평행선의 성질Parallel Lines & Transversals

$\angle 3$은 위 교차점의 내부(두 직선 사이) 왼쪽 각이다. 동위각은 아래 교차점의 같은 위치 — $\angle 7$. 엇각은 내부에서 횡단선 반대편 — $\angle 6$. 동측내각은 내부에서 같은 편 — $\angle 5$.

$\angle 3$ is the interior left angle at the upper crossing. Its corresponding angle sits in the same position at the lower crossing — $\angle 7$. Its alternate interior partner is interior on the opposite side of the transversal — $\angle 6$. Its co-interior partner is interior on the same side — $\angle 5$.

동위각 공리: 평행한 두 직선이 횡단선과 만나면 동위각은 서로 같다. 따라서 $110°$.

The Corresponding Angles Postulate: when parallel lines are cut by a transversal, corresponding angles are equal. So $110°$.

(1) 엇각 정리로 $65°$.

(2) 동측내각 정리로 합이 $180°$: $180 - 65 = 115°$.

검산: 두 답은 선형쌍 관계이기도 하다 — $65 + 115 = 180$ ✓.

(1) By the Alternate Interior Angles Theorem, $65°$.

(2) By the Co-interior Angles Theorem the sum is $180°$: $180 - 65 = 115°$.

Check: the two answers also form a linear pair — $65 + 115 = 180$ ✓.

동위각이라는 이름은 위치만으로 정의되므로 평행하지 않아도 붙는다. 그러나 "동위각은 같다"는 성질의 가정은 "평행한 두 직선이 …"이다 — 평행이 아니면 이 공리는 아무 말도 하지 않고, 실제로 두 직선의 기울어짐이 다르므로 동위각의 크기도 달라진다. 명제를 쓸 때 가정부터 확인하는 습관 그대로다.

The name "corresponding angles" is defined by position alone, so it applies even without parallelism. But the property's hypothesis reads "if two parallel lines…" — without parallelism the postulate says nothing, and since the two lines lean differently, the corresponding angles really do differ. The check-the-hypothesis habit, on duty again.

$\angle 4$와 $\angle 5$는 엇각이므로 $\angle 5 = 72°$. $\angle 4$와 $\angle 6$은 동측내각이므로 $\angle 6 = 180 - 72 = 108°$. $\angle 4$와 $\angle 8$은 동위각이므로 $\angle 8 = 72°$.

검산: $\angle 5$와 $\angle 6$은 선형쌍 — $72 + 108 = 180$ ✓.

$\angle 4$ and $\angle 5$ are alternate interior angles, so $\angle 5 = 72°$. $\angle 4$ and $\angle 6$ are co-interior, so $\angle 6 = 180 - 72 = 108°$. $\angle 4$ and $\angle 8$ are corresponding, so $\angle 8 = 72°$.

Check: $\angle 5$ and $\angle 6$ form a linear pair — $72 + 108 = 180$ ✓.

동위각 공리로 두 크기가 같다:

각은 $2(20) + 30 = 70°$. 검산: $3(20) + 10 = 70°$ ✓.

By the Corresponding Angles Postulate the measures match:

The angle is $2(20) + 30 = 70°$. Check: $3(20) + 10 = 70°$ ✓.

동측내각 정리로 합이 $180°$:

두 각은 $3(30) - 10 = 80°$와 $2(30) + 40 = 100°$.

검산: $80 + 100 = 180$ ✓.

By the Co-interior Angles Theorem the sum is $180°$:

The angles are $3(30) - 10 = 80°$ and $2(30) + 40 = 100°$.

Check: $80 + 100 = 180$ ✓.

$\angle 4$를 동위각으로 아래 교차점에 내려보낸 뒤, 거기서 $\angle 6$과의 관계를 찾아라.

Send $\angle 4$ down to the lower crossing as a corresponding angle, then relate it to $\angle 6$ there.

엇각 정리의 증명과 같은 설계다 — 동위각 공리로 내려보내고, 그 교차점의 지역 도구(엇각 때는 맞꼭지각, 이번에는 선형쌍)로 마무리한다.

채점 기준. ① 동위각 공리 사용(1점) ② 선형쌍(또는 평각)으로 $180°$ 등식 확보(1점) ③ 대입으로 결론 + 전 단계 근거(1점). $\angle 3$과 $\angle 5$로 증명해도, 엇각 정리를 경유해도 논리가 완전하면 만점.

Same design as the alternate-angles proof — ride the postulate down, then finish with the local tool at that crossing (vertical angles there, a linear pair here).

Grading. ① Uses the corresponding angles postulate (1 pt) ② secures the $180°$ equation via a linear pair/straight angle (1 pt) ③ substitutes to the conclusion, reasons throughout (1 pt). Proving with $\angle 3$ and $\angle 5$, or via the alternate-angles theorem, earns full credit if complete.

경로 1. $\angle 1 = \angle 5 = 118°$(동위각 공리), $\angle 5$와 $\angle 6$은 선형쌍이므로 $\angle 6 = 180 - 118 = 62°$.

경로 2. $\angle 1 = \angle 4 = 118°$(맞꼭지각), $\angle 4$와 $\angle 6$은 동측내각이므로 $\angle 6 = 180 - 118 = 62°$.

두 경로가 같은 답을 내는 것은 당연하지만 — 그 "당연함"이 곧 검산이다. 각 추적에서는 언제나 두 번째 길이 열려 있다.

Route 1. $\angle 1 = \angle 5 = 118°$ (corresponding angles postulate); $\angle 5$ and $\angle 6$ form a linear pair, so $\angle 6 = 180 - 118 = 62°$.

Route 2. $\angle 1 = \angle 4 = 118°$ (vertical angles); $\angle 4$ and $\angle 6$ are co-interior, so $\angle 6 = 180 - 118 = 62°$.

Of course both routes agree — and that "of course" is exactly what makes it a check. In an angle chase, a second road is always open.

$P$를 지나고 $\ell$에 평행한 보조 직선을 그어 보라.

Draw an auxiliary line through $P$ parallel to $\ell$.

$P$를 지나 $\ell$에 평행한 직선을 긋자(이 직선은 $m$과도 평행하다). 이 보조선이 $\angle APB$를 위아래 두 조각으로 가른다.

위 조각은 $\overline{PA}$가 평행선 $\ell$·보조선과 만드는 엇각이므로 $35°$, 아래 조각은 $\overline{PB}$가 보조선·$m$과 만드는 엇각이므로 $50°$. 따라서

평행선 문제에서 그림에 없는 보조 평행선을 스스로 긋는 것 — 이 문제의 진짜 배울 거리다. 꺾인 점이 몇 개든 같은 수법이 통한다.

Draw the line through $P$ parallel to $\ell$ (it is parallel to $m$ too). It splits $\angle APB$ into an upper and a lower piece.

The upper piece equals $35°$ — alternate interior angles for transversal $\overline{PA}$ across $\ell$ and the auxiliary line. The lower piece equals $50°$ — alternate interior angles for $\overline{PB}$ across the auxiliary line and $m$. Therefore

The real lesson here: drawing an auxiliary parallel that the figure never gave you. However many bends the path has, the same trick carries through.

수직에서 얻는 것은 $90°$ 하나 — 그 $90°$를 평행선 건너편으로 나르는 도구가 있다.

Perpendicularity hands you one thing — a $90°$ — and there is a tool for carrying $90°$ across parallel lines.

지난 차시에 "직각 하나면 네 각이 전부 직각"임을 보였으므로, ③의 직각 하나로 ④를 선언하는 데 부족함이 없다. 평행선은 수직까지 건너 나른다 — 다음 차시에서 이 문장의 역도 판정 도구로 쓰게 된다.

채점 기준. ① 수직의 정의에서 $90°$ 추출(1점) ② 동위각 공리로 $90°$ 수송(1점) ③ 수직의 정의로 복귀 + 전 단계 근거(1점).

Last lesson showed one right angle forces all four, so declaring ④ from the single right angle in ③ is fully justified. Parallel lines carry even perpendicularity across — and next lesson the converse of this sentence becomes a test.

Grading. ① Extracts $90°$ from the definition (1 pt) ② transports it with the corresponding angles postulate (1 pt) ③ returns through the definition, reasons throughout (1 pt).

보조 평행선은 이번에도 통한다 — 다만 두 조각이 이번에는 어떻게 놓이는가?

The auxiliary parallel works here too — but how do the two pieces land this time?

$P$를 지나 $\ell$에 평행한 보조선을 긋자. 엇각으로 $\overline{PA}$는 보조선과 $25°$를, $\overline{PB}$는 보조선과 $40°$를 이룬다.

그런데 $P$가 바깥에 있으므로 $\overline{PA}$와 $\overline{PB}$는 보조선의 같은 쪽(아래쪽)으로 뻗는다 — 두 각이 겹쳐 쌓이는 배치다. 따라서 $\angle APB$는 두 각의 차:

점이 평행선 사이에 있으면 두 각의 합(문제 10), 바깥에 있으면 차 — 보조 평행선이 각을 가르는가, 겹치는가의 차이다. 공식 두 개를 외우는 대신 보조선 하나를 긋는 쪽이 늘 안전한 이유다.

Draw the auxiliary line through $P$ parallel to $\ell$. By alternate angles, $\overline{PA}$ makes $25°$ with it and $\overline{PB}$ makes $40°$.

But with $P$ outside, $\overline{PA}$ and $\overline{PB}$ leave the auxiliary line on the same side (downward) — the two angles are stacked, one inside the other. So $\angle APB$ is their difference:

Point between the parallels: the sum (Problem 10). Point outside: the difference. It all comes down to whether the auxiliary parallel splits the angle or stacks it — which is why drawing the line beats memorizing two formulas.

여덟 각의 값은 두 종류뿐이다 — 예각을 $a$로 놓고 두 합을 적어라.

The eight angles take only two values — call the acute one $a$ and write both sums.

예각을 $a$라 하면 여덟 각은 $a$ 네 개와 $180 - a$ 네 개다("하나를 알면 여덟을 안다"). 조건은

검산: 예각 합 $4 \times 60 = 240$, 둔각 합 $4 \times 120 = 480$, 차는 $240$ ✓. 여덟 각의 총합이 $240 + 480 = 720 = 2 \times 360$인 것도 두 교차점의 한 바퀴씩과 맞아떨어진다 ✓.

Let the acute angle be $a$; the eight angles are four copies of $a$ and four of $180 - a$ ("know one, know all eight"). The condition says

Check: acute sum $4 \times 60 = 240$, obtuse sum $4 \times 120 = 480$, difference $240$ ✓. And the grand total $240 + 480 = 720 = 2 \times 360$ matches one full turn at each of the two crossings ✓.