인수분해 종합 전략A Complete Factoring Strategy

① 공통인수 $2$: $2(x^2 - 25)$. ② 괄호 안은 합차: $2(x+5)(x-5)$.

검산($x = 1$): 원식 $2 - 50 = -48$, 결과 $2 \times 6 \times (-4) = -48$ ✓.

① Common factor $2$: $2(x^2 - 25)$. ② Inside is a difference of squares: $2(x+5)(x-5)$.

Check at $x = 1$: original $2 - 50 = -48$; result $2 \times 6 \times (-4) = -48$ ✓.

항이 네 개다 — 두 개씩 묶어라.

Four terms — group them in pairs.

앞 두 항에서 $x^2$을, 뒤 두 항에서 $2$를 묶는다:

$x^2+2$는 더 접히지 않는다(제곱의 합 꼴). 검산($x=1$): 원식 $1+3+2+6 = 12$, 결과 $3 \times 4 = 12$ ✓.

Pull $x^2$ from the first pair and $2$ from the second:

The factor $x^2+2$ folds no further. Check at $x=1$: original $1+3+2+6 = 12$; result $3 \times 4 = 12$ ✓.

$ac = 12$, 합 $8$ — 쌍 $(2, 6)$:

검산($x=1$): 원식 $3+8+4 = 15$, 결과 $5 \times 3 = 15$ ✓.

$ac = 12$, sum $8$ — the pair $(2, 6)$:

Check at $x=1$: original $3+8+4 = 15$; result $5 \times 3 = 15$ ✓.

① 공통인수 $3$: $3(x^2 - 4x + 4)$. ② 괄호 안은 완전제곱 판정 — 양 끝 $x^2$과 $2^2$, 가운데 $2 \cdot x \cdot 2 = 4x$ ✓:

검산($x = 1$): 원식 $3 - 12 + 12 = 3$, 결과 $3 \times (-1)^2 = 3$ ✓.

① Common factor $3$: $3(x^2 - 4x + 4)$. ② Inside, run the perfect-square test — ends $x^2$ and $2^2$, middle $2 \cdot x \cdot 2 = 4x$ ✓:

Check at $x = 1$: original $3 - 12 + 12 = 3$; result $3 \times (-1)^2 = 3$ ✓.

$x-2$가 두 번 반복된다 — 한 문자로 치환하라.

The chunk $x-2$ appears twice — substitute one letter for it.

$A = x-2$로 놓으면 $A^2 + 6A + 8$ — 곱 $8$, 합 $6$인 쌍 $(2, 4)$로 $(A+2)(A+4)$. 되돌리면

식이 오히려 짧아졌다 — 치환이 만드는 흔한 반전이다. 검산(전개): 원식은 $x^2-4x+4+6x-12+8 = x^2+2x$이고 $x(x+2) = x^2+2x$ ✓.

Set $A = x-2$: then $A^2 + 6A + 8$ — product $8$, sum $6$, the pair $(2, 4)$ — gives $(A+2)(A+4)$. Substituting back,

The result is shorter than the original — a twist substitution produces surprisingly often. Check by expanding: the original is $x^2-4x+4+6x-12+8 = x^2+2x$, and $x(x+2) = x^2+2x$ ✓.

두 개씩 묶기가 안 된다 — 세 항이 무엇을 이루는지 보라.

Pair-grouping fails here — look at what three of the terms form.

앞의 세 항이 완전제곱이다: $x^2+10x+25 = (x+5)^2$. 그러면 전체가 합차 꼴이 된다:

검산($x=1, y=1$): 원식 $1+10+25-1 = 35$, 결과 $7 \times 5 = 35$ ✓.

The first three terms are a perfect square: $x^2+10x+25 = (x+5)^2$. The whole expression then becomes a difference of squares:

Check at $x=1, y=1$: original $1+10+25-1 = 35$; result $7 \times 5 = 35$ ✓.

① 공통인수 $y$: $y(x^2-4)$. ② 괄호 안은 합차:

검산($x=3, y=2$): 원식 $18 - 8 = 10$, 결과 $2 \times 5 \times 1 = 10$ ✓.

① Common factor $y$: $y(x^2-4)$. ② Inside is a difference of squares:

Check at $x=3, y=2$: original $18 - 8 = 10$; result $2 \times 5 \times 1 = 10$ ✓.

$ac = -24$, 합 $-10$.

$ac = -24$, sum $-10$.

$ac = -24$, 합 $-10$ — 쌍 $(-12, 2)$:

검산($x=1$): 원식 $8-10-3 = -5$, 결과 $5 \times (-1) = -5$ ✓.

$ac = -24$, sum $-10$ — the pair $(-12, 2)$:

Check at $x=1$: original $8-10-3 = -5$; result $5 \times (-1) = -5$ ✓.

$x^2$을 한 문자로 치환하면 아는 꼴이 된다. 접은 뒤 각 인수를 다시 보라.

Substituting one letter for $x^2$ produces a familiar shape. After folding, look at each factor again.

$A = x^2$으로 치환하면 $A^2 - 5A + 4$ — 곱 $4$, 합 $-5$인 쌍 $(-1, -4)$로

여기서 멈추면 접다 만 것이다 — 두 인수 모두 합차다:

검산($x = 3$): 원식 $81 - 45 + 4 = 40$, 결과 $4 \times 2 \times 5 \times 1 = 40$ ✓.

Substituting $A = x^2$ gives $A^2 - 5A + 4$ — product $4$, sum $-5$, the pair $(-1, -4)$:

Stopping here leaves the job half done — both factors are differences of squares:

Check at $x = 3$: original $81 - 45 + 4 = 40$; result $4 \times 2 \times 5 \times 1 = 40$ ✓.

치환으로 접은 뒤, 나온 두 인수를 각각 다시 접어라.

After the substitution fold, fold each of the two resulting factors again.

$A = x^2-4x$로 놓으면 $A^2 + 7A + 12$ — 곱 $12$, 합 $7$인 쌍 $(3, 4)$로 $(A+3)(A+4)$. 되돌리면

각 인수를 다시 접는다: 앞은 곱 $3$, 합 $-4$로 $(x-1)(x-3)$, 뒤는 완전제곱 $(x-2)^2$:

검산($x = 5$): $A = 5$이므로 원식 $25 + 35 + 12 = 72$, 결과 $4 \times 2 \times 3^2 = 72$ ✓.

Set $A = x^2-4x$: then $A^2 + 7A + 12$ — product $12$, sum $7$, the pair $(3, 4)$ — gives $(A+3)(A+4)$. Substituting back:

Fold each factor again: the first, with product $3$ and sum $-4$, is $(x-1)(x-3)$; the second is the perfect square $(x-2)^2$:

Check at $x = 5$: with $A = 5$, the original gives $25 + 35 + 12 = 72$; the result gives $4 \times 2 \times 3^2 = 72$ ✓.

연속한 두 홀수를 $2k-1$과 $2k+1$로 놓고, 제곱의 차를 합차 공식으로 처리하라.

Write the odd numbers as $2k-1$ and $2k+1$, and handle the difference of squares with the formula.

증명. 연속한 두 홀수를 $2k-1$, $2k+1$($k$는 정수)로 놓자. 큰 쪽의 제곱에서 작은 쪽의 제곱을 빼면, 합차 공식으로

$k$가 정수이므로 $8k$는 $8$의 배수다. $\blacksquare$

확인 하나: $7^2 - 5^2 = 49 - 25 = 24 = 8 \times 3$ — $k = 3$일 때와 일치 ✓.

채점 기준. 연속한 두 홀수를 일반형으로 바르게 표현했는가($2k+1$과 $2k+3$으로 놓아도 좋다 — 그 경우 차는 $8(k+1)$), 합차 공식이나 직접 전개로 차를 정리했는가, 결과가 $8 \times (\text{정수})$ 꼴임을 명시했는가. 구체적인 수 몇 쌍의 확인만으로는 증명이 아니다.

Proof. Write the consecutive odd numbers as $2k-1$ and $2k+1$ for an integer $k$. Subtracting the smaller square from the larger and applying the difference-of-squares formula:

Since $k$ is an integer, $8k$ is a multiple of $8$. $\blacksquare$

One spot check: $7^2 - 5^2 = 49 - 25 = 24 = 8 \times 3$, matching $k = 3$ ✓.

Grading. A correct general form for consecutive odd numbers (using $2k+1$ and $2k+3$ is equally good — the difference then comes out $8(k+1)$), the difference handled by the formula or by direct expansion, and the conclusion stated as $8 \times (\text{integer})$. Checking a few specific pairs is not a proof.

곱이 $12$인 정수 쌍을 전부 나열하라 — 음수 쌍을 잊지 말 것.

List every integer pair with product $12$ — and don't forget the negative pairs.

$(x+m)(x+n)$으로 접히려면 $mn = 12$, $m+n = a$인 정수 쌍이 필요하다. 곱이 $+12$이므로 두 수는 같은 부호 — 양수 쌍과 음수 쌍을 전부 나열한다:

따라서 $a \in \{7, 8, 13, -7, -8, -13\}$ — 모두 $6$개다.

검산 두 개: $a = 7$: $(x+3)(x+4) = x^2+7x+12$ ✓; $a = -8$: $(x-2)(x-6) = x^2-8x+12$ ✓. 음수 쌍 세 개를 놓치고 "3개"라고 답하는 것이 이 문제의 함정이다.

Folding into $(x+m)(x+n)$ requires integers with $mn = 12$ and $m+n = a$. The product $+12$ forces the two numbers to share a sign — list the positive and the negative pairs in full:

So $a \in \{7, 8, 13, -7, -8, -13\}$ — six values in all.

Two checks: $a = 7$: $(x+3)(x+4) = x^2+7x+12$ ✓; $a = -8$: $(x-2)(x-6) = x^2-8x+12$ ✓. The trap is answering "three" after missing the negative pairs.

$4n^2$을 더했다 빼면 앞의 세 항이 완전제곱을 이룬다 — 그다음은 이 차시의 "셋과 하나" 배치다.

Add and subtract $4n^2$: the first three terms then form a perfect square — and what remains is this lesson's "three and one" arrangement.

$4n^2$을 더하고 빼서 완전제곱을 만든다:

합차로 접으면

곱이 소수이려면 한 인수가 $1$이어야 한다. 둘째 인수는 $n^2-2n+2 = (n-1)^2 + 1$이므로, $1$이 되는 것은 $n = 1$뿐이고 그때 값은 $1^4+4 = 5$ — 소수 ✓. $n \geq 2$면 $(n-1)^2+1 \geq 2$이고 $n^2+2n+2 \geq 10$이라 곱은 항상 합성수다.

따라서 답은 $n = 1$. 검산: $n=2$: $16+4 = 20 = 10 \times 2$ ✓ 합성수 — 인수분해값 $(4+4+2)(4-4+2) = 10 \times 2$과 일치. $n=3$: $81+4 = 85 = 17 \times 5$ ✓ — $(9+6+2)(9-6+2) = 17 \times 5$ 일치. "더하고 빼서 완전제곱 만들기"는 다음 단원(이차방정식의 완전제곱식 풀이)에서 주인공이 되는 기술이다.

Add and subtract $4n^2$ to build a perfect square:

Folding the difference of squares:

For the product to be prime, one factor must equal $1$. The second factor is $n^2-2n+2 = (n-1)^2 + 1$, which equals $1$ only at $n = 1$ — and there the value is $1^4+4 = 5$, prime ✓. For $n \geq 2$, both $(n-1)^2+1 \geq 2$ and $n^2+2n+2 \geq 10$, so the product is always composite.

So the answer is $n = 1$. Checks: $n=2$: $16+4 = 20 = 10 \times 2$ ✓ composite — matching the factorization $(4+4+2)(4-4+2) = 10 \times 2$. $n=3$: $81+4 = 85 = 17 \times 5$ ✓ — matching $(9+6+2)(9-6+2) = 17 \times 5$. The move "add and subtract to complete a square" takes center stage in the next unit, when quadratic equations get solved by completing the square.