) \times (14-4) = 5 \times 10$, height $2$ — volume $5 \times 10 \times 2 = 100$ ✓. It looks like a 3D problem, but once the base's dimensions are written down, all that remains is one quadratic.