같은 식을 다루려면 먼저 부품을 부를 이름이 필요하다.
수와 문자 몇 개의 곱 하나로 된 식(, , 같은 것)을 단항식, 단항식 몇 개의 합으로 된 식을 다항식이라 한다. 더해진 각 단항식이 그 다항식의 항, 항에서 문자에 곱해진 수가 계수, 항에 곱해진 문자의 개수가 그 항의 차수다. 다항식 전체의 차수는 항들 중 가장 높은 차수로 정한다.
을 이 말로 읽어 보면: 항은 , , 의 셋이다. 뺄셈은 음수의 덧셈이므로 부호는 항의 일부다 — 의 계수는 이 아니라 이다. 문자가 없는 항 은 상수항이라 부르고 차수는 으로 친다. 최고차항이 이므로 이 다항식의 차수는 2. 항이 둘이면 이항식, 셋이면 삼항식이라고도 하는데, 이름보다 중요한 것은 차수가 높은 항부터 쓰는 내림차순 관례다. 이 습관이 인수분해와 이차방정식 내내 이득을 본다.
용어 하나만 더:
문자와 그 차수가 완전히 같은 항. 과 은 동류항이다. 과 은 아니다 — 차수가 다르다. 와 도 아니다.
동류항은 왜 합쳐지고, 아니면 왜 안 합쳐지는가. 분배법칙을 거꾸로 읽으면 답이 나온다:
이 3개 있는데 5개가 더 왔으니 8개 — 사과 3개에 사과 5개를 더한 셈이다. 반면 은 사과와 배라서, 의 개수로도 의 개수로도 셀 수 없다. 그냥 인 채로 둔다. 다항식의 덧셈·뺄셈은 결국 종류별로 개수 세기다.
을 간단히 하라.
풀이. 빼기는 을 곱해 더하는 것이므로, 뒤 괄호의 세 항 전부 부호가 바뀐다:
검산은 수 대입으로. : 원식은 , 결과는 ✓.
뺄셈에서 가장 잦은 실수: 에서 첫 항만 부호를 바꿔 으로 쓰는 것. 괄호 앞의 는 괄호 안 모든 항에 분배된다. 부호가 헷갈리면 괄호 지우는 줄을 한 줄 따로 쓰라 — 줄 하나가 오답 하나보다 싸다.
각 항에 을 곱하면서 지난 차시의 지수법칙()을 쓴 것뿐이다. 부호도 같이 실려 간다는 것()만 조심하면 새로울 게 없다.
는 어떻게 전개되는가. 뒤 괄호 를 통째로 하나의 수 이라 보면:
분배법칙을 두 번 쓴 것이 전부다. 그림으로도 같은 결론이 나온다:
가로 , 세로 인 직사각형의 넓이가 이고, 선을 따라 자른 네 조각의 넓이가 , , , 다. 전체는 조각의 합이므로 두 식은 같을 수밖에 없다.
여기서 다항식 곱셈의 원칙이 나온다: 앞 다항식의 각 항과 뒤 다항식의 각 항을, 빠짐없이 중복 없이 한 번씩 곱해 모두 더한다. 그래서 곱의 개수는 항 개수의 곱이다 — 항 항이면 곱 4개, 항 항이면 6개. 전개 직후 곱이 몇 개 나왔는지 세는 것이 검산의 첫 줄이다.
FOIL(First–Outer–Inner–Last)이라는 구호를 들어 봤을 수 있다. 2항 2항 전용 순서 암기일 뿐이다. 원리 — 모든 항끼리 한 번씩 — 를 알면 몇 항이든 전개할 수 있지만, FOIL만 알면 항 항에서 이미 손이 멈춘다.
를 전개하고 정리하라.
풀이. 개의 곱이 나와야 한다:
여섯 개 ✓. 동류항을 정리했으면 검산 — : 원식은 , 결과는 ✓.
어떤 곱은 하도 자주 나와서 결과를 통째로 알아 두는 편이 낫다. 셋이면 충분하고, 셋 다 방금의 원칙에서 30초 안에 나온다.
완전제곱 (합).
가운데의 는 와 가 같은 수라서 생긴 두 배다. 이 "2가 어디서 왔는가"가 공식의 전부다. 그림으로 보면:
넓이 인 큰 정사각형은 정사각형 하나, 하나, 그리고 직사각형 두 장으로 나뉜다.
완전제곱 (차). 새로 전개할 필요 없이, 방금 증명한 공식의 자리에 를 넣으면 된다:
이미 증명한 식에 대입하는 것도 훌륭한 증명이다.
합차의 곱.
가운데 항이 사라지는 것이 이 공식의 존재 이유다. 전개했더니 오히려 짧아지는 드문 곱.
반례 하나면 끝난다. , :
같지 않다. 모자란 가 정확히 — 그림에서 빠뜨린 직사각형 두 장이다.
이 착각이 왜 그럴듯한지도 알아 두자. 은 참이다 — 곱의 거듭제곱 법칙. 지수는 곱 위에서는 낱개로 걸리지만, 합 위에서는 그런 법칙이 없다. 을 처리하려면 거듭제곱의 정의로 돌아가 를 분배로 전개하는 수밖에 없고, 그러면 가 반드시 따라 나온다. 이 등식을 쓰고 싶어질 때마다 을 떠올리면 된다.
곱셈 공식은 문자 계산만을 위한 것이 아니다. 수를 잘 쪼개면 암산 도구가 된다:
예고 하나. 이 차시에서는 을 로 펴는 법을 배웠다. 다음 단원의 질문은 정반대다 — 을 보고 로 접을 수 있는가? 전개를 많이 해 본 손이 인수분해를 가장 잘 배운다.
To work with an expression like , we need names for its parts.
An expression that is a single product of numbers and variables (, , or ) is a monomial. A sum of monomials is a polynomial. Each monomial in the sum is a term; the number multiplying the variables in a term is its coefficient; the number of variable factors in a term is its degree. The degree of the whole polynomial is the largest degree among its terms.
Read in this language: three terms, , , and . Subtraction is addition of a negative, so the sign belongs to the term — the coefficient of is , not . The term has no variables; it is the constant term, and its degree counts as . The highest-degree term is , so the polynomial has degree 2. A two-term polynomial is called a binomial and a three-term one a trinomial, but the convention that matters more than the names is standard form: write terms from highest degree down. That habit keeps paying off through factoring and quadratics.
One more word:
Terms with exactly the same variables raised to exactly the same powers. and are like terms. and are not — the degrees differ. Neither are and .
Why do like terms combine, and unlike terms refuse to? Read the distributive law backwards:
Three 's plus five more makes eight of them — apples plus apples. But is apples plus pears: it is not a count of 's, nor a count of 's, so it stays as it is. Adding and subtracting polynomials is nothing more than counting each kind.
Simplify .
Solution. Subtracting means multiplying by and adding, so all three signs in the second parentheses flip:
Check by substitution at : the original gives ; the result gives ✓.
The classic subtraction error: flipping only the first sign, turning into . The minus in front distributes to every term inside. If signs trip you up, spend one written line just on removing the parentheses — a line is cheaper than a wrong answer.
This is the distributive law with last lesson's exponent rule () riding along. The only thing to watch is that signs ride along too: .
How does expand? Treat the second factor as one single number :
Two rounds of the distributive law — that is the whole proof. A picture reaches the same conclusion:
A rectangle wide and tall has area ; cutting along the gridlines gives four pieces of areas , , , . The whole equals the sum of its parts, so the two expressions must agree.
Out of this comes the one principle behind all polynomial multiplication: multiply each term of the first polynomial by each term of the second — every pair exactly once — and add. The number of products is therefore the product of the term counts: terms terms gives 4 products, gives 6. Counting your products right after expanding is the first line of your check.
You may have met the mnemonic FOIL (First–Outer–Inner–Last). It is a memorized order for the binomial-times-binomial case, nothing more. Know the principle — every pair, once — and you can expand anything; with FOIL alone, you are already stuck at binomial times trinomial.
Expand and simplify .
Solution. We should get products:
Six products ✓. Combine like terms, then check at : the original gives ; the result gives ✓.
Some products come up so often that it pays to know the result on sight. Three are enough, and each falls out of the principle above in under thirty seconds.
Square of a sum.
The middle appears because and are the same number — where that 2 comes from is the entire story. In the picture:
The big square, of area , splits into a square , a square , and two rectangles of area each.
Square of a difference. No need to expand again — substitute for in the formula just proved:
Substituting into a proven formula is a perfectly good proof.
Sum times difference.
The middle terms cancel — that is this formula's reason to exist. It is the rare product that comes out shorter than what you started with.
One counterexample settles it. Take , :
Not equal. The missing is exactly — the two rectangles the shortcut leaves out of the picture.
It is worth knowing why the mistake feels plausible. is true — that is the power-of-a-product law. Exponents do distribute over products; there is simply no such law over sums. To handle you must go back to the definition and multiply out , and then the is unavoidable. Whenever the shortcut tempts you, replay .
The product formulas are not only for symbols. Split a number cleverly and they do arithmetic for you:
One preview. This lesson taught you to expand into . The next unit asks the reverse question: given , can you fold it back into ? Hands that have done a lot of expanding learn factoring fastest.
간단히 하라:
Simplify:
동류항끼리 계수를 더한다: 항은 , 항은 , 상수항은 :
검산 — : 원식은 , 결과는 ✓.
Add coefficients of like terms: for , for , for the constants:
Check at : the original gives ; the result gives ✓.
간단히 하라:
Simplify:
뒤 괄호의 항이 셋 — 부호가 바뀌어야 하는 것도 셋이다.
The second parentheses hold three terms — so three signs must flip.
괄호 앞 를 세 항 모두에 분배한다:
까지 바뀌는 것에 주의. 검산 — : 원식은 , 결과는 ✓.
Distribute the minus to all three terms:
Note that becomes too. Check at : the original gives ; the result gives ✓.
전개하라:
Expand:
각 항에 를 곱한다. 지수는 곱할 때마다 하나씩 오른다:
검산 — : 원식은 , 결과는 ✓.
Multiply each term by ; the exponent climbs by one each time:
Check at : the original gives ; the result gives ✓.
전개하고 정리하라:
Expand and simplify:
항 항이니 곱이 4개 나와야 한다.
Binomial times binomial: you should get 4 products.
모든 항끼리 한 번씩:
가운데 는 바깥 곱 와 안쪽 곱 의 합이다. 검산 — : 원식은 , 결과는 ✓.
Every pair of terms, once:
The middle is the sum of the two cross products and . Check at : the original gives ; the result gives ✓.
전개하고 정리하라:
Expand and simplify:
곱 4개를 만들고 부호를 실어 나른다:
검산 — : 원식은 , 결과는 ✓.
Form the four products, signs riding along:
Check at : the original gives ; the result gives ✓.
전개하고 정리하라:
Expand and simplify:
항 항 — 정리하기 전에 곱이 6개인지 세어 보라.
Binomial times trinomial — count that you have 6 products before combining.
가 세 항을 훑고, 가 세 항을 훑는다:
곱 6개 ✓. 검산 — : 원식은 , 결과는 ✓.
The sweeps across three terms, then the does:
Six products ✓. Check at : the original gives ; the result gives ✓.
민준이는 라고 썼다. 이 답이 틀렸음을 반례로 보이고, 바르게 전개하라.
Minjun wrote . Show with a counterexample that this is wrong, then expand it correctly.
에 아무 수나 하나 넣어 양변을 비교해 보라.
Try any single number for and compare the two sides.
반례. 을 넣으면 좌변은 , 민준이의 우변은 . 같지 않으므로 틀렸다.
바른 전개. 완전제곱 공식 에 , :
민준이가 놓친 것이 가운데 항 다 — 에서 모자랐던 이 정확히 이 항의 값이다.
채점 기준. 구체적인 수 하나로 반례를 제시했는가(어떤 수든 좋다), 올바른 전개 를 얻었는가, 오류의 원인이 항 누락임을 짚었는가. 반례 대신 그림(정사각형 분할)으로 설명해도 논리가 맞으면 만점.
Counterexample. At the left side is , while Minjun's right side is . They differ, so the equation is false.
Correct expansion. Use with , :
What Minjun dropped is the middle term — and indeed the shortfall at , namely , is exactly that term's value.
Grading. A counterexample with a specific number (any number works), the correct expansion , and naming the missing term as the cause. An explanation via the square-cutting picture instead of a counterexample earns full credit if the logic holds.
전개하라:
Expand:
합차의 곱이므로 가운데 항이 사라진다:
직접 전개해 확인하면 — 교차항 가 정확히 상쇄된다. 검산 — : 원식은 , 결과는 ✓.
A sum times a difference, so the middle terms vanish:
Expanding by hand confirms it: — the cross terms cancel exactly. Check at : the original gives ; the result gives ✓.
한 변의 길이가 인 정사각형 모양의 밭이 있다(). 한 변을 3만큼 늘리고 이웃한 변을 3만큼 줄여 직사각형 밭으로 바꾸면, 넓이는 어떻게 변하는가?
A square field has sides of length (with ). One side is lengthened by 3 and the adjacent side shortened by 3, making a rectangle. How does the area change?
바꾼 밭의 넓이를 식으로 쓰면 어떤 곱셈 공식 모양인가?
Write the new area as a product — which formula is that the shape of?
원래 넓이는 , 바꾼 밭의 넓이는
따라서 넓이는 항상 만큼 줄어든다 — 가 얼마든 상관없이. 한쪽을 늘린 만큼 다른 쪽을 줄였으니 넓이가 그대로일 것 같지만, 합차의 곱은 을 남긴다.
검산 — : 원래 , 바꾼 뒤 , 차이 ✓.
The original area is ; the new field has area
So the area always drops by exactly , no matter what is. Stretching one side by the same amount you shrink the other feels like it should preserve area, but sum-times-difference leaves behind .
Check at : original , new , a drop of ✓.
을 전개했더니 의 계수가 였다. 의 값과, 이때 의 계수를 구하라.
When is expanded, the coefficient of turns out to be . Find , and then the coefficient of .
전개에서 항이 나오는 곱은 어떤 쌍들인가? 그 계수의 합을 로 놓아라.
Which pairs of terms produce in the expansion? Set the sum of those coefficients equal to .
전개하면
의 계수는 이므로 . 그러면 의 계수는 .
검산 — 로 직접 전개: 이고, 에서 원식 , 전개식 ✓.
Expanding,
The coefficient is , so . The coefficient is then .
Check by expanding with : , and at the original gives while the expansion gives ✓.
두 수 , 가 , 을 만족한다. 과 의 값을 각각 구하라.
Two numbers and satisfy and . Find and .
을 전개한 식 안에 과 가 함께 들어 있다.
The expansion of contains both and .
이므로
또 .
, 를 직접 구하지 않고도 답이 나온다는 것이 이 문제의 핵심이다. 물론 이 경우엔 구할 수도 있다 — , 가 조건을 만족하고(, ), 실제로 , ✓.
Since ,
And .
The point is that you never need and themselves. Here you could find them — , works (, ), and indeed and ✓.
이웃한 두 정수의 제곱의 차는 두 정수의 합과 같다 — 즉 모든 정수 에 대해 임을 증명하라. 그리고 이를 이용해 을 암산으로 구하라.
The difference between the squares of two consecutive integers equals their sum — that is, for every integer , . Prove this, and use it to find in your head.
좌변을 전개하거나, 합차의 곱으로 인수분해하듯 읽어 보라.
Expand the left side — or read it as a sum times a difference.
증명. 좌변을 전개하면
(합차 공식으로 봐도 된다: .)
적용. 를 넣으면
검산: , , 차는 ✓ — 하지만 공식 덕분에 이 큰 제곱들을 계산할 필요가 없었다.
채점 기준. 전개(또는 합차 공식)로 항등식을 보였는가, 임의의 정수 에 대한 논증인가(특정 수 몇 개 확인은 증명이 아님), 공식을 에 올바르게 적용했는가. 두 방향(전개/합차) 어느 쪽이든 만점.
Proof. Expanding the left side,
(Or view it through sum-times-difference: .)
Application. With ,
Check: and , whose difference is ✓ — though the whole point is that the formula spared us those big squares.
Grading. The identity shown by expansion (or by the difference-of-squares factorization), an argument valid for every integer (checking a few numbers is not a proof), and a correct application to . Either route earns full credit.
다음 곱을 꼴로 나타내고 값을 구하라:
Write the following product in the form , and evaluate it:
맨 앞에 을 곱해도 값이 변하지 않는다 — 이니까. 곱하면 무슨 일이 벌어지는가?
Multiplying by changes nothing — it equals . What happens if you do?
이므로 앞에 곱해도 값은 그대로다. 그런데 이제 합차의 곱이 연쇄적으로 터진다:
매 단계의 결과가 다음 인수와 정확히 합차 쌍을 이룬다. 따라서 답은
검산 — 인수를 직접 곱하면 : , , ✓ — 마지막 곱셈마저 합차 공식이 해 준다.
Since , slipping it in front leaves the value unchanged — and now sum-times-difference fires in a chain:
Each step's result pairs off perfectly with the next factor. So the product is
Check by direct multiplication: the factors are : , , ✓ — even the last multiplication is a difference of squares.