등차수열Arithmetic Sequences

이웃 차를 확인한다: $9-5 = 13-9 = 17-13 = 4$ — 공차 $d = 4$. 다음 항은 $17+4 = 21$, 그다음은 $25$.

Check neighbor differences: $9-5 = 13-9 = 17-13 = 4$ — so $d = 4$. The next terms are $17+4 = 21$ and then $25$.

검산: $a_1 = 3$ ✓, $a_3 = 13$인데 실제로 $3, 8, 13$ ✓.

Check: $a_1 = 3$ ✓, and $a_3 = 13$ matches the actual run $3, 8, 13$ ✓.

$a_1 = 2$, $d = 7$이므로

$99$번 더하는 것이 아니라 $(n-1) = 99$를 곱한다 — 일반항이 덧셈 아흔아홉 번을 곱셈 한 번으로 바꾼다.

With $a_1 = 2$ and $d = 7$,

Not ninety-nine additions but one multiplication by $(n-1) = 99$ — the general term trades the marathon for a single step.

첫째항 $1$, 끝항 $50$, 항수 $50$:

짝짓기 검산: $1+50 = 51$이 $25$쌍 — $25 \cdot 51 = 1275$ ✓.

First term $1$, last term $50$, fifty terms:

Pairing check: $1+50 = 51$, twenty-five pairs — $25 \cdot 51 = 1275$ ✓.

$a_1 = 4$, $d = 7$이므로 $a_n = 4 + (n-1) \cdot 7 = 7n - 3$. 방정식을 세운다:

검산: $a_{29} = 7 \cdot 29 - 3 = 203 - 3 = 200$ ✓. ($n$이 자연수로 떨어졌기에 $200$이 실제로 이 수열의 항이다 — 분수가 나오면 "항이 아니다"가 답이 된다.)

With $a_1 = 4$ and $d = 7$: $a_n = 4 + (n-1) \cdot 7 = 7n - 3$. Set up the equation:

Check: $a_{29} = 7 \cdot 29 - 3 = 200$ ✓. (The count came out a natural number, so $200$ genuinely is a term — a fractional $n$ would mean "not a term at all.")

$a_5$에서 $a_{12}$까지 걸음이 몇 번인가?

How many steps from $a_5$ to $a_{12}$?

$a_5$에서 $a_{12}$까지는 $12 - 5 = 7$걸음이므로

$a_1 = a_5 - 4d = 22 - 20 = 2$이고

검산: $a_{12} = 60 - 3 = 57$ ✓. 두 항의 차를 걸음 수로 나누는 것 — 두 점으로 기울기를 구하던 그 계산이다.

From $a_5$ to $a_{12}$ is $12 - 5 = 7$ steps, so

Then $a_1 = a_5 - 4d = 22 - 20 = 2$ and

Check: $a_{12} = 60 - 3 = 57$ ✓. Dividing the difference of two terms by the number of steps — the very computation that found slope from two points.

$a_1 = 6$, $d = 4$이므로 $a_n = 4n + 2$. 끝항에서 항수를 센다: $4n + 2 = 86 \implies n = 21$. 합은

검산(평균 관점): 첫·끝의 평균 $46$이 항 $21$개에 곱해졌다 — $46 \cdot 21 = 966$ ✓.

With $a_1 = 6$ and $d = 4$: $a_n = 4n + 2$. Count the terms from the last one: $4n + 2 = 86 \implies n = 21$. The sum is

Check via the average view: the mean of first and last, $46$, times $21$ terms — $46 \cdot 21 = 966$ ✓.

줄별 좌석 수는 $a_1 = 14$, $d = 3$인 등차수열이다:

전체는 합으로:

검산: 평균 좌석 수 $\frac{14+71}{2} = 42.5$석 × $20$줄 = $850$ ✓.

The row sizes form an arithmetic sequence with $a_1 = 14$, $d = 3$:

The total is the sum:

Check: average row size $\frac{14+71}{2} = 42.5$ times $20$ rows $= 850$ ✓.

이웃 차를 일반적으로 계산한다:

$n$과 무관하게 늘 $4$ — 등차의 정의를 만족한다. 첫째항은 $a_1 = 5$.

일반항이 $n$의 일차식이면 언제나 등차수열이고, $n$의 계수가 곧 공차다 — 기울기와 공차가 같은 것이라는 그래프 관찰의 대수 버전이다.

Compute the neighbor difference in general:

Always $4$, independent of $n$ — the definition of arithmetic is met. The first term is $a_1 = 5$.

Any general term linear in $n$ gives an arithmetic sequence, with the coefficient of $n$ as the common difference — the algebraic version of the graph observation that slope and common difference are one thing.

$7$이 첫째항, $31$이 일곱째 항이다 — 걸음은 몇 번인가?

Here $7$ is the first term and $31$ the seventh — how many steps apart?

$a_1 = 7$, $a_7 = 31$이고 그 사이 걸음은 $6$번:

따라서 사이의 다섯 수는 $11, 15, 19, 23, 27$이다. 검산: $27 + 4 = 31$ ✓, 일곱 수의 이웃 차가 전부 $4$ ✓.

With $a_1 = 7$ and $a_7 = 31$, the gap spans $6$ steps:

So the five inserted numbers are $11, 15, 19, 23, 27$. Check: $27 + 4 = 31$ ✓, and all neighbor differences equal $4$ ✓.

합 공식을 쓰면 $n$에 대한 이차방정식이 된다.

The sum formula turns this into a quadratic in $n$.

합 공식으로

연속한 두 자연수의 곱이 $420$ — $20^2 = 400$ 근처를 어림하면 $20 \cdot 21 = 420$ ✓, 즉 $n = 20$. (이차방정식으로 풀어도 같다: $n^2 + n - 420 = 0 \implies (n-20)(n+21) = 0$, 자연수 조건으로 $n = 20$.)

검산: $S_{20} = \frac{20 \cdot 21}{2} = 210$ ✓.

By the sum formula,

A product of consecutive naturals equal to $420$ — estimating near $20^2 = 400$ finds $20 \cdot 21 = 420$ ✓, so $n = 20$. (The quadratic route agrees: $n^2 + n - 420 = 0 \implies (n-20)(n+21) = 0$, and the natural-number condition keeps $n = 20$.)

Check: $S_{20} = \frac{20 \cdot 21}{2} = 210$ ✓.

세 수를 $a-d$, $a$, $a+d$로 놓으면 합에서 $d$가 사라진다.

Writing them as $a-d$, $a$, $a+d$ makes $d$ vanish from the sum.

등차인 세 수를 $a-d$, $a$, $a+d$로 놓는다. 합에서

— $d$가 상쇄되며 가운데 수가 즉시 나온다. 곱에서

어느 부호든 세 수는 $7, 9, 11$이다(순서만 뒤집힘). 검산: $7+9+11 = 27$ ✓, $7 \cdot 9 \cdot 11 = 693$ ✓. 대칭꼴 $a-d, a, a+d$가 합차 공식($81 - d^2$)까지 불러온다 — 설정 한 수가 계산 전체를 줄인다.

Write the three as $a-d$, $a$, $a+d$. The sum gives

— the $d$'s cancel and the middle number falls out at once. The product gives

Either sign yields the numbers $7, 9, 11$ (merely reversed). Check: $7+9+11 = 27$ ✓ and $7 \cdot 9 \cdot 11 = 693$ ✓. The symmetric setup even summons the difference of squares ($81 - d^2$) — one choice of notation shrinks the whole computation.

두 쌍의 번호 합을 비교하라: $3+8$과 $1+10$.

Compare the index sums of the two pairs: $3+8$ and $1+10$.

일반항으로 두 합을 전개한다:

똑같다! 따라서 $a_1 + a_{10} = 25$ — $a_1$과 $d$를 알 필요가 없다.

일반화하면: 번호의 합이 같은 두 쌍은 항의 합도 같다($i + j = k + l$이면 $a_i + a_j = a_k + a_l$ — 양쪽 다 $2a_1 + (i+j-2)d$). 가우스 짝짓기에서 양 끝 쌍들의 합이 전부 같았던 바로 그 이유다.

Expand both sums with the general term:

Identical! So $a_1 + a_{10} = 25$ — no need to know $a_1$ or $d$.

The general fact: pairs with equal index sums have equal term sums ($i + j = k + l$ forces $a_i + a_j = a_k + a_l$ — both equal $2a_1 + (i+j-2)d$). It is precisely why every end-to-end pair in Gauss's pairing carried the same total.