근의 공식과 판별식The Quadratic Formula & the Discriminant

$a=1$, $b=5$, $c=3$:

검산은 근과 계수의 관계로: 두 해의 합 $= \frac{-5+\sqrt{13}}{2} + \frac{-5-\sqrt{13}}{2} = -5 = -\frac{b}{a}$ ✓, 곱 $= \frac{25-13}{4} = 3 = \frac{c}{a}$ ✓.

With $a=1$, $b=5$, $c=3$:

Check via sum and product: the solutions add to $\frac{-5+\sqrt{13}}{2} + \frac{-5-\sqrt{13}}{2} = -5 = -\frac{b}{a}$ ✓ and multiply to $\frac{25-13}{4} = 3 = \frac{c}{a}$ ✓.

$a=1$, $b=-5$, $c=2$:

$b = -5$이므로 공식의 $-b$는 $+5$다 — 부호 넣기가 이 공식의 최다 실수 지점이다. 검산: 합 $= 5 = -\frac{b}{a}$ ✓, 곱 $= \frac{25-17}{4} = 2 = \frac{c}{a}$ ✓.

With $a=1$, $b=-5$, $c=2$:

Since $b = -5$, the formula's $-b$ is $+5$ — sign entry is this formula's number-one slip. Check: sum $= 5 = -\frac{b}{a}$ ✓, product $= \frac{25-17}{4} = 2 = \frac{c}{a}$ ✓.

$D = b^2 - 4ac$만 본다:

(1) $D = 36 - 36 = 0$ — 중근 하나. (2) $D = 9 - 40 = -31 < 0$ — 실수 해 없음. (3) $D = 1 + 4 = 5 > 0$ — 서로 다른 두 해.

풀이 전체를 돌리지 않고 한 줄 계산으로 끝나는 것이 판별식의 용도다.

Compute only $D = b^2 - 4ac$:

(1) $D = 36 - 36 = 0$ — one repeated root. (2) $D = 9 - 40 = -31 < 0$ — no real solutions. (3) $D = 1 + 4 = 5 > 0$ — two distinct solutions.

One line each, no solving — that is what the discriminant is for.

공식. $D = 1 + 24 = 25$, $\sqrt{25} = 5$:

인수분해. 곱 $-6$, 합 $-1$ — $(x-3)(x+2) = 0$, 같은 두 해 ✓.

근호 안이 완전제곱수($25$)면 근호가 벗겨져 유리수 해가 나온다 — 접히는 방정식의 신호다. 검산: $9 - 3 - 6 = 0$ ✓, $4 + 2 - 6 = 0$ ✓.

Formula. $D = 1 + 24 = 25$ and $\sqrt{25} = 5$:

Factoring. Product $-6$, sum $-1$ — $(x-3)(x+2) = 0$, the same two solutions ✓.

A perfect square under the root ($25$) peels away and leaves rational solutions — the signature of a foldable equation. Check: $9 - 3 - 6 = 0$ ✓ and $4 + 2 - 6 = 0$ ✓.

$ac = 8$, 합 $7$인 정수 쌍이 없으니($1+8=9$, $2+4=6$) 접히지 않는다 — 공식으로 간다. $a=2$, $b=7$, $c=4$:

분모가 $2a = 4$인 것에 주의. 검산: 합 $= -\frac{14}{4} = -\frac72 = -\frac{b}{a}$ ✓, 곱 $= \frac{49-17}{16} = 2 = \frac{c}{a}$ ✓.

No integer pair gives $ac = 8$ with sum $7$ ($1+8=9$, $2+4=6$), so it won't fold — formula time. With $a=2$, $b=7$, $c=4$:

Mind the denominator $2a = 4$. Check: sum $= -\frac{14}{4} = -\frac72 = -\frac{b}{a}$ ✓, product $= \frac{49-17}{16} = 2 = \frac{c}{a}$ ✓.

중근 조건은 $D = 0$:

그때 방정식은 $x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2 = 0$이므로 중근은 $x = 5$다. (중근 공식 $x = -\frac{b}{2a} = 5$로도 같은 값 ✓.)

A repeated root means $D = 0$:

The equation becomes $x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2 = 0$, so the root is $x = 5$. (The repeated-root formula $x = -\frac{b}{2a} = 5$ agrees ✓.)

실수 해가 없을 조건은 $D < 0$:

경계 확인: $k = 16$이면 $D = 0$ — 중근 $x = -4$가 있으므로 "해 없음"에 들어가지 않는다. 따라서 등호 없는 $k > 16$이 맞다. 표본 검산: $k = 20$이면 $D = -16 < 0$ ✓.

No real solutions means $D < 0$:

Boundary check: at $k = 16$, $D = 0$ — the repeated root $x = -4$ exists, so that case doesn't count as "no solutions." Hence the strict inequality $k > 16$. Sample check: $k = 20$ gives $D = -16 < 0$ ✓.

근과 계수의 관계로 합과 곱부터. 그다음은 U4의 곱셈 공식 변형이다.

Sum and product first, via the root–coefficient relations. What remains is a product-formula rearrangement from the polynomials unit.

근과 계수의 관계에서 $p + q = 6$, $pq = 2$.

검산 — 실제 근 $3 \pm \sqrt7$로: $p^2 + q^2 = (16 + 6\sqrt7) + (16 - 6\sqrt7) = 32$ ✓. 근을 구하지 않는 쪽이 오히려 빠르고 깨끗하다.

By the root–coefficient relations, $p + q = 6$ and $pq = 2$.

Check with the actual roots $3 \pm \sqrt7$: $p^2 + q^2 = (16 + 6\sqrt7) + (16 - 6\sqrt7) = 32$ ✓. Not finding the roots is the faster, cleaner road.

한 변을 $x$라 하면 다른 변은 $9 - x$다.

Call one side $x$; the other is then $9 - x$.

한 변을 $x$라 하면 둘레 조건에서 다른 변은 $9 - x$, 넓이 조건에서

두 값 모두 양수이고($\sqrt{21} \approx 4.58$이므로 약 $6.79$와 $2.21$), 하나를 $x$로 잡으면 다른 하나가 $9-x$가 된다 — 즉 두 해가 곧 두 변이다.

검산은 근과 계수의 관계로: 두 변의 합 $= 9$ (반둘레 ✓), 곱 $= \frac{81-21}{4} = 15$ (넓이 ✓). 변의 길이가 무리수인 직사각형은 얼마든지 있다 — "답이 예쁘지 않다"는 틀렸다는 신호가 아니다.

Let one side be $x$. The perimeter makes the other side $9 - x$, and the area gives

Both values are positive ($\sqrt{21} \approx 4.58$, so about $6.79$ and $2.21$), and choosing either as $x$ makes the other equal $9-x$ — the two solutions are simply the two sides.

Check via sum and product: the sides add to $9$ (the semiperimeter ✓) and multiply to $\frac{81-21}{4} = 15$ (the area ✓). Rectangles with irrational sides are perfectly real — an "ugly" answer is not a sign of a mistake.

중근 조건 $D = 0$에 더해, 이차방정식이려면 $x^2$의 계수가 $0$이 아니어야 한다.

Besides the condition $D = 0$, a quadratic needs a nonzero $x^2$ coefficient.

이차방정식이려면 먼저 $k + 1 \neq 0$, 즉 $k \neq -1$이어야 한다. 그 위에서 중근 조건:

($k \neq -1$ 조건에 걸리지 않는다 ✓.) $k = 1$이면 방정식은 $2x^2 - 4x + 2 = 2(x-1)^2 = 0$ — 중근 $x = 1$.

검산: $2 - 4 + 2 = 0$ ✓. 최고차 계수에 문자가 들어 있으면 "정말 이차인가"부터 확인하는 것이 정석이다.

To be quadratic at all we need $k + 1 \neq 0$, i.e. $k \neq -1$. On top of that, the repeated-root condition:

(That doesn't collide with $k \neq -1$ ✓.) At $k = 1$ the equation is $2x^2 - 4x + 2 = 2(x-1)^2 = 0$ — repeated root $x = 1$.

Check: $2 - 4 + 2 = 0$ ✓. Whenever a letter sits in the leading coefficient, "is it really quadratic?" is the first box to tick.

새 방정식에 필요한 것은 새 두 근의 합과 곱뿐이다.

All the new equation needs is the new roots' sum and product.

원래 방정식에서 $p + q = 5$, $pq = 3$. 새 두 근의 합과 곱을 계산한다:

합이 $7$, 곱이 $9$이고 $x^2$ 계수가 $1$인 이차방정식은

(합은 $-b$에 부호를 뒤집어 들어가는 것에 주의.) 검산 — 근을 직접 옮겨서: 원래 근은 $\frac{5 \pm \sqrt{13}}{2}$, $1$씩 더하면 $\frac{7 \pm \sqrt{13}}{2}$이고, 이는 정확히 $x^2 - 7x + 9 = 0$의 근의 공식 값이다($D = 49 - 36 = 13$ ✓).

From the original equation, $p + q = 5$ and $pq = 3$. Compute the new sum and product:

A monic quadratic with root sum $7$ and root product $9$ is

(The sum enters as $-b$ — sign flipped.) Check by shifting the actual roots: the originals are $\frac{5 \pm \sqrt{13}}{2}$; adding $1$ gives $\frac{7 \pm \sqrt{13}}{2}$, exactly what the formula yields for $x^2 - 7x + 9 = 0$ ($D = 49 - 36 = 13$ ✓).

완전제곱식으로 정리하면 좌변은 무엇의 제곱이 되는가? 제곱은 어떤 수가 될 수 없는가?

After completing the square, the left side is the square of what? And what can a square never be?

완전제곱식 절차(근의 공식 유도의 ①~③)를 거치면 방정식은

꼴이 된다. 좌변은 실수의 제곱이므로 $x$가 무엇이든 $0$ 이상이다. 그런데 $D < 0$이면 우변은 음수다($4a^2 > 0$이므로 분수의 부호는 $D$의 부호 그대로). $0$ 이상인 수가 음수와 같을 수는 없으므로, 등식을 만족하는 실수 $x$는 존재하지 않는다. $\blacksquare$

채점 기준. 완전제곱 꼴로의 변형, "제곱 $\geq 0$"과 "우변 $< 0$"의 대비, 그리고 모순으로 결론짓는 마무리. $D < 0$인 구체적 방정식 하나(예: $x^2+1=0$)로 시작해 감을 잡는 것은 좋으나, 일반 논증이 반드시 있어야 한다.

Running the completing-the-square steps (①–③ of the formula's derivation) turns the equation into

The left side is the square of a real number, so it is at least $0$ no matter what $x$ is. But if $D < 0$, the right side is negative (since $4a^2 > 0$, the fraction carries the sign of $D$). A number that is $\geq 0$ cannot equal a negative number, so no real $x$ satisfies the equation. $\blacksquare$

Grading. The transformation to completed-square form, the contrast "a square is $\geq 0$" versus "the right side is $< 0$," and the concluding contradiction. Warming up with a concrete example (say $x^2+1=0$) is fine, but the general argument must be present.

두 근을 $p$, $q$라 하면 합도 곱도 $n$이다 — 즉 $p + q = pq$.

Calling the roots $p$ and $q$, their sum and their product are both $n$ — so $p + q = pq$.

두 근을 양의 정수 $p$, $q$라 하면 근과 계수의 관계에서

정리하면 $pq - p - q + 1 = 1$, 즉

$p-1$, $q-1$은 $0$ 이상의 정수이고 곱이 $1$이므로 둘 다 $1$이어야 한다: $p = q = 2$. 따라서

검산: $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 = 0$ — 중근 $2$, 과연 양의 정수다 ✓. "합 = 곱"이라는 조건을 $(p-1)(q-1)$로 접는 한 수가 문제 전체를 무너뜨린다 — U5의 인수분해가 정수론 문제의 열쇠가 되는 전형적인 장면이다.

Let the roots be positive integers $p$ and $q$. The root–coefficient relations give

Rearranging, $pq - p - q + 1 = 1$, that is,

Both $p-1$ and $q-1$ are integers $\geq 0$ with product $1$, so each must be $1$: $p = q = 2$. Hence

Check: $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 = 0$ — the repeated root $2$, indeed a positive integer ✓. Folding the condition "sum equals product" into $(p-1)(q-1)$ collapses the whole problem — a classic instance of Unit 5 factoring unlocking a number-theory question.