사다리꼴과 연꼴Trapezoids & Kites

$\overline{AD} \parallel \overline{BC}$에서 다리 $\overline{AB}$를 횡단선으로 보면 $\angle A$와 $\angle B$는 동측내각 — 합이 $180°$다:

다리 $\overline{DC}$ 쪽도 마찬가지로 $\angle D = 180° - 85° = 95°$.

검산 — 내각합: $110 + 70 + 85 + 95 = 360°$ ✓. 사다리꼴에서 같은 다리의 양 끝 각은 보각 — 평행 한 쌍이 주는 기본 선물이다.

With $\overline{AD} \parallel \overline{BC}$ and leg $\overline{AB}$ as transversal, $\angle A$ and $\angle B$ are co-interior — they total $180°$:

Along leg $\overline{DC}$ likewise, $\angle D = 180° - 85° = 95°$.

Check — the angle sum: $110 + 70 + 85 + 95 = 360°$ ✓. In any trapezoid, the two angles on one leg are supplementary — the single parallelism's basic gift.

등변사다리꼴의 정의로 밑각 둘은 같다: $65°$, $65°$. 다리 양 끝 각은 보각(평행)이므로 윗각 둘은 각각 $180° - 65° = 115°$.

검산: $65 \times 2 + 115 \times 2 = 360°$ ✓. 윗각끼리도 같다는 것 — 윗변을 밑변으로 봐도 등변사다리꼴이라는 뜻이다.

By definition the two base angles match: $65°$, $65°$. The angles on each leg are supplementary (parallel bases), so the two top angles are each $180° - 65° = 115°$.

Check: $65 \times 2 + 115 \times 2 = 360°$ ✓. The top angles matching too means the figure is an isosceles trapezoid from the top base's point of view as well.

연꼴의 옆각끼리는 같다($\triangle ABC \cong \triangle ADC$, SSS의 대응각): $\angle B = \angle D$. 내각합에서

검산: $100 + 100 + 100 + 60 = 360°$ ✓. 축 위의 두 각($\angle A$, $\angle C$)은 서로 다를 수 있지만, 축 밖의 두 각은 대칭이 강제로 맞춘다.

A kite's side angles are equal ($\triangle ABC \cong \triangle ADC$ by SSS, corresponding angles): $\angle B = \angle D$. From the angle sum,

Check: $100 + 100 + 100 + 60 = 360°$ ✓. The two angles on the axis ($\angle A$, $\angle C$) may differ freely, but symmetry forces the two off-axis angles to agree.

같은 보조선 — 다리의 평행 이동 — 이 반대 방향으로도 일한다.

The same auxiliary line — sliding a leg — works in the reverse direction too.

$D$를 지나 $\overline{AB}$에 평행한 직선을 그어 $\overline{BC}$와 만나는 점을 $E$라 하자(평행사변형이 아니므로 $AB \nparallel DC$이고, $E$는 $B$와 $C$ 사이에 놓인다).

사각형 $ABED$는 두 쌍의 대변이 평행하므로 평행사변형이고, 대변에서 $DE = AB$. 가정 $AB = DC$와 이으면

— $\triangle DEC$는 이등변이므로 밑각 정리로 $\angle DEC = \angle DCE$.

한편 $\overline{AB} \parallel \overline{DE}$에서 동위각으로 $\angle ABE = \angle DEC$. 두 등식을 이으면

본문(밑각 같음 $\Rightarrow$ 다리 같음)과 이 문제(다리 같음 $\Rightarrow$ 밑각 같음)로 왕복이 완성됐다 — 이등변삼각형의 밑각 정리·역 쌍이 사다리꼴 무대에서 재연된 셈이다. "평행사변형은 아님" 단서가 필요한 이유도 보인다: 평행사변형이면 $DE \parallel DC$가 아니라 $E = C$ 쪽 구도가 무너지고, 실제로 밑각이 같을 이유가 없다(반례: 아무 평행사변형).

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점 — 예: 두 꼭짓점에서 수선을 내려 HL)

• 보조선과 평행사변형 $ABED$에서 $DE = AB$ (1점)
• 이등변 $\triangle DEC$와 밑각 정리 (1점)
• 동위각으로 $\angle B$에 연결해 마무리 (1점)

Through $D$ draw the line parallel to $\overline{AB}$, meeting $\overline{BC}$ at $E$ (as the figure is not a parallelogram, $AB \nparallel DC$, and $E$ lands between $B$ and $C$).

Quadrilateral $ABED$ has both pairs of opposite sides parallel — a parallelogram — so $DE = AB$. Chaining with the hypothesis $AB = DC$,

— triangle $DEC$ is isosceles, and the base angle theorem gives $\angle DEC = \angle DCE$.

Meanwhile $\overline{AB} \parallel \overline{DE}$ gives, by corresponding angles, $\angle ABE = \angle DEC$. Linking the equalities,

The lesson (equal base angles $\Rightarrow$ equal legs) and this problem (equal legs $\Rightarrow$ equal base angles) complete the round trip — the isosceles triangle's theorem-and-converse pair, restaged on the trapezoid. The "not a parallelogram" clause earns its keep too: in a parallelogram the construction collapses, and indeed the base angles need not match (any non-rectangular parallelogram is a counterexample).

Rubric (any logically correct proof earns full credit — e.g. dropping two perpendiculars and using HL)

• The auxiliary line and $DE = AB$ via parallelogram $ABED$ (1 pt)
• Isosceles $\triangle DEC$ and the base angle theorem (1 pt)
• The corresponding-angle link back to $\angle B$ (1 pt)

축이 연꼴을 두 삼각형으로 가른다 — 두 삼각형의 공통 밑변과 높이는?

The axis splits the kite into two triangles — what base and heights do they share?

연꼴 $ABCD$($AB = AD$, $CB = CD$)의 대각선을 $\overline{AC}$(축), $\overline{BD}$라 하고 교점을 $O$라 하자. 축 정리에 의해 $\overline{AC} \perp \overline{BD}$다.

대각선 $\overline{BD}$가 연꼴을 $\triangle ABD$와 $\triangle CBD$로 가른다. 두 삼각형의 밑변은 공통으로 $\overline{BD}$이고, 수직 덕분에 높이가 각각 $AO$와 $OC$다(축이 밑변과 수직이므로 축 위의 거리 자체가 높이):

마름모는 연꼴이기도 하므로(네 변이 같으면 이웃 변끼리도 같다) 이 공식을 그대로 상속한다 — 마름모 넓이 $=$ 대각선 곱의 절반은 새 공식이 아니라 연꼴 공식의 특수 사례다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점 — 예: 연꼴을 감싸는 $AC \times BD$ 직사각형의 절반로 보는 논증)

• $\overline{BD}$로 두 삼각형 분할과 수직(축 정리) 인용 (1점)
• 높이가 $AO$, $OC$임을 짚고 합쳐서 공식 완성 (1점)
• 마름모 $\subset$ 연꼴 상속 한 문장 (1점)

In kite $ABCD$ ($AB = AD$, $CB = CD$), call the diagonals $\overline{AC}$ (the axis) and $\overline{BD}$, meeting at $O$. By the axis theorem, $\overline{AC} \perp \overline{BD}$.

Diagonal $\overline{BD}$ splits the kite into $\triangle ABD$ and $\triangle CBD$. Both share the base $\overline{BD}$, and thanks to the perpendicularity their heights are exactly $AO$ and $OC$ (distances measured along the axis are heights):

A rhombus is itself a kite (four equal sides certainly make equal adjacent pairs), so it inherits the formula outright — "half the product of the diagonals" for the rhombus is not a new formula but the kite formula's special case.

Rubric (any logically correct explanation earns full credit — e.g. seeing the kite as half of its $AC \times BD$ bounding rectangle)

• Splits along $\overline{BD}$ and cites perpendicularity (the axis theorem) (1 pt)
• Identifies the heights $AO$, $OC$ and assembles the formula (1 pt)
• One sentence on rhombus $\subset$ kite inheritance (1 pt)

같은 다리 $\overline{AB}$의 양 끝 각은 보각이므로

검산: $120° = 2 \times 60°$ ✓. 평행사변형의 이웃각 문제와 겉모습이 같지만, 사다리꼴에서는 같은 다리의 짝만 보각이다 — $\angle A$와 $\angle C$ 사이에는 아무 관계도 강제되지 않는다.

The two angles on leg $\overline{AB}$ are supplementary:

Check: $120° = 2 \times 60°$ ✓. It looks like the parallelogram's consecutive-angle problem, but in a trapezoid only same-leg partners are supplementary — nothing at all constrains $\angle A$ against $\angle C$.

(1) 축 $\overline{AC}$는 $\overline{BD}$의 수직이등분선이므로 $BO = OD = \dfrac{12}{2} = 6$.

(2) 대각선 $AC = AO + OC = 13$이고, 연꼴 넓이 공식으로

검산 — 네 직각삼각형의 합: $2 \cdot \frac{6 \cdot 4}{2} + 2 \cdot \frac{6 \cdot 9}{2} = 24 + 54 = 78$ ✓. $AO \ne OC$인 것이 정상이다 — 축은 $\overline{BD}$를 이등분하지만 $\overline{BD}$는 축을 이등분하지 않는다.

(1) The axis $\overline{AC}$ is the perpendicular bisector of $\overline{BD}$, so $BO = OD = \dfrac{12}{2} = 6$.

(2) With $AC = AO + OC = 13$, the kite area formula gives

Check by the four right triangles: $2 \cdot \frac{6 \cdot 4}{2} + 2 \cdot \frac{6 \cdot 9}{2} = 24 + 54 = 78$ ✓. That $AO \ne OC$ is exactly as it should be — the axis bisects $\overline{BD}$, never the other way around.

윗변의 양 끝에서 아랫변에 수선을 내려라 — 아랫변이 세 조각으로 나뉜다.

Drop perpendiculars from both ends of the top base — the bottom base splits into three pieces.

(1) 윗변의 양 끝에서 아랫변으로 수선을 내리면 아랫변이 세 조각으로 나뉜다: 가운데는 윗변과 같은 $10$(직사각형), 양옆은 대칭으로 $\dfrac{16 - 10}{2} = 3$씩.

귀퉁이 직각삼각형에서 빗변(다리) $5$, 밑 $3$이므로

(2) 사다리꼴 넓이 공식으로

"밑변 차의 절반" — 등변사다리꼴 수선 내리기의 핵심 수치다. 대칭이 그 절반을 보장한다(두 귀퉁이 직각삼각형이 HL로 합동).

(1) Dropping perpendiculars from the top base's endpoints cuts the bottom base into three pieces: a middle $10$ matching the top (a rectangle), and two symmetric side pieces of $\dfrac{16 - 10}{2} = 3$ each.

Each corner right triangle has hypotenuse (the leg) $5$ and base $3$:

(2) The trapezoid area formula gives

"Half the difference of the bases" — the key number in every isosceles-trapezoid perpendicular drop, guaranteed by symmetry (the two corner right triangles are congruent by HL).

대각선 하나가 사다리꼴을 삼각형 둘로 가른다 — 두 삼각형의 높이는 같다.

One diagonal cuts the trapezoid into two triangles — sharing one height.

사다리꼴 $ABCD$($\overline{AD} \parallel \overline{BC}$, 윗변 $AD = a$, 아랫변 $BC = b$, 높이 $h$)에 대각선 $\overline{BD}$를 긋는다. 사다리꼴이 $\triangle ABD$와 $\triangle DBC$로 나뉜다.

• $\triangle DBC$: 밑변 $BC = b$, 꼭짓점 $D$는 윗변 위 — 높이는 두 평행선 사이 거리 $h$.
• $\triangle ABD$: 밑변을 윗변 $AD = a$로 잡으면, 꼭짓점 $B$는 아랫변 위 — 높이는 역시 $h$(평행선 사이 거리는 어디서 재도 같다).

두 삼각형이 같은 높이 $h$를 반대 방향에서 쓰는 것이 요점이다 — 평행이 없으면 이 공유가 무너지고 공식도 무너진다. (사다리꼴 두 개를 돌려 붙여 평행사변형 $(a+b) \times h$를 만드는 옛 유도와 같은 결론, 다른 칼이다.)

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점 — 복사·회전 유도, 평행 이동 분해 등)

• 대각선 분할과 두 삼각형의 밑변 선택 (1점)
• 두 높이가 모두 $h$인 이유(평행선 사이 거리의 균일함)를 명시 (1점)
• 합산으로 공식 완성 (1점)

In trapezoid $ABCD$ ($\overline{AD} \parallel \overline{BC}$, top $AD = a$, bottom $BC = b$, height $h$), draw diagonal $\overline{BD}$, splitting the figure into $\triangle ABD$ and $\triangle DBC$.

• $\triangle DBC$: base $BC = b$, apex $D$ on the top base — its height is the distance $h$ between the parallels.
• $\triangle ABD$: take the top base $AD = a$ as its base; apex $B$ lies on the bottom — height again $h$ (the distance between parallels is the same everywhere).

The point is that the two triangles use the same height $h$ from opposite directions — remove the parallelism and the sharing collapses, formula and all. (The old derivation — rotate a second copy to form an $(a+b) \times h$ parallelogram — reaches the same conclusion with a different knife.)

Rubric (any logically correct explanation earns full credit — the copy-and-rotate derivation, a parallel-translation decomposition, etc.)

• The diagonal split and the choice of bases (1 pt)
• Why both heights equal $h$ (uniform distance between parallels), stated explicitly (1 pt)
• The sum completing the formula (1 pt)

수직이등분선 위의 점이 갖는 성질 — 자취 단원의 그 정리 — 를 두 점에 적용하라.

Apply the perpendicular bisector's property — that theorem from the locus unit — to two points.

$A$는 $\overline{BD}$의 수직이등분선 위에 있다. 수직이등분선의 성질(위의 점은 양 끝점에서 등거리)에 의해

$C$도 같은 직선 위에 있으므로 마찬가지로 $CB = CD$.

이웃한 두 변끼리 같은 두 쌍 — 정의에 의해 $ABCD$는 연꼴이다. $\blacksquare$

본문의 축 정리(연꼴 $\Rightarrow$ 축은 수직이등분선)가 판정 방향이었다면, 이 문제는 성질 방향이다 — 수직이등분선 정리의 성질·판정 쌍이 통째로 연꼴의 정리·판정 쌍을 낳았다. 자취 단원에서 왕복을 미리 다져 둔 보상이 이렇게 지급된다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점 — SAS 두 번의 직접 증명 포함)

• 수직이등분선의 성질을 정확히 인용 (1점)
• $A$와 $C$ 각각에 적용해 두 등식 (1점)
• 연꼴의 정의 충족으로 마무리 (1점)

$A$ lies on the perpendicular bisector of $\overline{BD}$. By the perpendicular bisector's property (points on it are equidistant from both endpoints),

$C$ lies on the same line, so likewise $CB = CD$.

Two pairs of equal adjacent sides — by definition, $ABCD$ is a kite. $\blacksquare$

The lesson's axis theorem (kite $\Rightarrow$ the axis is a perpendicular bisector) ran in the test direction; this problem runs the property direction — the perpendicular bisector's property-test pair has generated, wholesale, the kite's theorem-test pair. The locus unit's round trip, paying its dividend.

Rubric (any logically correct proof earns full credit — including the direct double-SAS route)

• Cites the perpendicular bisector property precisely (1 pt)
• Applies it at $A$ and at $C$ for the two equalities (1 pt)
• Closes by the kite's definition (1 pt)

평행 확인 — $\overline{AB}$는 $y = 0$ 위, $\overline{DC}$는 $y = 3$ 위: 평행 ✓ (길이는 $8$과 $4$로 달라 평행사변형은 아니다).

다리 확인 — $AD = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$, $BC = \sqrt{(8-6)^2 + 3^2} = \sqrt{13}$: 같다. 대칭축($x = 4$)에 대해 좌우가 포개지므로 밑각도 같다 — 등변사다리꼴이다.

대각선 — $AC = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{45}$, $BD = \sqrt{(8-2)^2 + 3^2} = \sqrt{45}$: 같다 ✓ — 등변사다리꼴의 대각선 정리가 좌표에서 검증됐다.

도형의 정리를 좌표로 확인하는 이 왕복 — 정리가 계산을 예언하고 계산이 정리를 재검하는 — 이 좌표기하 단원의 기본 자세가 된다.

Parallels — $\overline{AB}$ lies on $y = 0$ and $\overline{DC}$ on $y = 3$: parallel ✓ (lengths $8$ and $4$ differ, so not a parallelogram).

Legs — $AD = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$ and $BC = \sqrt{(8-6)^2 + 3^2} = \sqrt{13}$: equal. The figure mirrors across $x = 4$, so the base angles match too — an isosceles trapezoid.

Diagonals — $AC = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{45}$ and $BD = \sqrt{(8-2)^2 + 3^2} = \sqrt{45}$: equal ✓ — the isosceles trapezoid's diagonal theorem, verified in coordinates.

This round trip — the theorem predicting the computation, the computation re-checking the theorem — becomes the default posture of the coordinate geometry unit.

대칭과 수직에서 대각선이 밑변과 이루는 각을 구하라 — 45°가 나온다.

From symmetry and perpendicularity, find the angle a diagonal makes with the base — it comes out 45°.

두 밑변을 $a$(아래), $b$(위)라 하고 대각선 교점을 $O$라 하자.

등변사다리꼴의 대칭에 의해 $O$는 대칭축 위에 있고 $OB = OC$(아랫변의 두 끝에서 대칭) — $\triangle OBC$는 이등변인데 가정에서 $\angle BOC = 90°$이므로 직각이등변: $\angle OBC = 45°$. 즉 대각선은 밑변과 $45°$를 이룬다.

대각선 $\overline{BD}$를 따라 $B$에서 $D$까지 가면, 수직으로는 높이 $h = 8$만큼, 수평으로는 $D$가 $B$에서 수평 거리 $\frac{a - b}{2} + b = \frac{a + b}{2}$만큼 떨어져 있다. 기울기 $45°$는 수직 이동과 수평 이동이 같다는 뜻:

그러므로 넓이는

밑변들을 하나도 모른 채 넓이가 확정됐다 — "수직 대각선"이라는 조건 하나가 $\frac{a+b}{2}$와 $h$를 같은 수로 접어 버리기 때문이다. 검산(구체 사례): $a = 10$, $b = 6$이면 $h = 8$ ✓이고 넓이 $\frac{16 \times 8}{2} = 64$ ✓.

Call the bases $a$ (bottom) and $b$ (top), and let the diagonals meet at $O$.

By the isosceles trapezoid's symmetry, $O$ sits on the axis of symmetry and $OB = OC$ (symmetric from the bottom base's endpoints) — triangle $OBC$ is isosceles, and with $\angle BOC = 90°$ it is a right isosceles triangle: $\angle OBC = 45°$. Each diagonal meets the base at $45°$.

Travel along diagonal $\overline{BD}$ from $B$ to $D$: vertically you climb the height $h = 8$; horizontally you cover $\frac{a - b}{2} + b = \frac{a + b}{2}$. A $45°$ slope means the two displacements are equal:

Hence the area is

The area is pinned without knowing either base — the single condition "perpendicular diagonals" folds $\frac{a+b}{2}$ and $h$ into the same number. Check with a concrete case: $a = 10$, $b = 6$ gives $h = 8$ ✓ and area $\frac{16 \times 8}{2} = 64$ ✓.

전부 이 단원에서 증명한 판정들이다.

(1) 상호 이등분 $=$ 평행사변형 판정 3. (2) (1)에 "같다"를 얹으면 직사각형 판정 — 평행사변형 전제 위에서 대각선 같음이 직각을 짜낸다. (3) (1)에 "수직"을 얹으면 마름모 판정. (4) 직사각형이면서 마름모 — 교집합인 정사각형. (5) 상호 이등분이 아니므로 평행사변형 계열이 아니고, 수직이등분선 하나가 연꼴 판정(문제 10)에 정확히 걸린다.

대각선 두 개의 정보만으로 가족 전체가 식별된다 — 사각형의 신원은 대각선에 쓰여 있다. 주의: (2)~(4)의 "같다"·"수직"은 이등분 전제 없이는 판정이 아니다 — 같기만 한 대각선은 등변사다리꼴에도 있고((11)번 문제), 수직이기만 한 대각선은 연꼴에도 있다.

Every one is a test proved in this unit.

(1) Mutual bisection $=$ parallelogram Test 3. (2) Add "equal" to (1): the rectangle test — atop the parallelogram premise, equal diagonals squeeze out the right angle. (3) Add "perpendicular" to (1): the rhombus test. (4) Rectangle and rhombus at once — the intersection: a square. (5) No mutual bisection rules out the parallelogram line, and a single perpendicular bisector lands exactly on the kite test (Problem 10).

Two diagonals' worth of data identifies the entire family — a quadrilateral's identity is written on its diagonals. Caution: the "equal" and "perpendicular" of (2)–(4) are tests only over the bisection premise — merely-equal diagonals also live in isosceles trapezoids (Problem 11), and merely-perpendicular ones in kites.