지수함수Exponential Functions

$f(0) = 3 \cdot 2^0 = 3 \cdot 1 = 3$ — 초기값이 그대로 나온다. $f(3) = 3 \cdot 2^3 = 3 \cdot 8 = 24$.

검산: $3 \to 6 \to 12 \to 24$, 세 번 두 배 ✓.

$f(0) = 3 \cdot 2^0 = 3 \cdot 1 = 3$ — the initial value, unchanged. $f(3) = 3 \cdot 2^3 = 3 \cdot 8 = 24$.

Check: $3 \to 6 \to 12 \to 24$, three doublings ✓.

판별 기준은 오직 밑 $b$다(앞의 계수가 아니다):

(1) $b = 0.8 < 1$ — 감쇠. (2) $b = 3 > 1$ — 성장 (계수 $0.5$는 초기값일 뿐). (3) $b = \frac23 < 1$ — 감쇠.

(2)가 함정이다 — $0.5$를 보고 감쇠로 답하기 쉽다. 한 칸마다 곱해지는 수는 $3$이다.

The judge is the base $b$ alone (not the front coefficient):

(1) $b = 0.8 < 1$ — decay. (2) $b = 3 > 1$ — growth (the $0.5$ is just the initial value). (3) $b = \frac23 < 1$ — decay.

Part (2) is the trap — the $0.5$ tempts a "decay" answer. But what multiplies at each step is $3$.

밑을 맞춘다: $64 = 2^6$이므로 $2^x = 2^6$, 즉 $x = 6$.

지수함수는 같은 값을 두 번 갖지 않으므로 이 해가 유일하다. 검산: $2^6 = 64$ ✓.

Match the bases: $64 = 2^6$, so $2^x = 2^6$ and $x = 6$.

An exponential function never repeats a value, so the solution is unique. Check: $2^6 = 64$ ✓.

이웃 비를 확인한다: $\frac{10}{5} = \frac{20}{10} = \frac{40}{20} = 2$ — 성장 인자 $b = 2$. 초기값은 $x = 0$의 값 $a = 5$:

검산: $x = 3$에서 $5 \cdot 8 = 40$ ✓.

Check the neighbor ratios: $\frac{10}{5} = \frac{20}{10} = \frac{40}{20} = 2$ — growth factor $b = 2$. The initial value is the $x = 0$ entry, $a = 5$:

Check: at $x = 3$, $5 \cdot 8 = 40$ ✓.

$81 = 3^4$로 밑을 맞추면

검산: $3^4 = 81$ ✓.

Matching bases with $81 = 3^4$:

Check: $3^4 = 81$ ✓.

① $x = 0$: $4^0 = 1$. ② 음의 지수의 정의로 $4^{-1} = \frac14$. ③ $4^x$은 양수 $4$를 곱하고($x$ 자연수), 그 역수를 취하고($x$ 음의 정수), … 어느 정의를 거쳐도 양수에서 출발해 양수만 낳는 연산만 쓴다. 그래서 그래프는 $x$축 아래로 내려가지 않고, $x$축은 점근선이 된다.

① At $x = 0$: $4^0 = 1$. ② By the definition of negative exponents, $4^{-1} = \frac14$. ③ Whatever the definition in play — multiplying copies of the positive number $4$ (natural $x$), taking reciprocals (negative integer $x$), and so on — each operation starts from positives and produces positives. Hence the graph never dips below the $x$-axis, and that axis is its asymptote.

① 초기값 $500$, 성장 인자 $2$: $N = 500 \cdot 2^t$. ② $500 \cdot 2^4 = 500 \cdot 16 = 8000$마리. ③ $500 \cdot 2^t = 16000$에서 $2^t = 32 = 2^5$, 즉 $t = 5$.

검산: ③에서 $500 \to 1000 \to 2000 \to 4000 \to 8000 \to 16000$ — 다섯 번 두 배 ✓.

① Initial value $500$, growth factor $2$: $N = 500 \cdot 2^t$. ② $500 \cdot 2^4 = 500 \cdot 16 = 8000$. ③ From $500 \cdot 2^t = 16000$: $2^t = 32 = 2^5$, so $t = 5$.

Check ③: $500 \to 1000 \to 2000 \to 4000 \to 8000 \to 16000$ — five doublings ✓.

① 초기값 $8$, 감쇠 인자 $\frac12$: $h = 8 \cdot \left(\frac12\right)^n$. ② $8 \cdot \frac{1}{16} = \frac12$ m. ③

검산: $8 = 2^3$이고 $\frac1{16} = 2^{-4}$이므로 $2^{3-n} = 2^{-4}$, $n = 7$ ✓ — 밑을 $2$로 맞춰도 같은 답이다.

① Initial value $8$, decay factor $\frac12$: $h = 8 \cdot \left(\frac12\right)^n$. ② $8 \cdot \frac{1}{16} = \frac12$ m. ③

Check: with base $2$, $8 = 2^3$ and $\frac1{16} = 2^{-4}$ give $2^{3-n} = 2^{-4}$, so $n = 7$ ✓ — the same answer from matched bases.

A안의 하루 보수는 늘 $10000$원. B안의 $n$일째 보수는 $10 \cdot 2^{n-1}$원이므로 $20$일째는

$10$원짜리 시작이 $20$일 만에 오백만 원을 넘는다 — "매일 두 배"는 직선이 아니라 폭발이다. (지수 $19$에 주의: 첫날이 $2^0$이므로 $20$일째는 $2^{19}$ — 울타리 기둥 세기다.)

검산: $2^{10} = 1024$, $2^{19} = 2^{10} \cdot 2^9 = 1024 \cdot 512 = 524288$ ✓.

Plan A pays $10000$ won every day. Plan B pays $10 \cdot 2^{n-1}$ won on day $n$, so day $20$ pays

A $10$-won start clears five million won within $20$ days — "double daily" is not a slope but an explosion. (Mind the exponent $19$: day one is $2^0$, so day $20$ is $2^{19}$ — fencepost counting.)

Check: $2^{10} = 1024$, so $2^{19} = 2^{10} \cdot 2^9 = 1024 \cdot 512 = 524288$ ✓.

두 값을 나누면 $a$가 사라진다.

Dividing the two values eliminates $a$.

나눗셈으로 $a$를 소거한다:

$f(1) = ab = 2a = 6$에서 $a = 3$. 따라서 $f(x) = 3 \cdot 2^x$.

검산: $f(3) = 3 \cdot 8 = 24$ ✓. "비를 만들어 $a$ 지우기"는 지수함수 결정 문제의 표준 첫수다.

Divide to eliminate $a$:

Then $f(1) = ab = 2a = 6$ gives $a = 3$. So $f(x) = 3 \cdot 2^x$.

Check: $f(3) = 3 \cdot 8 = 24$ ✓. "Form the ratio to kill $a$" is the standard opening for pinning down an exponential.

$2^2$과 $2^3$을 계산하고, 지수함수가 증가한다는 사실을 써라.

Compute $2^2$ and $2^3$, then use the fact that the exponential function increases.

$2^2 = 4 < 5 < 8 = 2^3$이다. $y = 2^x$은 $x$가 커질수록 값이 커지는 증가함수이므로, 값 $5$를 내는 $x$는 값 $4$를 내는 $x = 2$보다 크고 값 $8$을 내는 $x = 3$보다 작아야 한다 — 즉 해는 $2$와 $3$ 사이에 있다.

정수는 아니다: 정수 지수에서 $2^x$의 값은 $\ldots, 4, 8, \ldots$로 $5$를 건너뛴다. (더 정밀하게는 $2^{2.3} \approx 4.9$, $2^{2.4} \approx 5.3$이므로 해는 $2.3$과 $2.4$ 사이 — 이 수에 정확한 이름을 붙이는 로그는 Algebra 2에서 배운다.)

채점 기준. $4 < 5 < 8$ 비교, 증가성을 근거로 한 위치 논증, 정수가 아니라는 결론. 어림값 제시는 가산점이지 필수가 아니다.

We have $2^2 = 4 < 5 < 8 = 2^3$. Since $y = 2^x$ is an increasing function, the $x$ producing the value $5$ must exceed the $x = 2$ that produces $4$, and fall short of the $x = 3$ that produces $8$ — so the solution lies between $2$ and $3$.

It is not an integer: at integer exponents the values of $2^x$ run $\ldots, 4, 8, \ldots$, skipping $5$ entirely. (More precisely, $2^{2.3} \approx 4.9$ and $2^{2.4} \approx 5.3$, placing the solution between $2.3$ and $2.4$ — the logarithm, which names this number exactly, arrives in Algebra 2.)

Grading. The comparison $4 < 5 < 8$, the location argument from monotonicity, and the non-integer conclusion. Numerical refinement earns bonus credit, not requirement.

$(0, 4)$에서 $a \cdot b^0 = a = 4$ — $y$절편이 곧 $a$다. $(2, 36)$에서

따라서 $y = 4 \cdot 3^x$. 검산: $x = 2$에서 $4 \cdot 9 = 36$ ✓.

From $(0, 4)$: $a \cdot b^0 = a = 4$ — the $y$-intercept is $a$. From $(2, 36)$:

So $y = 4 \cdot 3^x$. Check: at $x = 2$, $4 \cdot 9 = 36$ ✓.

$2^{10}$과 $10^3$을 비교해 보라.

Compare $2^{10}$ with $10^3$ first.

직접 계산할 수 없는 크기지만, 작은 비교 하나가 전부를 결정한다:

양변을 $10$제곱하면(양수이므로 대소 보존):

따라서 $2^{100}$이 크다. (실제로 $2^{100} \approx 1.27 \times 10^{30}$ — 간발의 차다. $1024$와 $1000$의 $2.4\%$ 차이가 $10$제곱을 거치며 $27\%$ 차이로 불어난 것이다.) 지수법칙 $(a^m)^n = a^{mn}$과 "양수는 거듭제곱해도 대소 보존" — 도구 두 개로 천문학적 비교가 끝났다.

The numbers are beyond computing, but one small comparison decides everything:

Raise both sides to the $10$th power (order is preserved for positives):

So $2^{100}$ is larger. (In fact $2^{100} \approx 1.27 \times 10^{30}$ — a close race: the $2.4\%$ edge of $1024$ over $1000$ compounds through the $10$th power into $27\%$.) The exponent law $(a^m)^n = a^{mn}$ plus "powers preserve order among positives" — two tools, one astronomical comparison settled.