근호 방정식Radical Equations

양변을 제곱하면 $x = 36$.

검산: $\sqrt{36} = 6$ ✓.

Square both sides: $x = 36$.

Check: $\sqrt{36} = 6$ ✓.

제곱하면 $x - 1 = 16$, 즉 $x = 17$.

검산: $\sqrt{17-1} = \sqrt{16} = 4$ ✓.

Squaring gives $x - 1 = 16$, so $x = 17$.

Check: $\sqrt{17-1} = \sqrt{16} = 4$ ✓.

근호를 고립하면 $\sqrt x = -2$. 제곱근은 음이 아니므로 이 등식을 만족하는 $x$는 없다 — 제곱할 필요도 없이 여기서 끝난다.

(무리하게 제곱하면 $x = 4$가 나오지만, 대입하면 $\sqrt4 + 5 = 7 \neq 3$ — 무연근이다. 고립 직후 우변 부호부터 보는 습관이 헛계산을 아낀다.)

Isolating gives $\sqrt x = -2$. A square root is never negative, so no $x$ satisfies this — the problem ends here, no squaring required.

(Squaring anyway produces $x = 4$, but substituting gives $\sqrt4 + 5 = 7 \neq 3$ — extraneous. Glancing at the right side's sign immediately after isolating saves the wasted work.)

양변을 $2$로 나눠 고립: $\sqrt x = 5$, 제곱하면 $x = 25$.

검산: $2\sqrt{25} = 2 \cdot 5 = 10$ ✓.

Divide by $2$ to isolate: $\sqrt x = 5$; squaring gives $x = 25$.

Check: $2\sqrt{25} = 2 \cdot 5 = 10$ ✓.

제곱하면 $3x + 1 = 25$, 즉 $x = 8$.

검산: $\sqrt{24+1} = \sqrt{25} = 5$ ✓.

Squaring gives $3x + 1 = 25$, so $x = 8$.

Check: $\sqrt{24+1} = \sqrt{25} = 5$ ✓.

제곱하면

후보는 $x = 2$와 $x = -3$. 원래 방정식에 대입:

• $x = 2$: $\sqrt9 = 3 = 2+1$ ✓
• $x = -3$: 좌변 $\sqrt4 = 2$, 우변 $-3+1 = -2$ ✗ 무연근

답은 $x = 2$.

Squaring,

giving candidates $x = 2$ and $x = -3$. Substitute into the original:

• $x = 2$: $\sqrt9 = 3 = 2+1$ ✓
• $x = -3$: left side $\sqrt4 = 2$, right side $-3+1 = -2$ ✗ extraneous

The answer is $x = 2$.

고립부터: $\sqrt{2x+3} = 3$. 제곱하면 $2x + 3 = 9$, 즉 $x = 3$.

검산: $\sqrt{9} - 1 = 3 - 1 = 2$ ✓.

Isolate first: $\sqrt{2x+3} = 3$. Squaring gives $2x + 3 = 9$, so $x = 3$.

Check: $\sqrt{9} - 1 = 3 - 1 = 2$ ✓.

제곱하면

후보는 $x = 3$과 $x = -2$. 대입:

• $x = 3$: $3 = \sqrt9$ ✓
• $x = -2$: 좌변 $-2$, 우변 $\sqrt4 = 2$ ✗ 무연근 (좌변이 음수인데 우변은 근호 — 성립할 수 없다)

답은 $x = 3$.

Squaring,

candidates $x = 3$ and $x = -2$. Substitute:

• $x = 3$: $3 = \sqrt9$ ✓
• $x = -2$: left side $-2$, right side $\sqrt4 = 2$ ✗ extraneous (a negative left side can never equal a radical)

The answer is $x = 3$.

양변 모두 근호 하나뿐이므로 바로 제곱한다:

검산: $\sqrt{19} = \sqrt{19}$ ✓ (양변 모두 근호 안이 $19 > 0$으로 정의됨 ✓).

With a single radical on each side, square directly:

Check: $\sqrt{19} = \sqrt{19}$ ✓ (and both radicands equal $19 > 0$, well defined ✓).

고립 후 제곱하면 이차방정식이 나온다 — 해가 무리수여도 검산 방법은 있다.

Isolate, square, and a quadratic appears — and there is a way to check even irrational candidates.

고립: $\sqrt{2x-3} = x - 2$. 제곱:

두 후보를 거른다. 원래 방정식이 성립하려면 $\sqrt{2x-3} = x-2 \geq 0$, 즉 $x \geq 2$가 필요하다.

• $x = 3+\sqrt2 \approx 4.41$: $x - 2 = 1+\sqrt2 > 0$이고, $(x-2)^2 = (1+\sqrt2)^2 = 3+2\sqrt2$인데 $2x - 3 = 3+2\sqrt2$로 정확히 일치 ✓ — 즉 $\sqrt{2x-3} = x-2$ 성립.
• $x = 3-\sqrt2 \approx 1.59$: $x - 2 = 1-\sqrt2 < 0$ — 근호가 음수와 같을 수 없다 ✗ 무연근.

답은 $x = 3 + \sqrt2$.

Isolate: $\sqrt{2x-3} = x - 2$. Square:

Filter the candidates. The original requires $\sqrt{2x-3} = x-2 \geq 0$, i.e. $x \geq 2$.

• $x = 3+\sqrt2 \approx 4.41$: here $x - 2 = 1+\sqrt2 > 0$, and $(x-2)^2 = (1+\sqrt2)^2 = 3+2\sqrt2$ while $2x - 3 = 3+2\sqrt2$ — an exact match ✓, so $\sqrt{2x-3} = x-2$ holds.
• $x = 3-\sqrt2 \approx 1.59$: here $x - 2 = 1-\sqrt2 < 0$ — a radical cannot equal a negative ✗ extraneous.

The answer is $x = 3 + \sqrt2$.

음수 후보라고 반사적으로 버리지 마라 — 판정하는 것은 검산이다.

Don't reflexively discard a negative candidate — the check is what decides.

제곱하면

후보는 $x = -1$과 $x = -6$. 대입:

• $x = -1$: 좌변 $\sqrt9 = 3$, 우변 $-1+4 = 3$ ✓ — 음수 해지만 진짜다
• $x = -6$: 좌변 $\sqrt4 = 2$, 우변 $-6+4 = -2$ ✗ 무연근

답은 $x = -1$. "음수면 버린다"는 규칙이 아니다 — 길이 문제라면 조건이 거르지만, 여기서는 검산만이 판정한다.

Squaring,

candidates $x = -1$ and $x = -6$. Substitute:

• $x = -1$: left side $\sqrt9 = 3$, right side $-1+4 = 3$ ✓ — negative, and genuine
• $x = -6$: left side $\sqrt4 = 2$, right side $-6+4 = -2$ ✗ extraneous

The answer is $x = -1$. "Discard negatives" is not a rule — in a length problem the conditions filter, but here only the check decides.

$a^2 = b^2$을 이항해 인수분해하면 역이 실패하는 지점이 정확히 보인다.

Move everything to one side of $a^2 = b^2$ and factor — the exact failure point of the converse becomes visible.

순방향. $a = b$이면 양변에 같은 수를 곱한 $a \cdot a = b \cdot b$, 즉 $a^2 = b^2$ — 항상 참이다.

역방향의 실패. $a^2 = b^2$을 이항해 인수분해하면

즉 제곱이 같다는 것은 "같다"가 아니라 "같거나 부호만 다르다"까지만 보장한다. 반례: $(-3)^2 = 3^2$이지만 $-3 \neq 3$.

무연근과의 연결. 근호 방정식 $\sqrt{f(x)} = g(x)$의 양변을 제곱한 방정식 $f(x) = g(x)^2$은, 위 논리에 따라 $\sqrt{f(x)} = g(x)$의 해와 $\sqrt{f(x)} = -g(x)$의 해를 모두 담는다. 뒤쪽에서 온 해가 무연근이다 — 그래서 제곱 후의 해는 후보일 뿐이고, 원래 방정식 대입으로 어느 쪽 출신인지 가려야 한다.

채점 기준. 순방향 정당화, 역방향 반례(또는 $(a-b)(a+b)=0$ 분석), 그리고 "제곱한 방정식 = 두 방정식의 합집합"이라는 연결. 세 요소가 논리적으로 이어져 있으면 만점.

Forward. If $a = b$, multiplying equal numbers by equal numbers gives $a \cdot a = b \cdot b$, i.e. $a^2 = b^2$ — always true.

Failure of the converse. Rearranging and factoring $a^2 = b^2$:

Equal squares guarantee only "equal or opposite in sign." Counterexample: $(-3)^2 = 3^2$ yet $-3 \neq 3$.

The link to phantoms. Squaring the radical equation $\sqrt{f(x)} = g(x)$ yields $f(x) = g(x)^2$, which by the argument above holds the solutions of $\sqrt{f(x)} = g(x)$ and those of $\sqrt{f(x)} = -g(x)$, combined. Solutions arriving from the second equation are the extraneous ones — which is why post-squaring solutions are mere candidates until substitution into the original sorts out which equation each came from.

Grading. The forward justification, a counterexample (or the $(a-b)(a+b)=0$ analysis) for the converse, and the connection "the squared equation is the union of two equations." Full credit for any write-up that links the three logically.

근호가 둘이면 제곱도 두 번 — 한 번 제곱한 뒤 남은 근호를 다시 고립하라.

Two radicals means two rounds of squaring — after the first, isolate the surviving radical.

근호 하나를 고립하고 제곱한다. $\sqrt{x+4} = 5 - \sqrt{x-1}$에서

한 번 더 제곱하면 $x - 1 = 4$, 즉 $x = 5$.

검산: $\sqrt4 + \sqrt9 = 2 + 3 = 5$ ✓. 좌변은 $x$가 커질수록 커지는(두 근호 모두 증가) 식이므로 해는 이 하나뿐이라는 것도 덤으로 알 수 있다 — 증가하는 식은 같은 값을 두 번 갖지 않는다.

Isolate one radical and square. From $\sqrt{x+4} = 5 - \sqrt{x-1}$,

Squaring once more: $x - 1 = 4$, so $x = 5$.

Check: $\sqrt4 + \sqrt9 = 2 + 3 = 5$ ✓. As a bonus, the left side grows as $x$ grows (both radicals increase), so this solution is the only one — an increasing expression never takes the same value twice.