지수법칙Exponent Laws

Algebra 1Algebra 1 · 4. 지수법칙과 다항식4. Exponents & Polynomials

학습 목표

거듭제곱의 정의에서 지수법칙 네 가지를 직접 유도한다.
지수법칙을 섞어 쓰는 식 정리를 실수 없이 해낸다.
밑이 다르면 지수를 합칠 수 없다는 것 — 법칙이 "안 되는" 경우를 안다.

정의가 전부다

거듭제곱은 반복되는 곱셈의 줄임 표기다:

정의거듭제곱

자연수 $n$ 에 대해 $a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n\text{개}}$ . $a$ 를 밑, $n$ 을 지수라 한다.

이 차시의 법칙 네 개는 전부 이 정의에서 개수를 세는 것만으로 나온다. 외울 것은 정의 하나, 나머지는 유도할 수 있어야 한다.

표기 주의 하나. $(-3)^2 = 9$ 이지만 $-3^2 = -(3^2) = -9$ 다 — 지수는 바로 앞의 것에만 붙는다. 진단 평가에서 이 구분을 확인했던 이유가 이 단원에서 본격적으로 나온다.

법칙 1 · 곱은 지수의 덧셈

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

유도. 왼쪽을 정의로 풀어 쓰면

\underbrace{(a \cdots a)}_{m\text{개}} \times \underbrace{(a \cdots a)}_{n\text{개}} = \underbrace{a \cdots a}_{m+n\text{개}} = a^{m+n}.

$a$ 가 모두 몇 개 곱해졌는지 세면 끝이다. 예: $2^4 \cdot 2^3 = 2^7 = 128$ — 실제로 $16 \times 8 = 128$ ✓.

주의

밑이 같을 때만 성립한다. $2^3 \cdot 5^2$ 는 밑이 달라 지수를 합칠 수 없다 — $10^5$ 이 아니라 그냥 $8 \times 25 = 200$ 이다. 그리고 이것은 곱셈 법칙이다: $2^3 + 2^4$ 은 $2^7$ 이 아니다(덧셈은 문제 탭에서 정면으로 다룬다).

법칙 2 · 거듭제곱의 거듭제곱은 지수의 곱셈

(a^m)^n = a^{mn}

유도. $(a^m)^n$ 은 $a^m$ 을 $n$ 개 곱한 것:

\underbrace{a^m \cdot a^m \cdots a^m}_{n\text{개}} = a^{\overbrace{m + m + \cdots + m}^{n\text{개}}} = a^{mn}.

(둘째 등호는 방금 증명한 법칙 1을 반복 적용한 것 — 법칙이 법칙을 만든다.) 예: $(2^3)^2 = 2^6 = 64 = 8^2$ ✓.

법칙 3 · 곱의 거듭제곱은 각각의 거듭제곱

(ab)^n = a^n b^n

유도. $(ab)^n = (ab)(ab)\cdots(ab)$ ( $n$ 개). 곱셈은 순서를 바꿔도 되므로 $a$ 들을 앞으로, $b$ 들을 뒤로 모으면 $a^n b^n$ 이다. 예: $(2x)^4 = 2^4 x^4 = 16x^4$ — 계수 2에도 네제곱이 걸리는 것에 주의(진단 D13의 그 함정이다).

법칙 4 · 나눗셈은 지수의 뺄셈

\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \qquad (a \neq 0,\ m > n)

유도. 분자와 분모에 공통인 $a$ 를 $n$ 개씩 약분하면 분자에 $m - n$ 개가 남는다:

\frac{a^m}{a^n} = \frac{\overbrace{a \cdots a}^{m\text{개}}}{\underbrace{a \cdots a}_{n\text{개}}} = a^{m-n}.

예: $\dfrac{3^5}{3^2} = 3^3 = 27$ ✓ ( $243 \div 9 = 27$ ).

$m \leq n$ 이면 어떻게 되는가 — 그 질문이 다음 차시(0과 음의 지수)의 출발점이다.

법칙들을 섞어 쓰기

예제 · 종합 정리

$\dfrac{(2a^2b)^3 \cdot a}{4a^3b^2}$ 를 간단히 하라.

풀이. 분자부터: 법칙 3으로 $(2a^2b)^3 = 2^3 (a^2)^3 b^3 = 8a^6b^3$ (법칙 2 사용), 여기에 $a$ 를 곱하면 법칙 1로 $8a^7b^3$ .

이제 나눗셈: 계수 $8 \div 4 = 2$ , 법칙 4로 $a^{7-3} = a^4$ , $b^{3-2} = b$ . 따라서

\frac{(2a^2b)^3 \cdot a}{4a^3b^2} = 2a^4b.

검산은 수 대입으로: $a = 1, b = 2$ 이면 원식은 $\dfrac{(2 \cdot 2)^3 \cdot 1}{4 \cdot 4} = \dfrac{64}{16} = 4$ 이고, 정리한 식은 $2 \cdot 1 \cdot 2 = 4$ ✓. 문자 식 정리의 검산은 대입이다 — 두 식이 같다면 어떤 수를 넣어도 같아야 한다.

지수법칙은 손에 익어야 하는 기술이다 — 그런데 손에 익는 것과 왜인지 아는 것은 별개가 아니라, 왜인지 알아야 헷갈릴 때 스스로 복구할 수 있다. $a^m \cdot a^n$ 이 $a^{mn}$ 이었는지 $a^{m+n}$ 이었는지 흔들리면, $2^2 \cdot 2^3$ 을 정의로 펼쳐 보라. 8초면 답이 나온다.

문제 탭에는 기본기부터 $2^{30}$ 대 $3^{20}$ 크기 비교, 그리고 $3^x$ 세 개를 더하는 경시 문제까지 열세 문제가 있다.

Goals

Derive all four exponent laws yourself, straight from the definition.
Simplify expressions that mix the laws, without slips.
Know when the laws don't apply — different bases don't merge.

The definition is everything

A power is shorthand for repeated multiplication:

DefinitionPowers

For a natural number $n$ , $a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n\text{ factors}}$ . Here $a$ is the base and $n$ the exponent.

Every law in this lesson falls out of this definition just by counting factors. Memorize one definition; be able to derive the rest.

One notation warning up front: $(-3)^2 = 9$ , but $-3^2 = -(3^2) = -9$ — an exponent binds only to what it touches. The diagnostic test checked exactly this distinction; here's the unit where it starts mattering constantly.

Law 1 · Multiplying powers adds exponents

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

Derivation. Unfold the left side by the definition:

\underbrace{(a \cdots a)}_{m} \times \underbrace{(a \cdots a)}_{n} = \underbrace{a \cdots a}_{m+n} = a^{m+n}.

Count the factors of $a$ and you're done. Example: $2^4 \cdot 2^3 = 2^7 = 128$ — indeed $16 \times 8 = 128$ ✓.

Watch out

This works only for equal bases. In $2^3 \cdot 5^2$ the bases differ, so no exponents merge — it isn't $10^5$ ; it's just $8 \times 25 = 200$ . And it's a law about multiplication: $2^3 + 2^4$ is not $2^7$ . (Addition gets its own head-on treatment in the Problems tab.)

Law 2 · A power of a power multiplies exponents

(a^m)^n = a^{mn}

Derivation. $(a^m)^n$ means $n$ copies of $a^m$ multiplied:

\underbrace{a^m \cdot a^m \cdots a^m}_{n} = a^{\overbrace{m + m + \cdots + m}^{n}} = a^{mn}.

(The second step applies Law 1 repeatedly — laws building laws.) Example: $(2^3)^2 = 2^6 = 64 = 8^2$ ✓.

Law 3 · A power of a product is the product of powers

(ab)^n = a^n b^n

Derivation. $(ab)^n = (ab)(ab)\cdots(ab)$ , $n$ times. Multiplication lets us reorder freely, so collect the $a$ 's in front and the $b$ 's behind: $a^n b^n$ . Example: $(2x)^4 = 2^4 x^4 = 16x^4$ — the coefficient 2 gets raised too (the very trap from diagnostic problem 13).

Law 4 · Dividing powers subtracts exponents

\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \qquad (a \neq 0,\ m > n)

Derivation. Cancel $n$ common factors of $a$ from top and bottom; $m - n$ factors survive upstairs:

\frac{a^m}{a^n} = \frac{\overbrace{a \cdots a}^{m}}{\underbrace{a \cdots a}_{n}} = a^{m-n}.

Example: $\dfrac{3^5}{3^2} = 3^3 = 27$ ✓ (as $243 \div 9 = 27$ ).

What if $m \leq n$ ? That question is exactly where the next lesson — zero and negative exponents — begins.

Mixing the laws

Example · A full simplification

Simplify $\dfrac{(2a^2b)^3 \cdot a}{4a^3b^2}$ .

Solution. Numerator first: by Law 3, $(2a^2b)^3 = 2^3 (a^2)^3 b^3 = 8a^6b^3$ (Law 2 inside), and multiplying by $a$ gives $8a^7b^3$ by Law 1.

Now divide: coefficients $8 \div 4 = 2$ ; by Law 4, $a^{7-3} = a^4$ and $b^{3-2} = b$ . Therefore

\frac{(2a^2b)^3 \cdot a}{4a^3b^2} = 2a^4b.

Check by substitution: at $a = 1, b = 2$ the original is $\dfrac{(2 \cdot 2)^3 \cdot 1}{4 \cdot 4} = \dfrac{64}{16} = 4$ , and the simplified form gives $2 \cdot 1 \cdot 2 = 4$ ✓. Substitution is how you check symbolic work — if two expressions are equal, they must agree at any numbers you feed them.

Exponent laws must become automatic — but automatic and understood aren't rivals. Understanding is what lets you self-repair: if you blank on whether $a^m \cdot a^n$ was $a^{mn}$ or $a^{m+n}$ , unfold $2^2 \cdot 2^3$ by the definition. Eight seconds, answer restored.

The Problems tab runs from finger exercises to comparing $2^{30}$ against $3^{20}$ , and ends with a contest problem about adding three copies of $3^x$ .