ax² + bx + c의 인수분해Factoring ax² + bx + c

앞 두 항에서 $x$를, 뒤 두 항에서 $2$를 묶는다:

같은 괄호 $(y+3)$이 나왔으므로 성공이다. 검산($x=1, y=1$): 원식 $1+3+2+6 = 12$, 결과 $3 \times 4 = 12$ ✓.

Pull $x$ from the first pair and $2$ from the second:

The same parenthesis $(y+3)$ appeared — success. Check at $x=1, y=1$: original $1+3+2+6 = 12$; result $3 \times 4 = 12$ ✓.

$ac = 6$, 합 $5$ — 쌍 $(2, 3)$. 가운데를 쪼개 묶는다:

검산(전개): $2x^2 + 2x + 3x + 3 = 2x^2 + 5x + 3$ ✓.

$ac = 6$, sum $5$ — the pair $(2, 3)$. Split the middle and group:

Check by expanding: $2x^2 + 2x + 3x + 3 = 2x^2 + 5x + 3$ ✓.

$ac = 24$, 합 $10$ — 쌍 $(4, 6)$:

십자 곱하기로도 확인된다: $3x \cdot 2 = 6x$, $x \cdot 4 = 4x$, 합 $10x$ ✓. 검산($x=1$): 원식 $3+10+8 = 21$, 결과 $7 \times 3 = 21$ ✓.

$ac = 24$, sum $10$ — the pair $(4, 6)$:

The cross method agrees: $3x \cdot 2 = 6x$ and $x \cdot 4 = 4x$ sum to $10x$ ✓. Check at $x=1$: original $3+10+8 = 21$; result $7 \times 3 = 21$ ✓.

$ac = 24$, 합 $-11$ — 둘 다 음수인 쌍 $(-3, -8)$:

뒤 묶음에서 $-2$를 묶어야 괄호가 일치한다. 검산(전개): $4x^2 - 8x - 3x + 6 = 4x^2 - 11x + 6$ ✓.

$ac = 24$, sum $-11$ — the all-negative pair $(-3, -8)$:

Pulling $-2$ from the second group is what makes the parentheses match. Check by expanding: $4x^2 - 8x - 3x + 6 = 4x^2 - 11x + 6$ ✓.

$ac = -72$. 곱이 $-72$이고 합이 $1$인 두 수 — 차가 $1$인 $72$의 약수 쌍을 찾아라.

$ac = -72$. You need product $-72$ and sum $1$ — hunt the factor pair of $72$ that differs by $1$.

$ac = -72$, 합 $1$ — 차가 $1$인 약수 쌍 $8 \times 9$에서 $(9, -8)$:

검산(전개): $6x^2 + 9x - 8x - 12 = 6x^2 + x - 12$ ✓.

$ac = -72$, sum $1$ — from the pair $8 \times 9$ differing by $1$, take $(9, -8)$:

Check by expanding: $6x^2 + 9x - 8x - 12 = 6x^2 + x - 12$ ✓.

계수 $12, 30, 12$의 공통인수부터.

The coefficients $12, 30, 12$ share a factor — start there.

공통인수 $6$을 먼저 묶는다:

괄호 안: $ac = 4$, 합 $-5$ — 쌍 $(-1, -4)$:

따라서 $6(2x-1)(x-2)$. 검산($x=1$): 원식 $12-30+12 = -6$, 결과 $6 \times 1 \times (-1) = -6$ ✓.

Pull out the common $6$ first:

Inside: $ac = 4$, sum $-5$ — the pair $(-1, -4)$:

So $6(2x-1)(x-2)$. Check at $x=1$: original $12-30+12 = -6$; result $6 \times 1 \times (-1) = -6$ ✓.

최고차항이 음수다 — $-1$부터 묶어라.

The leading term is negative — pull out $-1$ first.

$-1$을 먼저 묶으면(모든 항의 부호가 바뀐다):

괄호 안: $ac = -6$, 합 $-5$ — 쌍 $(-6, 1)$:

따라서 $-(2x+1)(x-3)$. 검산($x=1$): 원식 $-2+5+3 = 6$, 결과 $-(3)(-2) = 6$ ✓.

Pull out $-1$ first (every sign flips):

Inside: $ac = -6$, sum $-5$ — the pair $(-6, 1)$:

So $-(2x+1)(x-3)$. Check at $x=1$: original $-2+5+3 = 6$; result $-(3)(-2) = 6$ ✓.

$y$를 상수처럼 보면 $ac = 2 \cdot 3y^2 = 6y^2$, 합은 $7y$다.

Treat $y$ as a constant: then $ac = 2 \cdot 3y^2 = 6y^2$ and the sum is $7y$.

$y$를 상수 취급하면 곱이 $6y^2$, 합이 $7y$인 두 항 — $(y, 6y)$다:

검산($x=1, y=1$): 원식 $2+7+3 = 12$, 결과 $3 \times 4 = 12$ ✓. 문자가 둘이어도 방법은 그대로다.

Treating $y$ as a constant, we need product $6y^2$ and sum $7y$ — the pair $(y, 6y)$:

Check at $x=1, y=1$: original $2+7+3 = 12$; result $3 \times 4 = 12$ ✓. A second variable changes nothing about the method.

$ac = -120$. 차가 $7$인 $120$의 약수 쌍을 찾아라.

$ac = -120$. Find the factor pair of $120$ that differs by $7$.

$ac = -120$, 합 $-7$ — 차가 $7$인 쌍 $8 \times 15$에서 $(8, -15)$:

검산(전개): $6x^2 - 15x + 8x - 20 = 6x^2 - 7x - 20$ ✓.

$ac = -120$, sum $-7$ — from the pair $8 \times 15$ differing by $7$, take $(8, -15)$:

Check by expanding: $6x^2 - 15x + 8x - 20 = 6x^2 - 7x - 20$ ✓.

$(2x+m)(x+n)$을 전개해 $b$를 $m$, $n$으로 나타내라. $mn$은 얼마여야 하는가?

Expand $(2x+m)(x+n)$ and express $b$ in terms of $m$ and $n$. What must $mn$ equal?

전개하면 $(2x+m)(x+n) = 2x^2 + (2n+m)x + mn$이므로 $mn = 6$, $b = 2n+m$이다. $mn = 6$인 정수 쌍을 나열해 $b$를 계산한다. $b > 0$이려면 $m, n$ 모두 양수여야 한다(둘 다 음수면 $b < 0$):

따라서 $b = 7, 8, 13$의 세 값이다. 검산: $b=7$이면 $(2x+3)(x+2) = 2x^2+7x+6$ ✓, $b=13$이면 $(2x+1)(x+6) = 2x^2+13x+6$ ✓, $b=8$은 $(2x+2)(x+3) = 2x^2+8x+6$ ✓. ($m, n$의 배치가 달라도 같은 $b$가 나올 수 있다 — 값의 집합으로 답한다.)

Expanding, $(2x+m)(x+n) = 2x^2 + (2n+m)x + mn$, so $mn = 6$ and $b = 2n+m$. List the integer pairs with $mn = 6$ and compute $b$. For $b > 0$ both must be positive (two negatives give $b < 0$):

So $b$ can be $7, 8, 13$. Check: $b=7$: $(2x+3)(x+2) = 2x^2+7x+6$ ✓; $b=13$: $(2x+1)(x+6) = 2x^2+13x+6$ ✓; $b=8$: $(2x+2)(x+3) = 2x^2+8x+6$ ✓. (Different placements can produce the same $b$ — the answer is the set of values.)

$ac = 60$, 합 $19$ — 쌍 $(4, 15)$:

두 변은 $2x+5$와 $3x+2$다. 검산($x=1$): 넓이 $6+19+10 = 35$, 변의 곱 $7 \times 5 = 35$ ✓.

$ac = 60$, sum $19$ — the pair $(4, 15)$:

The sides are $2x+5$ and $3x+2$. Check at $x=1$: area $6+19+10 = 35$; product of sides $7 \times 5 = 35$ ✓.

먼저 인수분해하라. 두 인수의 크기를 $n \geq 1$에서 가늠해 보라.

Factor first. Then bound the sizes of the two factors for $n \geq 1$.

인수분해하면 ($ac = 6$, 합 $7$ — 쌍 $(1, 6)$):

$n \geq 1$이면 $2n+1 \geq 3$이고 $n+3 \geq 4$ — 두 인수 모두 $2$ 이상이므로 곱은 언제나 합성수다. 곱이 소수가 되려면 한 인수가 $1$이어야 하는데, $2n+1 = 1$은 $n = 0$, $n+3 = 1$은 $n = -2$로 둘 다 자연수가 아니다.

따라서 답: 그런 $n$은 없다. 확인 삼아 $n = 1$: $2+7+3 = 12 = 3 \times 4$ ✓ 합성수. "없다"도 완전한 답이다 — 근거(두 인수가 항상 $2$ 이상)까지 말할 수 있으면 된다.

Factoring ($ac = 6$, sum $7$ — the pair $(1, 6)$):

For $n \geq 1$ we have $2n+1 \geq 3$ and $n+3 \geq 4$ — both factors are at least $2$, so the product is always composite. For a product to be prime one factor must equal $1$, but $2n+1 = 1$ gives $n = 0$ and $n+3 = 1$ gives $n = -2$, neither a natural number.

So the answer: no such $n$ exists. As a spot check, $n = 1$: $2+7+3 = 12 = 3 \times 4$ ✓ composite. "None" is a complete answer — as long as you can give the reason (both factors always exceed $1$).