각의 쌍Angle Pairs

GeometryGeometry · 2. 각과 평행선2. Angles & Parallel Lines

학습 목표

각을 $\angle ABC$ 꼴로 정확히 이름 짓고, 각의 덧셈 공리와 이등분선을 쓸 수 있다.
여각·보각·선형쌍을 정의대로 판별하고, 방정식과 결합해 각을 구할 수 있다.
"같은 각의 보각(여각)은 서로 같다"를 증명하고 근거로 쓸 수 있다.
수직의 정의에서 네 각이 모두 직각임을 끌어낼 수 있다.

각, 정식으로

한 점에서 나온 두 반직선이 만드는 벌어짐이 각이다 — 공통의 시작점이 꼭짓점, 두 반직선이 변이다. 이제 이름 짓는 법을 약속하자. 변 위의 점 하나씩과 꼭짓점으로 $\angle ABC$ 처럼 쓰는데, 꼭짓점이 반드시 가운데다. 그래서 $\angle ABC$ 와 $\angle CBA$ 는 같은 각의 두 표기다 — 변 두 개는 그대로고 읽는 순서만 다르니까.

꼭짓점 B와 두 변 위의 점 A, C — 이 각의 이름이 ∠ABC다.

혼동될 각이 하나뿐이면 $\angle B$ 로 줄여 쓰고, 그림이 붐빌 때는 $\angle 1$ , $\angle 2$ 처럼 번호를 붙인다. 지난 차시의 관례도 이어 간다 — 등식 안의 $\angle ABC$ 는 그 각의 크기를 뜻한다.

각에도 선분의 덧셈과 똑같은 공리가 하나 필요하다. 반직선 $OC$ 가 $\angle AOB$ 의 내부에 있으면

\angle AOC + \angle COB = \angle AOB.

부분 둘이 전체를 채운다 — 각의 덧셈 공리다. 지난 차시 마지막 문제(겹친 두 직각)에서 이미 이 공리를 썼다. 선분에서 하던 계산이 각에서 그대로 통하는 이유가 이 평행한 공리 한 쌍이다.

OC가 ∠AOB 내부에 있으면 ∠AOC + ∠COB = ∠AOB.

예제 1 · 각의 덧셈 방정식

반직선 $OC$ 는 $\angle AOB$ 의 내부에 있고 $\angle AOC = 2x + 5$ , $\angle COB = 3x - 10$ , $\angle AOB = 80°$ 다. 두 각을 구하여라.

풀이. 각의 덧셈 공리로

(2x + 5) + (3x - 10) = 80 \implies 5x - 5 = 80 \implies x = 17.

따라서 $\angle AOC = 2(17) + 5 = 39°$ , $\angle COB = 3(17) - 10 = 41°$ .

검산: $39 + 41 = 80$ ✓.

선분에 중점이 있듯 각에는 이등분선이 있다 — 각의 내부를 지나며 각을 크기가 같은 두 각으로 나누는 반직선이다. $OC$ 가 $\angle AOB$ 의 이등분선이면 $\angle AOC = \angle COB = \tfrac12 \angle AOB$ — 중점의 $AM = MB = \tfrac12 AB$ 와 완전히 평행한 문장이고, 그림에서도 같은 속기(두 쪽에 같은 개수의 눈금)를 쓴다.

여각과 보각

합이 $90°$ 인 두 각은 서로 여각, 합이 $180°$ 인 두 각은 서로 보각이라 한다. 한자 그대로 — 직각을 채우고 남은(餘) 각, 평각을 보충하는(補) 각이다.

직각을 나누면 여각, 평각을 나누면 보각.

$62°$ 의 여각은 $90 - 62 = 28°$ , 보각은 $180 - 62 = 118°$ . 눈치챘겠지만 보각이 여각보다 정확히 $90°$ 크다 — 우연이 아니다:

(180 - x) - (90 - x) = 90.

$x$ 가 지워지므로 어느 각이든 보각과 여각의 차는 $90°$ 다. 문자 계산 한 줄이 무한히 많은 사례를 한꺼번에 처리했다.

주의할 것 하나 — 여각은 아무나 갖지 못한다. $90°$ 이상인 각은 $90$ 에서 빼면 남는 게 없으니 여각이 없다. 보각도 $180°$ 미만인 각의 전유물이다.

예제 2 · 보각 방정식

어떤 각의 보각이 그 각의 두 배일 때, 그 각을 구하여라.

풀이. 각을 $x$ 라 하면 보각은 $180 - x$ 이므로

180 - x = 2x \implies 180 = 3x \implies x = 60°.

검산: $60°$ 의 보각은 $120°$ — 과연 두 배다 ✓.

이웃각과 선형쌍

꼭짓점과 변 하나를 공유하고 내부가 겹치지 않는 두 각을 이웃각(인접각)이라 한다. 이웃각 중에서도 특별한 경우 — 공유하지 않는 두 변이 서로 반대 방향의 반직선(합쳐서 한 직선)이면 선형쌍이라 부른다. 선형쌍의 두 각은 함께 평각을 채우므로 자동으로 보각이다. 이 사실은 각의 덧셈 공리와 평각 $= 180°$ 에서 바로 나오며, 우리는 이것을 공리 수준의 상비 도구로 쓴다. 지난 차시 맞꼭지각 증명의 ①, ② 줄("두 각이 함께 평각을 이룸")이 바로 이 도구였다.

이름을 얻는 정리들

지난 차시에 문제로 증명해 둔 문장이 있다 — $\angle 1 + \angle 3 = 180°$ 이고 $\angle 2 + \angle 3 = 180°$ 이면 $\angle 1 = \angle 2$ . 이제 정식 이름을 붙이자.

같은 각의 보각 정리 — 같은 각의 보각인 두 각은 서로 같다. 크기가 같은 두 각의 보각끼리도 마찬가지다(논증이 한 글자도 달라지지 않는다). 여각 버전도 똑같이 성립한다 — 같은 각의 여각인 두 각은 서로 같다. 증명은 $180$ 을 $90$ 으로 바꾸면 끝이라, 연습 문제로 남겨 둔다(문제 8).

이 정리가 있으면 맞꼭지각 정리는 공짜가 된다. 두 직선이 만나 생긴 맞꼭지각 $\angle 1$ 과 $\angle 3$ 을 보라 — $\angle 1$ 은 $\angle 2$ 와 선형쌍이고, $\angle 3$ 도 같은 $\angle 2$ 와 선형쌍이다. 둘 다 같은 각 $\angle 2$ 의 보각이므로, 정리에 의해 $\angle 1 = \angle 3$ . 증명 끝.

지난 차시에는 등식 넉 줄로 직접 증명했고, 오늘은 정리 하나로 두 문장 만에 끝냈다. 같은 결론, 두 길 — 정리를 쌓을수록 다음 증명이 짧아진다. 이 과목이 앞으로 반복할 리듬이다.

수직

두 직선이 직각을 이루며 만나면 서로 수직이라 하고 $\ell \perp m$ 으로 쓴다. 정의는 직각 "하나"만 요구하지만, 하나면 넷이 다 따라온다:

직각 하나를 표시하면 나머지 셋은 따라온다.

직각 하나가 있다고 하자. 그 이웃각은 선형쌍이라 $180 - 90 = 90°$ — 역시 직각. 나머지 둘은 맞꼭지각 정리로 각각 $90°$ . 네 각 전부 직각이다. 방금 배운 도구 두 개(선형쌍, 맞꼭지각)가 벌써 일하는 모습이다.

참고

$90°$ 표시는 그림에서 작은 정사각형 모서리로 그린다 — 눈금 표시가 "같다"의 속기이듯, 정사각형 모서리는 "직각"의 속기다. 표시가 하나뿐이어도 방금의 논증 덕에 넷 모두 직각임을 아는 것이고, 그래서 그림에도 하나만 그린다.

Goals

Name angles precisely in the form $\angle ABC$ , and use the Angle Addition Postulate and angle bisectors.
Identify complementary angles, supplementary angles, and linear pairs by their definitions, and find angles with equations.
Prove and use "supplements (complements) of the same angle are equal."
Derive from the definition of perpendicular that all four angles are right angles.

Angles, officially

Two rays from a common point make an angle — the shared starting point is the vertex, the rays are the sides. Now for the naming agreement: write $\angle ABC$ , using one point from each side around the vertex, with the vertex always in the middle. That is why $\angle ABC$ and $\angle CBA$ are two spellings of one angle — same two sides, opposite reading order.

Vertex B and points A, C on the sides — this angle is named ∠ABC.

When only one angle could be meant, abbreviate to $\angle B$ ; when a figure gets crowded, number the angles $\angle 1$ , $\angle 2$ . Last lesson's convention also carries over — inside an equation, $\angle ABC$ stands for the angle's measure.

Angles need one postulate of their own, the exact twin of segment addition. If ray $OC$ lies in the interior of $\angle AOB$ , then

\angle AOC + \angle COB = \angle AOB.

Two parts fill the whole — the Angle Addition Postulate. Last lesson's final problem (the two overlapping right angles) was already running on it. This matching pair of postulates is why every calculation you did with segments works verbatim with angles.

If OC is interior to ∠AOB, then ∠AOC + ∠COB = ∠AOB.

Example 1 · An angle addition equation

Ray $OC$ lies inside $\angle AOB$ , with $\angle AOC = 2x + 5$ , $\angle COB = 3x - 10$ , and $\angle AOB = 80°$ . Find the two angles.

Solution. By the Angle Addition Postulate,

(2x + 5) + (3x - 10) = 80 \implies 5x - 5 = 80 \implies x = 17.

So $\angle AOC = 2(17) + 5 = 39°$ and $\angle COB = 3(17) - 10 = 41°$ .

Check: $39 + 41 = 80$ ✓.

Just as a segment has a midpoint, an angle has a bisector — a ray through the interior that cuts the angle into two equal angles. If $OC$ bisects $\angle AOB$ , then $\angle AOC = \angle COB = \tfrac12 \angle AOB$ — the exact parallel of the midpoint's $AM = MB = \tfrac12 AB$ , and drawings use the same shorthand (matching tick marks on the two halves).

Complementary and supplementary

Two angles summing to $90°$ are complementary; two summing to $180°$ are supplementary. A handy anchor: complementary–corner ( $90°$ ), supplementary–straight ( $180°$ ), and $c$ comes before $s$ just as $90$ comes before $180$ .

Split a right angle: complements. Split a straight angle: supplements.

The complement of $62°$ is $90 - 62 = 28°$ ; its supplement is $180 - 62 = 118°$ . Notice the supplement is exactly $90°$ bigger — no accident:

(180 - x) - (90 - x) = 90.

The $x$ cancels, so for every angle the supplement exceeds the complement by $90°$ . One line of algebra just handled infinitely many cases at once.

One caution — not every angle owns a complement. An angle of $90°$ or more leaves nothing when subtracted from $90$ , so it has no complement; likewise only angles under $180°$ have supplements.

Example 2 · A supplement equation

An angle's supplement is twice the angle. Find the angle.

Solution. Call the angle $x$ ; its supplement is $180 - x$ , so

180 - x = 2x \implies 180 = 3x \implies x = 60°.

Check: the supplement of $60°$ is $120°$ — twice, indeed ✓.

Adjacent angles and linear pairs

Two angles sharing a vertex and one side, with no overlap of interiors, are adjacent. Among adjacent pairs, one case is special — if the two unshared sides are opposite rays (together forming a line), the angles are a linear pair. A linear pair fills a straight angle, so the two angles are automatically supplementary. That follows at once from the Angle Addition Postulate plus the straight angle's $180°$ , and we keep it on the shelf as an everyday tool. Lines ① and ② of last lesson's vertical angles proof ("together they form the straight angle") were exactly this tool.

Theorems earn their names

Last lesson, in an exercise, you proved this: if $\angle 1 + \angle 3 = 180°$ and $\angle 2 + \angle 3 = 180°$ , then $\angle 1 = \angle 2$ . Time to give it its official name.

Congruent Supplements Theorem — supplements of the same angle are equal to each other. The same holds for supplements of equal angles (not a letter of the argument changes). And the complement version holds too — complements of the same angle are equal to each other. Its proof is the same with $180$ replaced by $90$ , so it is left as an exercise (Problem 8).

With this theorem in hand, the Vertical Angles Theorem comes free. Look at vertical angles $\angle 1$ and $\angle 3$ where two lines cross — $\angle 1$ forms a linear pair with $\angle 2$ , and $\angle 3$ forms a linear pair with the same $\angle 2$ . Both are supplements of the same angle $\angle 2$ , so the theorem says $\angle 1 = \angle 3$ . Done.

Last lesson took four lines of equations; today, one theorem finished it in two sentences. Same conclusion, two roads — every theorem you stack makes the next proof shorter. That is the rhythm this course will repeat again and again.

Perpendicular

Two lines meeting at right angles are perpendicular, written $\ell \perp m$ . The definition asks for only one right angle — but one drags along all four:

Mark one right angle and the other three follow.

Suppose one angle is $90°$ . Its neighbor forms a linear pair with it: $180 - 90 = 90°$ — right angle again. The remaining two are vertical to these, so $90°$ each by the Vertical Angles Theorem. All four right angles — courtesy of the two tools you learned minutes ago.

Note

In figures, a right angle is drawn as a small square corner — just as tick marks are shorthand for "equal," the square corner is shorthand for "right angle." One mark is enough: the argument above guarantees the other three, which is exactly why drawings carry only one.

몸풀기Warm-up

배운 것을 그대로 손에 익히는 단계straightforward practice to get moving

문제Problem 1 몸풀기Warm-up

각 $\angle PQR$ 에 대해 답하여라.

(1) 꼭짓점은 어느 점인가? (2) $\angle PQR$ 와 $\angle RQP$ 는 같은 각인가?

About the angle $\angle PQR$ :

(1) Which point is the vertex? (2) Are $\angle PQR$ and $\angle RQP$ the same angle?

정답과 풀이Answer & solution

정답 · (1)

Q

(2) 같다

Answer · (1)

Q

(2) Yes

(1) 이름의 가운데 글자가 꼭짓점이다 — $Q$ .

(2) 같다. 변은 $\overrightarrow{QP}$ 와 $\overrightarrow{QR}$ 두 개로 그대로이고, 읽는 순서만 반대다. 각은 두 변이 정하는 도형이므로 표기가 둘이어도 도형은 하나다.

(1) The middle letter of the name is the vertex — $Q$ .

(2) Yes. The sides are the same two rays, $\overrightarrow{QP}$ and $\overrightarrow{QR}$ ; only the reading order flips. An angle is the figure its two sides determine, so two spellings, one figure.

문제Problem 2 몸풀기Warm-up

$37°$ 의 여각과 보각을 각각 구하여라.

Find the complement and the supplement of $37°$ .

정답과 풀이Answer & solution

정답 · 여각

53°

, 보각

143°

Answer · Complement

53°

; supplement

143°

여각: $90 - 37 = 53°$ . 보각: $180 - 37 = 143°$ .

검산 겸 관찰: $143 - 53 = 90$ — 보각은 여각보다 늘 $90°$ 크다 ✓.

Complement: $90 - 37 = 53°$ . Supplement: $180 - 37 = 143°$ .

Check-and-observe: $143 - 53 = 90$ — the supplement always beats the complement by $90°$ ✓.

문제Problem 3 몸풀기Warm-up

$100°$ 인 각의 여각과 보각을 구하여라. 없으면 "없다"고 답하고 이유를 밝혀라.

Find the complement and the supplement of a $100°$ angle. If one does not exist, say so and explain why.

정답과 풀이Answer & solution

정답 · 여각은 없다, 보각은

80°

Answer · No complement; supplement

80°

여각이라면 $90 - 100 = -10°$ 이어야 하는데 각의 크기는 음수가 될 수 없다 — $90°$ 이상인 각에게 여각은 없다. 보각은 $180 - 100 = 80°$ .

A complement would have to measure $90 - 100 = -10°$ , and angle measures cannot be negative — angles of $90°$ or more have no complement. The supplement is $180 - 100 = 80°$ .

문제Problem 4 몸풀기Warm-up

반직선 $OC$ 는 $\angle AOB$ 의 내부에 있고 $\angle AOC = 34°$ , $\angle COB = 41°$ 다. $\angle AOB$ 를 구하여라.

Ray $OC$ lies inside $\angle AOB$ , with $\angle AOC = 34°$ and $\angle COB = 41°$ . Find $\angle AOB$ .

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

\angle AOB = 75°

Answer ·

\angle AOB = 75°

각의 덧셈 공리로 $\angle AOB = 34 + 41 = 75°$ .

By the Angle Addition Postulate, $\angle AOB = 34 + 41 = 75°$ .

핵심Core

이 차시의 목표 수준the target level for this lesson

문제Problem 5 핵심Core

어떤 각의 보각이 그 각의 $5$ 배다. 그 각을 구하여라.

An angle's supplement is $5$ times the angle. Find the angle.

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

30°

Answer ·

30°

각을 $x$ 라 하면 보각은 $180 - x$ :

180 - x = 5x \implies 180 = 6x \implies x = 30°.

검산: $30°$ 의 보각은 $150°$ — 과연 $5$ 배다 ✓.

Call the angle $x$ ; the supplement is $180 - x$ :

180 - x = 5x \implies 180 = 6x \implies x = 30°.

Check: the supplement of $30°$ is $150°$ — five times, indeed ✓.

문제Problem 6 핵심Core

어떤 각이 자기 여각보다 $24°$ 크다. 그 각을 구하여라.

An angle is $24°$ larger than its complement. Find the angle.

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

57°

Answer ·

57°

각을 $x$ 라 하면 여각은 $90 - x$ 이고, 각이 여각보다 $24°$ 크므로

x = (90 - x) + 24 \implies 2x = 114 \implies x = 57°.

검산: 여각은 $33°$ 이고 $57 - 33 = 24$ ✓, $57 + 33 = 90$ ✓.

Call the angle $x$ ; its complement is $90 - x$ , and the angle exceeds it by $24°$ :

x = (90 - x) + 24 \implies 2x = 114 \implies x = 57°.

Check: the complement is $33°$ , with $57 - 33 = 24$ ✓ and $57 + 33 = 90$ ✓.

문제Problem 7 핵심Core

선형쌍을 이루는 두 각의 크기가 $(3x + 10)°$ 와 $(2x - 5)°$ 다. $x$ 와 두 각을 구하여라.

A linear pair has measures $(3x + 10)°$ and $(2x - 5)°$ . Find $x$ and the two angles.

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

x = 35

, 두 각은

115°

와

65°

Answer ·

x = 35

; the angles are

115°

and

65°

선형쌍은 보각이므로

(3x + 10) + (2x - 5) = 180 \implies 5x + 5 = 180 \implies x = 35.

두 각은 $3(35) + 10 = 115°$ 와 $2(35) - 5 = 65°$ .

검산: $115 + 65 = 180$ ✓.

A linear pair is supplementary, so

(3x + 10) + (2x - 5) = 180 \implies 5x + 5 = 180 \implies x = 35.

The angles are $3(35) + 10 = 115°$ and $2(35) - 5 = 65°$ .

Check: $115 + 65 = 180$ ✓.

문제Problem 8 핵심Core 증명proof

같은 각의 여각 정리를 증명하여라: $\angle 1 + \angle 3 = 90°$ 이고 $\angle 2 + \angle 3 = 90°$ 이면 $\angle 1 = \angle 2$ 다.

Prove the Congruent Complements Theorem: if $\angle 1 + \angle 3 = 90°$ and $\angle 2 + \angle 3 = 90°$ , then $\angle 1 = \angle 2$ .

힌트Hint

보각 버전의 증명에서 바뀌는 것은 단 하나다.

Exactly one thing changes from the supplements version.

풀이와 채점 기준Solution & grading notes

문장	근거
① $\angle 1 + \angle 3 = 90°$	주어진 조건
② $\angle 2 + \angle 3 = 90°$	주어진 조건
③ $\angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 3$	①, ②와 추이성 — 둘 다 $90°$ 와 같다
④ $\angle 1 = \angle 2$	등식의 뺄셈 성질 — 양변에서 $\angle 3$ 을 뺌

보각 정리의 증명에서 $180$ 이 $90$ 으로 바뀐 것뿐이다 — 숫자가 무엇이든 "같은 것과 같으면 서로 같고, 같은 것을 빼도 같다"는 뼈대는 그대로 일한다.

채점 기준. ① 두 합을 잇는 단계(추이성/대입)(1점) ② $\angle 3$ 제거와 근거(뺄셈 성질)(1점) ③ 전 단계에 근거(1점). 서술형 증명도 논리가 완전하면 만점.

Statement	Reason
① $\angle 1 + \angle 3 = 90°$	Given
② $\angle 2 + \angle 3 = 90°$	Given
③ $\angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 3$	①, ② and transitivity — both equal $90°$
④ $\angle 1 = \angle 2$	Subtraction property — $\angle 3$ subtracted from both sides

It is the supplements proof with $180$ replaced by $90$ — whatever the number, the skeleton "equal to the same thing, minus the same thing" does all the work.

Grading. ① Links the two sums (transitivity/substitution) (1 pt) ② removes $\angle 3$ with its reason (subtraction property) (1 pt) ③ reasons on every step (1 pt). A paragraph proof with complete logic earns full credit.

문제Problem 9 핵심Core

직선 $AB$ 위의 점 $O$ 에서 반직선 $OC$ 가 $AB$ 에 수직이다. 반직선 $OD$ 는 $\angle COB$ 의 내부에 있고 $\angle COD = 28°$ 다. $\angle DOB$ 를 구하여라.

$O$ is a point on line $AB$ , and ray $OC$ is perpendicular to $AB$ . Ray $OD$ lies inside $\angle COB$ with $\angle COD = 28°$ . Find $\angle DOB$ .

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

\angle DOB = 62°

Answer ·

\angle DOB = 62°

수직이므로 $\angle COB = 90°$ . $OD$ 가 그 내부에 있으므로 각의 덧셈 공리로

\angle DOB = \angle COB - \angle COD = 90 - 28 = 62°.

검산: $28 + 62 = 90$ ✓ — $\angle COD$ 와 $\angle DOB$ 는 서로 여각이다.

Perpendicularity gives $\angle COB = 90°$ . Since $OD$ is interior, the Angle Addition Postulate gives

\angle DOB = \angle COB - \angle COD = 90 - 28 = 62°.

Check: $28 + 62 = 90$ ✓ — $\angle COD$ and $\angle DOB$ are complementary.

도전Challenge

아이디어를 결합해야 풀리는 문제problems that take more than one idea

문제Problem 10 도전Challenge

어떤 각의 보각이 그 각의 여각의 $3$ 배다. 그 각을 구하여라.

An angle's supplement is $3$ times its complement. Find the angle.

힌트Hint

보각과 여각을 모두 $x$ 로 적고 등식을 세워라.

Write both the supplement and the complement in terms of $x$ , then set up the equation.

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

45°

Answer ·

45°

각을 $x$ 라 하면 보각은 $180 - x$ , 여각은 $90 - x$ :

180 - x = 3(90 - x) \implies 180 - x = 270 - 3x \implies 2x = 90 \implies x = 45°.

검산: $45°$ 의 여각은 $45°$ , 보각은 $135°$ — 과연 $135 = 3 \times 45$ ✓. 마침 여각이 자기 자신과 같은 각이기도 하다 — $45°$ 는 직각의 정확한 절반이니까.

Call the angle $x$ ; the supplement is $180 - x$ and the complement is $90 - x$ :

180 - x = 3(90 - x) \implies 180 - x = 270 - 3x \implies 2x = 90 \implies x = 45°.

Check: the complement of $45°$ is $45°$ and the supplement is $135°$ — indeed $135 = 3 \times 45$ ✓. As a bonus, this angle equals its own complement — $45°$ is exactly half a right angle.

문제Problem 11 도전Challenge

평각 $\angle AOD$ 의 내부에 반직선 $OB$ 와 $OC$ 가 있어(벌어지는 순서는 $A$ , $B$ , $C$ , $D$ ) 평각을 세 각 $\angle AOB$ , $\angle BOC$ , $\angle COD$ 로 나눈다. $\angle BOC$ 가 $\angle AOB$ 와 $\angle COD$ 의 평균과 같다면, $\angle BOC$ 는 몇 도인가?

Rays $OB$ and $OC$ lie inside the straight angle $\angle AOD$ (opening in the order $A$ , $B$ , $C$ , $D$ ), cutting it into $\angle AOB$ , $\angle BOC$ , $\angle COD$ . If $\angle BOC$ equals the average of $\angle AOB$ and $\angle COD$ , what is $\angle BOC$ ?

힌트Hint

세 각의 합은 정해져 있다 — 평균 조건을 그 합에 대입해 보라.

The three angles have a fixed sum — feed the average condition into it.

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

\angle BOC = 60°

(항상)

Answer ·

\angle BOC = 60°

(always)

$\angle AOB = x$ , $\angle BOC = y$ , $\angle COD = z$ 라 하자. 각의 덧셈 공리로 $x + y + z = 180$ 이고, 조건은 $y = \frac{x + z}{2}$ , 즉 $x + z = 2y$ . 대입하면

2y + y = 180 \implies y = 60°.

$x$ 와 $z$ 가 얼마든 — $(10°, 110°)$ 이든 $(60°, 60°)$ 이든 — 가운데 각은 언제나 $60°$ 다. 두 조건이 남긴 자유를 전부 삼키고 하나의 값만 남는 구조다.

검산: $x = 50$ , $z = 70$ 이면 평균은 $60$ , 합은 $50 + 60 + 70 = 180$ ✓.

Let $\angle AOB = x$ , $\angle BOC = y$ , $\angle COD = z$ . Angle addition gives $x + y + z = 180$ , and the condition says $y = \frac{x + z}{2}$ , i.e. $x + z = 2y$ . Substituting,

2y + y = 180 \implies y = 60°.

Whatever $x$ and $z$ are — $(10°, 110°)$ or $(60°, 60°)$ — the middle angle is always $60°$ . The two conditions swallow every remaining freedom and leave a single value.

Check: with $x = 50$ , $z = 70$ the average is $60$ and the sum is $50 + 60 + 70 = 180$ ✓.

경시Contest

대회 스타일competition style

문제Problem 12 경시Contest

점 $O$ 는 직선 $AB$ 위에 있고, 반직선 $OC$ 가 평각 $\angle AOB$ 를 두 각 $\angle AOC$ 와 $\angle COB$ 로 나눈다. $OM$ 은 $\angle AOC$ 의 이등분선, $ON$ 은 $\angle COB$ 의 이등분선이다. $\angle MON$ 을 구하여라.

Point $O$ lies on line $AB$ , and ray $OC$ splits the straight angle $\angle AOB$ into $\angle AOC$ and $\angle COB$ . $OM$ bisects $\angle AOC$ and $ON$ bisects $\angle COB$ . Find $\angle MON$ .

힌트Hint

$\angle MON$ 을 $\angle MOC$ 와 $\angle CON$ 으로 쪼개 보라.

Split $\angle MON$ into $\angle MOC$ and $\angle CON$ .

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

\angle MON = 90°

(항상)

Answer ·

\angle MON = 90°

(always)

$\angle AOC = 2a$ , $\angle COB = 2b$ 라 하면 평각이므로 $2a + 2b = 180$ , 즉 $a + b = 90$ .

이등분선의 정의로 $\angle MOC = a$ , $\angle CON = b$ . $OC$ 가 $\angle MON$ 의 내부에 있으므로 각의 덧셈 공리로

\angle MON = \angle MOC + \angle CON = a + b = 90°.

$OC$ 가 어디를 가리키든 — 평각을 $10°/170°$ 로 나누든 $90°/90°$ 로 나누든 — 두 이등분선 사이의 각은 언제나 직각이다. "절반의 합 = 합의 절반"이라는 분배법칙 한 줄이 만들어 내는 불변량이다.

검산: $\angle AOC = 40°$ 면 $\angle COB = 140°$ , 이등분선은 각각 $20°$ · $70°$ 자리 — 사이 각은 $20 + 70 = 90°$ ✓.

Let $\angle AOC = 2a$ and $\angle COB = 2b$ . The straight angle gives $2a + 2b = 180$ , so $a + b = 90$ .

By the definition of bisector, $\angle MOC = a$ and $\angle CON = b$ . Since $OC$ lies inside $\angle MON$ , angle addition gives

\angle MON = \angle MOC + \angle CON = a + b = 90°.

Wherever $OC$ points — splitting the straight angle $10°/170°$ or $90°/90°$ — the angle between the two bisectors is always a right angle: an invariant manufactured by one line of the distributive law, "sum of halves = half of the sum."

Check: if $\angle AOC = 40°$ then $\angle COB = 140°$ ; the bisectors sit $20°$ and $70°$ from $OC$ , and $20 + 70 = 90°$ ✓.

문제Problem 13 경시Contest

한 점에서 나온 다섯 개의 반직선이 그 점 둘레 한 바퀴를 다섯 개의 각으로 나눈다. 다섯 각의 크기가 연속한 자연수(도 단위)일 때, 가장 큰 각을 구하여라.

Five rays from one point divide the full turn around it into five angles. If the five measures are consecutive natural numbers (in degrees), find the largest angle.

힌트Hint

연속한 다섯 수의 합은 가운데 수로 표현된다.

The sum of five consecutive numbers can be written using the middle one.

정답과 풀이Answer & solution

정답 ·

74°

Answer ·

74°

연속한 다섯 자연수를 $n-2$ , $n-1$ , $n$ , $n+1$ , $n+2$ 라 하면 합은 $5n$ 이고, 한 바퀴는 $360°$ 이므로

5n = 360 \implies n = 72.

다섯 각은 $70°, 71°, 72°, 73°, 74°$ — 가장 큰 각은 $74°$ 다.

검산: $70 + 71 + 72 + 73 + 74 = 360$ ✓. 연속한 다섯 수의 합이 가운데 수의 $5$ 배가 되는 것은 짝지어 상쇄되기 때문이다 — $(n-2) + (n+2) = 2n$ , $(n-1) + (n+1) = 2n$ .

Write the five consecutive numbers as $n-2$ , $n-1$ , $n$ , $n+1$ , $n+2$ . Their sum is $5n$ , and a full turn is $360°$ :

5n = 360 \implies n = 72.

The angles are $70°, 71°, 72°, 73°, 74°$ — the largest is $74°$ .

Check: $70 + 71 + 72 + 73 + 74 = 360$ ✓. Five consecutive numbers sum to five times the middle one because the ends cancel in pairs — $(n-2) + (n+2) = 2n$ and $(n-1) + (n+1) = 2n$ .