연립방정식과 대입법Systems & Substitution

Algebra 1Algebra 1 · 3. 연립방정식3. Systems of Equations

학습 목표

연립방정식의 해가 "두 조건을 동시에 만족하는 순서쌍"이며, 그래프로는 두 직선의 교점임을 안다.
대입법으로 연립방정식을 풀고, 두 식 모두에 대입해 검산한다.
어느 변수를 대입할지 전략적으로 고른다.

조건이 두 개가 되면

방정식 $x + 2y = 8$ 하나만 있으면 해는 무수히 많다 — $(0, 4)$ , $(2, 3)$ , $(8, 0)$ , … 직선 위의 모든 점이 해다. 여기에 조건을 하나 더 붙여 보자: $y = x + 1$ 도 동시에 만족해야 한다면?

정의연립방정식과 그 해

두 개 이상의 방정식을 묶어 놓은 것을 연립방정식이라 하고, 모든 방정식을 동시에 참으로 만드는 순서쌍 $(x, y)$ 를 그 해라 한다.

그래프로 보면 뜻이 선명해진다. 각 방정식은 직선이고, "동시에 만족"은 "두 직선 위에 모두 있음" — 즉 해는 교점이다.

두 직선 y = x + 1과 x + 2y = 8은 점 (2, 3)에서 만난다. 이 교점이 연립방정식의 해다.

그림에서 교점을 읽으면 $(2, 3)$ 이다. 실제로 $3 = 2 + 1$ ✓이고 $2 + 2 \times 3 = 8$ ✓이므로 두 식을 모두 만족한다. 지난 차시에서 증명했듯 기울기가 다른 두 직선은 정확히 한 점에서 만나므로, 이런 연립방정식의 해는 하나뿐이다. (기울기가 같은 경우는 다음 차시의 주인공이다.)

하지만 그림으로 읽는 방법에는 한계가 있다 — 교점이 $\left(\frac{22}{7}, \frac{3}{5}\right)$ 같은 곳이라면 눈으로 읽을 수 없다. 계산으로 교점을 찾는 도구가 필요하다.

대입법: 조건을 밀어 넣기

$y = x + 1$ 이라는 식은 " $y$ 는 곧 $x+1$ "이라는 뜻이다. 그렇다면 다른 식의 $y$ 자리에 $(x+1)$ 을 통째로 넣어도 된다. 그 순간 변수가 하나 줄고, 이미 풀 줄 아는 일차방정식이 된다.

예제 1 · 기본형

연립방정식 $y = x + 1$ , ⁠ $x + 2y = 8$ 을 풀어라.

풀이. 둘째 식의 $y$ 에 첫째 식을 대입하면

x + 2(x + 1) = 8.

전개하면 $3x + 2 = 8$ , 즉 $3x = 6$ 이므로 $x = 2$ 이다. 첫째 식에서 $y = 2 + 1 = 3$ .

검산은 두 식 모두에: $3 = 2 + 1$ ✓, $2 + 2 \times 3 = 8$ ✓.

따라서 해는 $(x, y) = (2, 3)$ — 그림에서 읽은 교점과 정확히 일치한다.

주의

대입할 때는 괄호가 생명이다. $x + 2(x+1)$ 을 $x + 2x + 1$ 로 쓰는 순간 오답으로 직행한다 — $y$ 가 $(x+1)$ 전체이므로 2배도 전체에 걸린다. 그리고 검산을 한 식에만 하면 반쪽짜리다: $x$ 를 구할 때 쓴 식은 어지간하면 맞게 나오므로, 안 쓴 식이 진짜 심판이다.

풀린 변수가 없다면 만들어라

두 식 모두 $y = \cdots$ 꼴이 아닐 때는, 한 식을 골라 한 변수에 관해 먼저 푼 다음 대입한다.

예제 2 · 변수 고르기

연립방정식 $x - 2y = 1$ , ⁠ $2x + 3y = 16$ 을 풀어라.

풀이. 첫째 식의 $x$ 는 계수가 1이라 풀기 쉽다: $x = 2y + 1$ . 이것을 둘째 식에 대입하면

2(2y + 1) + 3y = 16,

전개하면 $4y + 2 + 3y = 16$ , 즉 $7y = 14$ 이므로 $y = 2$ , 그리고 $x = 2 \times 2 + 1 = 5$ 이다.

검산: $5 - 4 = 1$ ✓, $10 + 6 = 16$ ✓. 해는 $(5, 2)$ 이다.

어느 변수를 고를까? 기준은 하나 — 계수가 1(또는 $-1$ )인 변수를 찾아라. 예제 2에서 둘째 식의 $y$ ( $3y$ )를 골랐다면 $y = \frac{16 - 2x}{3}$ 이라는 분수를 끌고 다녀야 했다. 답은 같지만 길이 험하다. 계수 1이 없다면 분수를 감수하거나, 다음 차시의 가감법을 쓴다.

두 조건의 힘

조건 두 개가 미지수 두 개를 결정한다 — 이 구조는 문장제에서 빛난다. 맛보기 하나.

예제 3 · 합과 차

두 수의 합이 30이고 차가 6일 때, 두 수를 구하라.

풀이. 큰 수를 $x$ , 작은 수를 $y$ 라 하자. 조건 그대로

x + y = 30, \qquad x - y = 6.

첫째 식에서 $x = 30 - y$ 를 둘째 식에 대입하면 $30 - y - y = 6$ , 즉 $30 - 2y = 6$ 이므로 $y = 12$ , $x = 18$ 이다.

검산: $18 + 12 = 30$ ✓, $18 - 12 = 6$ ✓. 두 수는 18과 12다.

(합·차 꼴은 다음 차시의 가감법으로 풀면 두 줄로 끝난다 — 두 방법을 다 배운 뒤 비교해 보자.)

문제 탭에는 그래프에서 해를 읽는 문제, 미지의 계수를 결정하는 문제, 그리고 고대 중국의 닭·토끼 문제까지 열세 문제가 있다. 모든 풀이에서 검산은 두 식 모두에 한다.

Goals

Know that a solution of a system is an ordered pair satisfying both conditions — graphically, the intersection of two lines.
Solve systems by substitution, and check against both equations.
Choose which variable to substitute strategically.

When there are two conditions

The single equation $x + 2y = 8$ has infinitely many solutions — $(0, 4)$ , $(2, 3)$ , $(8, 0)$ , … every point on its line. Now attach a second condition: what if $y = x + 1$ must hold at the same time?

DefinitionSystems and their solutions

Two or more equations taken together form a system. A solution is an ordered pair $(x, y)$ that makes every equation in the system true at once.

The graph makes the meaning vivid: each equation is a line, and "true at once" means "on both lines" — the solution is the intersection point.

The lines y = x + 1 and x + 2y = 8 meet at (2, 3). That intersection is the system's solution.

Reading the picture gives $(2, 3)$ : indeed $3 = 2 + 1$ ✓ and $2 + 2 \times 3 = 8$ ✓, so it satisfies both equations. And as we proved last lesson, two lines with different slopes meet at exactly one point — so a system like this has exactly one solution. (Equal slopes are next lesson's story.)

But reading a graph has limits — if the intersection sits at $\left(\frac{22}{7}, \frac{3}{5}\right)$ , no eyeball will find it. We need a way to compute the intersection.

Substitution: push one condition into the other

The equation $y = x + 1$ says " $y$ is $x + 1$ ." So in the other equation, we may replace $y$ with $(x + 1)$ — the whole thing. At that moment one variable disappears, and what's left is a linear equation we already know how to solve.

Example 1 · The basic move

Solve the system $y = x + 1$ , ⁠ $x + 2y = 8$ .

Solution. Substituting the first equation into the second's $y$ :

x + 2(x + 1) = 8.

Expanding gives $3x + 2 = 8$ , so $3x = 6$ and $x = 2$ . The first equation then gives $y = 2 + 1 = 3$ .

Check against both equations: $3 = 2 + 1$ ✓ and $2 + 2 \times 3 = 8$ ✓.

So the solution is $(x, y) = (2, 3)$ — exactly the intersection the picture showed.

Watch out

When you substitute, parentheses are life. Writing $x + 2(x+1)$ as $x + 2x + 1$ is a straight road to a wrong answer — $y$ equals the entire $(x+1)$ , so doubling applies to all of it. And checking only one equation is half a check: the equation you used to find $x$ almost always works out, so it's the equation you didn't use that acts as the real judge.

No variable solved for? Make one

When neither equation comes as $y = \cdots$ , pick an equation, solve it for one variable first, then substitute.

Example 2 · Choosing the variable

Solve the system $x - 2y = 1$ , ⁠ $2x + 3y = 16$ .

Solution. In the first equation, $x$ has coefficient 1, so it solves cleanly: $x = 2y + 1$ . Substituting into the second equation:

2(2y + 1) + 3y = 16,

which expands to $4y + 2 + 3y = 16$ , so $7y = 14$ , giving $y = 2$ and then $x = 2 \times 2 + 1 = 5$ .

Check: $5 - 4 = 1$ ✓ and $10 + 6 = 16$ ✓. The solution is $(5, 2)$ .

Which variable should you pick? One criterion: find a variable with coefficient $1$ (or $-1$ ). Choosing the $3y$ in the second equation instead would have meant dragging $y = \frac{16 - 2x}{3}$ through the whole problem — same answer, rougher road. If no coefficient-1 variable exists, either accept the fractions or use next lesson's elimination method.

What two conditions can do

Two conditions pin down two unknowns — a structure that shines in word problems. A first taste:

Example 3 · Sum and difference

Two numbers have sum 30 and difference 6. Find them.

Solution. Let $x$ be the larger number and $y$ the smaller. The conditions say

x + y = 30, \qquad x - y = 6.

From the first, $x = 30 - y$ ; substituting into the second gives $30 - y - y = 6$ , so $30 - 2y = 6$ , giving $y = 12$ and $x = 18$ .

Check: $18 + 12 = 30$ ✓ and $18 - 12 = 6$ ✓. The numbers are 18 and 12.

(Sum-and-difference systems fall in two lines to next lesson's elimination — compare the methods once you have both.)

The Problems tab has thirteen problems: reading solutions off a graph, determining unknown coefficients, and the ancient Chinese chickens-and-rabbits puzzle to finish. In every solution, the check runs against both equations.

연립방정식과 대입법Systems & Substitution

조건이 두 개가 되면

대입법: 조건을 밀어 넣기

풀린 변수가 없다면 만들어라

두 조건의 힘

When there are two conditions

Substitution: push one condition into the other

No variable solved for? Make one

What two conditions can do

몸풀기Warm-up

핵심Core

도전Challenge

경시Contest