0과 음의 지수Zero & Negative Exponents

$5^0 = 1$이고 $2^{-2} = \dfrac{1}{2^2} = \dfrac{1}{4}$이므로

$5^0$을 0으로, $2^{-2}$를 $-4$로 읽는 것이 이 문제가 깔아 둔 두 함정이다.

$5^0 = 1$ and $2^{-2} = \dfrac{1}{2^2} = \dfrac{1}{4}$, so

Reading $5^0$ as 0, or $2^{-2}$ as $-4$ — those are the two traps this problem lays out.

10의 음의 거듭제곱은 소수점 아래 자릿수를 만든다 — 과학적 표기법에서 작은 수를 담당하는 이유다.

Negative powers of 10 generate decimal places — exactly why they carry the small numbers in scientific notation.

법칙 1은 음의 지수에서도 그대로다: $x^{-4+7} = x^3$.

정의로 확인: $\dfrac{1}{x^4} \cdot x^7 = \dfrac{x^7}{x^4} = x^3$ — 약분해도 같은 답이다.

Law 1 holds with negatives: $x^{-4+7} = x^3$.

Confirm from the definition: $\dfrac{1}{x^4} \cdot x^7 = \dfrac{x^7}{x^4} = x^3$ — cancellation agrees.

소수점을 왼쪽으로 6칸 옮기면 $3.4$가 되므로

검산: $3.4 \times 10^6 = 3.4 \times 1{,}000{,}000 = 3{,}400{,}000$ ✓. 앞수는 $1 \leq a < 10$ — $34 \times 10^5$는 값은 같지만 표기법 규칙에 어긋난다.

Moving the decimal point 6 places left gives $3.4$, so

Check: $3.4 \times 10^6 = 3.4 \times 1{,}000{,}000 = 3{,}400{,}000$ ✓. The front number must satisfy $1 \leq a < 10$ — $34 \times 10^5$ has the right value but breaks the format.

법칙 2로 $(2^{-3})^2 = 2^{-6} = \dfrac{1}{2^6} = \dfrac{1}{64}$.

다른 길로 검산: $2^{-3} = \frac{1}{8}$이고 $\left(\frac{1}{8}\right)^2 = \frac{1}{64}$ ✓.

By Law 2, $(2^{-3})^2 = 2^{-6} = \dfrac{1}{2^6} = \dfrac{1}{64}$.

Check by the other route: $2^{-3} = \frac{1}{8}$, and $\left(\frac{1}{8}\right)^2 = \frac{1}{64}$ ✓.

음의 지수는 밑을 뒤집는다:

검산(정의대로): $\dfrac{1}{(3/5)^2} = \dfrac{1}{9/25} = \dfrac{25}{9}$ ✓. 답이 1보다 커진 것도 자연스럽다 — 1보다 작은 수의 역수는 1보다 크다.

A negative exponent flips the base:

Check from the definition: $\dfrac{1}{(3/5)^2} = \dfrac{1}{9/25} = \dfrac{25}{9}$ ✓. That the answer exceeds 1 makes sense — reciprocals of numbers below 1 land above 1.

지수의 뺄셈을 문자별로:

검산($a = 1, b = 2$): 원식 $\dfrac{1 \cdot \frac{1}{4}}{1 \cdot 2} = \dfrac{1}{8}$, 정리식 $\dfrac{1}{8}$ ✓. $3 - (-1) = 4$의 부호 처리가 이 문제의 급소다.

Subtract exponents letter by letter:

Check at $a = 1, b = 2$: original $\dfrac{1 \cdot \frac{1}{4}}{1 \cdot 2} = \dfrac{1}{8}$; simplified $\dfrac{1}{8}$ ✓. The sign step $3 - (-1) = 4$ is the problem's pressure point.

소수점을 오른쪽으로 4칸 옮기면 $7.2$가 되므로

검산: $7.2 \times 10^{-4} = 7.2 \div 10000 = 0.00072$ ✓. 1보다 작은 수는 음의 지수 — 옮긴 칸수와 지수의 절댓값이 같다.

Moving the decimal point 4 places right gives $7.2$, so

Check: $7.2 \times 10^{-4} = 7.2 \div 10000 = 0.00072$ ✓. Numbers below 1 take negative exponents — the exponent's size equals the number of places moved.

수끼리, 10의 거듭제곱끼리:

앞수 12가 10을 넘으므로 정규화한다: $12 = 1.2 \times 10$이므로

검산: $4 \times 10^7 = 40{,}000{,}000$이고 $\times 0.03$은 $1{,}200{,}000 = 1.2 \times 10^6$ ✓. 정규화까지가 답이다 — $12 \times 10^5$에서 멈추면 표기법 위반.

Numbers with numbers, powers with powers:

The front number 12 exceeds 10, so normalize: $12 = 1.2 \times 10$, hence

Check: $4 \times 10^7 = 40{,}000{,}000$, times $0.03$ gives $1{,}200{,}000 = 1.2 \times 10^6$ ✓. Normalizing is part of the answer — stopping at $12 \times 10^5$ breaks the format.

각 항을 분수로 바꾸고 분모 8로 통분한다:

관찰 하나: 답이 $1 - \dfrac{1}{8}$이다. 케이크의 절반, 남은 것의 절반, 또 그 절반을 먹으면 남는 것은 마지막 조각 $\frac{1}{8}$ 하나 — 이 합이 $1 - 2^{-n}$ 꼴이 되는 구조는 수열 단원에서 다시 만난다.

Convert each term and use denominator 8:

One observation: the answer is $1 - \dfrac{1}{8}$. Eat half a cake, then half of what's left, then half again — what remains is the last piece, $\frac{1}{8}$. Sums landing at $1 - 2^{-n}$ return in the sequences unit.

우변도 2의 거듭제곱으로 쓸 수 있다 — 음의 지수로.

The right side is also a power of 2 — with a negative exponent.

우변을 2의 거듭제곱으로: $\dfrac{1}{16} = \dfrac{1}{2^4} = 2^{-4}$. 따라서

밑이 같으므로 지수가 같다: $x - 3 = -4$, 즉 $x = -1$이다.

검산: $2^{-1-3} = 2^{-4} = \dfrac{1}{16}$ ✓.

음의 지수 덕분에 "거듭제곱 = 분수" 방정식도 지수 비교 한 방으로 풀린다 — 지난 차시 문제 9의 확장판이다.

Write the right side as a power of 2: $\dfrac{1}{16} = \dfrac{1}{2^4} = 2^{-4}$. Then

and equal bases force equal exponents: $x - 3 = -4$, so $x = -1$.

Check: $2^{-1-3} = 2^{-4} = \dfrac{1}{16}$ ✓.

Negative exponents let "power = fraction" equations fall to the same compare-the-exponents move — the extension of last lesson's Problem 9.

역수를 취하면 부등호는 어떻게 되는가? 양수 $a < b$일 때 $\frac{1}{a}$와 $\frac{1}{b}$를 비교해 보라.

What happens to an inequality when you take reciprocals? Compare $\frac{1}{a}$ and $\frac{1}{b}$ for positive $a < b$.

지난 차시의 결과: $2^{30} < 3^{20}$ (둘 다 $8^{10}$과 $9^{10}$으로 묶어 비교).

양수에서 역수를 취하면 크기가 뒤집힌다 — $a < b$이면 $\dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}$ (예: $2 < 3$이지만 $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$). 따라서

$2^{-30}$이 더 크다.

직관으로도: 둘 다 1보다 작은 수인데, 원래 수가 작을수록 그 역수는 덜 작다(0에 덜 가깝다). "큰 수의 역수가 더 작다"는 뒤집기 감각은 부등식 단원에서 익힌 음수 곱하기의 사촌이다.

From last lesson: $2^{30} < 3^{20}$ (both bundled into $8^{10}$ versus $9^{10}$).

Taking reciprocals of positive numbers flips the comparison — if $a < b$ then $\dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}$ (as $2 < 3$ but $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$). Therefore

$2^{-30}$ is larger.

Intuitively: both are small numbers, and the smaller original has the less-small reciprocal — it sits farther from 0. This flip-on-reciprocal instinct is a cousin of the flip-on-negative-multiplication rule from the inequalities unit.

시간 = 거리 ÷ 속력. 나눗셈에서 앞수끼리, 10의 거듭제곱끼리 나누면 된다.

Time = distance ÷ speed. Divide front numbers by front numbers, powers of 10 by powers of 10.

시간은 거리 나누기 속력:

정규화하면 $5 \times 10^2 = 500$초. 분으로 바꾸면 $500 = 480 + 20$이므로 8분 20초다.

검산: $500$초 동안 빛은 $500 \times 3 \times 10^5 = 1.5 \times 10^8$ km를 간다 ✓.

지금 보는 햇빛은 8분 20초 전의 태양이다 — 과학적 표기법은 이런 계산을 종이 한 줄로 만든다. 나눗셈에서도 "앞수끼리, 지수끼리"라는 같은 원리가 통했고, $0.5$처럼 앞수가 1 아래로 내려가면 정규화 방향이 반대(지수를 하나 내림)라는 것까지 챙기면 완벽하다.

Time is distance over speed:

Normalizing gives $5 \times 10^2 = 500$ seconds. In minutes: $500 = 480 + 20$, so 8 minutes 20 seconds.

Check: in 500 seconds light covers $500 \times 3 \times 10^5 = 1.5 \times 10^8$ km ✓.

The sunlight you see left the Sun 8 minutes 20 seconds ago — and scientific notation turns that computation into one written line. Division ran on the same principle (fronts with fronts, exponents with exponents), with one finishing touch: when the front number dips below 1, like $0.5$, normalization goes the other way — the exponent steps down by one.