평행사변형Parallelograms

대각은 같으므로 $\angle C = \angle A = 65°$. 이웃각은 보각이므로 $\angle B = 180° - 65° = 115°$이고, $\angle D = \angle B = 115°$.

검산 — 내각합: $65 + 115 + 65 + 115 = 360°$ ✓. 각 하나가 나머지 셋을 전부 결정한다 — 평행사변형의 각 자유도는 $1$이다.

Opposite angles are equal: $\angle C = \angle A = 65°$. Consecutive angles are supplementary: $\angle B = 180° - 65° = 115°$, and $\angle D = \angle B = 115°$.

Check — the angle sum: $65 + 115 + 65 + 115 = 360°$ ✓. One angle pins down all four — a parallelogram has exactly one degree of angular freedom.

대변은 같으므로

$AB = 3 \cdot 4 - 1 = 11$. 검산: $CD = 4 + 7 = 11$ ✓ — 두 식이 같은 값에 도착해야 성질이 성립한 것이다.

Opposite sides are equal:

So $AB = 3 \cdot 4 - 1 = 11$. Check: $CD = 4 + 7 = 11$ ✓ — both expressions must land on the same value for the property to have done its work.

대각선은 서로를 이등분하므로 $O$는 두 대각선의 중점이다:

주의 — 두 대각선의 길이 자체($10$과 $14$)는 서로 같을 이유가 없다. 대각선이 같아지는 것은 다음 차시의 직사각형에서다.

The diagonals bisect each other, so $O$ is the midpoint of both:

Note — the two diagonals themselves ($10$ and $14$) have no reason to be equal. Diagonals becoming equal is next lesson's rectangle.

(나)와 (라)는 글자 하나 차이다 — 평행한 쌍과 같은 쌍이 일치하는가?

(b) and (d) differ by one word — do the parallel pair and the equal pair coincide?

(가)는 판정 1(두 쌍 대변 등변), (다)는 판정 3(대각선 상호 이등분), (라)는 판정 2(같은 쌍이 평행하고 등변) — 셋 다 증명된 판정이다.

(나)는 보장하지 못한다. 평행한 쌍($AD \parallel BC$)과 길이가 같은 쌍($AB = DC$)이 다른 쌍이기 때문이다. 반례: 등변사다리꼴 — 윗변과 아랫변이 평행하고 두 빗변이 같지만, 빗변이 평행하지 않으므로 평행사변형이 아니다.

같은 재료(평행 하나 $+$ 등변 하나)라도 어느 쌍에 걸리느냐로 참·거짓이 갈린다 — 판정을 외울 때 "같은 쌍"이라는 단서까지 외워야 하는 이유다.

(a) is Test 1 (both pairs of opposite sides equal), (c) is Test 3 (diagonals bisecting each other), and (d) is Test 2 (the same pair parallel and equal) — all three are proven tests.

(b) guarantees nothing. Its parallel pair ($AD \parallel BC$) and its equal pair ($AB = DC$) are different pairs. Counterexample: the isosceles trapezoid — parallel top and bottom, equal legs, yet the legs aren't parallel, so it is no parallelogram.

Same ingredients (one parallelism, one equality), opposite verdicts depending on which pair carries them — which is why the clause "the same pair" must be memorized along with the test.

이웃각은 보각이므로

검산: $120 = 2 \times 60$ ✓. 네 각은 $120°, 60°, 120°, 60°$ — 내각합 $360°$ ✓.

Consecutive angles are supplementary:

Check: $120 = 2 \times 60$ ✓, and the four angles $120°, 60°, 120°, 60°$ total $360°$ ✓.

대각선 $\overline{AC}$를 긋고, 엇각 하나와 SAS를 준비하라.

Draw diagonal $\overline{AC}$, and line up one alternate angle with SAS.

대각선 $\overline{AC}$를 긋는다.

$\overline{AB} \parallel \overline{DC}$에서 엇각으로 $\angle BAC = \angle DCA$. 여기에 $AB = CD$(가정), $\overline{AC}$ 공통 — 끼인각이 맞으므로 SAS로

대응각에서 $\angle BCA = \angle DAC$ — 이는 직선 $AD$와 $BC$가 $\overline{AC}$와 이루는 엇각이므로, 엇각 판정에 의해 $\overline{AD} \parallel \overline{BC}$.

두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 $ABCD$는 평행사변형이다. $\blacksquare$

합동 단원에서 이 구도로 "대각선이 이등분된다"까지 증명했었다 — 오늘은 반 바퀴 앞에서 멈춰 "평행 한 쌍을 더 얻는" 것으로 판정을 완성했다. 같은 그림, 다른 수확이다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 대각선을 긋고 엇각·가정·공통변으로 SAS 성립 (1점)
• 대응각에서 둘째 평행 $\overline{AD} \parallel \overline{BC}$을 엇각 판정으로 도출 — "엇각이 같으니 평행"의 근거(판정)를 명시 (1점)
• 정의 충족으로 마무리 (1점)

Draw diagonal $\overline{AC}$.

From $\overline{AB} \parallel \overline{DC}$, alternate angles give $\angle BAC = \angle DCA$. Add $AB = CD$ (hypothesis) and the common side $\overline{AC}$ — the angle is included, so SAS yields

Corresponding angles give $\angle BCA = \angle DAC$ — these are alternate angles of lines $AD$ and $BC$ with the transversal $\overline{AC}$, so the alternate-angle test gives $\overline{AD} \parallel \overline{BC}$.

Both pairs of opposite sides are parallel: $ABCD$ is a parallelogram. $\blacksquare$

In the congruence unit this same setup carried you to "the diagonals bisect each other"; today we stop half a turn earlier and harvest the second parallelism instead. Same figure, different crop.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• Draws the diagonal; assembles SAS from the alternate angle, hypothesis, and common side (1 pt)
• Extracts the second parallelism via the alternate-angle test — explicitly citing the test, not just the equal angles (1 pt)
• Closes by the definition (1 pt)

내각합 $360°$에서 이웃각의 합을 계산하라 — 동측내각 판정이 기다린다.

Compute the sum of consecutive angles from the $360°$ total — the co-interior angle test is waiting.

$\angle A = \angle C = \alpha$, $\angle B = \angle D = \beta$라 하자. 사각형 내각합에서

$\angle A$와 $\angle B$는 직선 $AD$, $BC$가 횡단선 $\overline{AB}$와 이루는 동측내각이고 그 합이 $180°$이므로, 동측내각 판정에 의해 $\overline{AD} \parallel \overline{BC}$.

같은 논법으로 $\angle A + \angle D = \alpha + \beta = 180°$는 횡단선 $\overline{AD}$에 대한 동측내각이므로 $\overline{AB} \parallel \overline{DC}$.

두 쌍이 각각 평행하다 — 평행사변형이다. $\blacksquare$

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 내각합에서 $\alpha + \beta = 180°$ 도출 (1점)
• 동측내각 판정으로 평행 한 쌍을 얻음 — 어느 횡단선인지 명시 (1점)
• 남은 쌍도 같은 논법으로 처리하고 정의로 마무리 (1점)

Let $\angle A = \angle C = \alpha$ and $\angle B = \angle D = \beta$. The quadrilateral angle sum gives

Angles $A$ and $B$ are co-interior angles of lines $AD$ and $BC$ with transversal $\overline{AB}$, and they sum to $180°$ — so the co-interior test gives $\overline{AD} \parallel \overline{BC}$.

Likewise $\angle A + \angle D = \alpha + \beta = 180°$ are co-interior along transversal $\overline{AD}$, giving $\overline{AB} \parallel \overline{DC}$.

Both pairs parallel — a parallelogram. $\blacksquare$

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• Derives $\alpha + \beta = 180°$ from the angle sum (1 pt)
• Applies the co-interior test for one parallelism — naming the transversal (1 pt)
• Handles the second pair the same way and closes by the definition (1 pt)

평행사변형의 두 대각선은 중점을 공유한다 — 대각선은 $\overline{AC}$와 $\overline{BD}$다.

The diagonals share a midpoint — and the diagonals here are $\overline{AC}$ and $\overline{BD}$.

꼭짓점 순서가 $A \to B \to C \to D$이므로 대각선은 $\overline{AC}$와 $\overline{BD}$다. 성질 3(대각선의 상호 이등분)에 의해 두 대각선의 중점이 같아야 한다.

$\overline{AC}$의 중점: $\left(\frac{1+6}{2}, \frac{2+6}{2}\right) = \left(\frac72, 4\right)$.

$D = (x, y)$라 하면 $\overline{BD}$의 중점 $\left(\frac{5+x}{2}, \frac{3+y}{2}\right)$가 이와 같아야 하므로

검산 — 대변 평행: $\overrightarrow{AB} = (4, 1)$과 $\overrightarrow{DC} = (6-2, 6-5) = (4, 1)$ — 같은 방향·같은 길이 ✓. 성질(중점 공유)을 좌표의 언어로 옮기면 방정식 두 개가 즉시 선다 — 좌표 단원(U11)에서 이 다리를 본격적으로 쓰게 된다.

With vertex order $A \to B \to C \to D$, the diagonals are $\overline{AC}$ and $\overline{BD}$. By Property 3, the two diagonals must share their midpoint.

Midpoint of $\overline{AC}$: $\left(\frac{1+6}{2}, \frac{2+6}{2}\right) = \left(\frac72, 4\right)$.

Writing $D = (x, y)$, the midpoint of $\overline{BD}$ is $\left(\frac{5+x}{2}, \frac{3+y}{2}\right)$, so

Check — opposite sides parallel: $\overrightarrow{AB} = (4, 1)$ and $\overrightarrow{DC} = (6-2, 6-5) = (4, 1)$ — same direction, same length ✓. Translating the midpoint property into coordinates produces two instant equations — a bridge the coordinate unit (U11) will cross in earnest.

$\overline{AD} \parallel \overline{BC}$가 이등분된 두 반쪽 중 하나를 E 쪽으로 배달한다.

The parallel $\overline{AD} \parallel \overline{BC}$ delivers one of the bisected halves down to E.

$\angle A$가 이등분되므로 $\angle DAE = \angle BAE$ … ①.

$\overline{AD} \parallel \overline{BC}$이고 $\overline{AE}$가 횡단선이므로, 엇각으로 $\angle DAE = \angle AEB$ … ②.

①, ②에서 $\angle BAE = \angle AEB$ — $\triangle ABE$에서 두 각이 같으므로, 밑각 정리의 역(판정)에 의해 그 대변이 같다:

그러므로 $\triangle ABE$는 $BA = BE$인 이등변삼각형이다. $\blacksquare$

이등분선이 반으로 가른 각의 한쪽을 평행선이 엇각으로 $E$까지 실어 나르는 구조 — "이등분선 $+$ 평행선 $=$ 이등변"은 평행사변형 문제의 단골 조합이라 무늬째 기억해 둘 가치가 있다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 이등분 조건 ①과 엇각 ②를 각각 근거와 함께 제시 (각 1점)
• 밑각 정리의 역(판정)을 명시하며 $BA = BE$로 마무리 (1점)

The bisector gives $\angle DAE = \angle BAE$ … ①.

Since $\overline{AD} \parallel \overline{BC}$ with transversal $\overline{AE}$, alternate angles give $\angle DAE = \angle AEB$ … ②.

From ① and ②, $\angle BAE = \angle AEB$ — two equal angles in $\triangle ABE$, so by the converse of the base angle theorem their opposite sides are equal:

Hence $\triangle ABE$ is isosceles with $BA = BE$. $\blacksquare$

The structure — a bisector splits the angle, and the parallel ferries one half down to $E$ as an alternate angle — makes "bisector $+$ parallel $=$ isosceles" a recurring motif in parallelogram problems, worth remembering as a pattern.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• States ① (bisection) and ② (alternate angles), each with its justification (1 pt each)
• Closes with $BA = BE$, explicitly citing the converse of the base angle theorem (1 pt)

앞 문제의 결과를 그대로 쓴다.

Use the previous problem's result as-is.

앞 문제에서 $BE = AB = 6$임을 증명했다. 한편 $BC = AD = 10$(대변)이므로

이등분선이 $\overline{BC}$ 내부에서 만나려면 $AB < AD$여야 한다는 것도 이 계산에서 보인다 — $AB \ge AD$면 $E$가 $C$에 닿거나 밖으로 나간다. 증명해 둔 정리가 계산 문제를 두 줄로 줄이는 표준 장면이다.

The previous problem proved $BE = AB = 6$. Since $BC = AD = 10$ (opposite sides),

The computation also reveals when the bisector meets $\overline{BC}$ internally: it requires $AB < AD$ — otherwise $E$ reaches $C$ or beyond. A proven theorem shrinking a computation to two lines: the standard payoff.

이웃한 두 삼각형은 같은 길이의 밑변과 같은 높이를 공유한다.

Adjacent triangles share equal-length bases and a common height.

대각선의 교점을 $O$라 하자. 성질 3에 의해 $OA = OC$, $OB = OD$다.

$\triangle OAB$와 $\triangle OCB$를 보자 — 밑변 $OA$와 $OC$는 길이가 같고 같은 직선($AC$) 위에 있으며, 꼭짓점 $B$가 공통이므로 그 직선까지의 높이도 공통이다. 넓이 $= \frac12 \times$ 밑변 $\times$ 높이에서

같은 논법을 밑변 $OB = OD$(꼭짓점 $C$ 공통)에 쓰면 $[\triangle OCB] = [\triangle OCD]$, 다시 밑변 $OC = OA$(꼭짓점 $D$)로 $[\triangle OCD] = [\triangle ODA]$. 사슬을 이으면

— 넷이 전부 같고, 각각 전체의 $\frac14$이다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 대각선 이등분(성질 3)을 인용 (1점)
• "같은 밑변 길이 $+$ 공통 높이 $\Rightarrow$ 같은 넓이"를 한 쌍에 대해 정확히 논증 (1점)
• 사슬로 네 삼각형 전부를 연결 (1점)

Let the diagonals meet at $O$. By Property 3, $OA = OC$ and $OB = OD$.

Compare $\triangle OAB$ and $\triangle OCB$ — their bases $OA$ and $OC$ are equal and lie on the same line ($AC$), and they share the apex $B$, hence the same height to that line. With area $= \frac12 \times$ base $\times$ height,

The same argument with bases $OB = OD$ (apex $C$) gives $[\triangle OCB] = [\triangle OCD]$, and with bases $OC = OA$ (apex $D$), $[\triangle OCD] = [\triangle ODA]$. Chaining,

— all four equal, each a quarter of the whole.

Rubric (any logically correct explanation earns full credit)

• Cites the diagonal bisection (Property 3) (1 pt)
• Argues one pair precisely via "equal bases on one line + common apex ⇒ equal areas" (1 pt)
• Chains all four triangles together (1 pt)

사각형 $ABDC$의 두 대각선이 무엇인지부터 확인하라.

First identify the diagonals of quadrilateral $ABDC$.

사각형 $ABDC$(꼭짓점 순서 $A \to B \to D \to C$)의 두 대각선은 $\overline{AD}$와 $\overline{BC}$다.

• $M$은 $\overline{BC}$의 중점(가정 — 중선의 정의).
• $M$은 $\overline{AD}$의 중점($AM = MD$로 연장했으므로).

두 대각선이 점 $M$에서 서로를 이등분하므로, 판정 3에 의해 $ABDC$는 평행사변형이다. 따라서 성질 1에서 대변끼리

이등변 단원부터 "중선 두 배 늘이기"라는 이름으로 부려 온 수법 — 맞꼭지각 SAS로 합동을 얻던 그 그림 — 의 정체가 이것이다. 늘이는 순간 평행사변형이 태어나고, "$A$ 쪽 변($AC$)의 복사본($BD$)이 $B$ 쪽으로 배달된다." 변과 각을 한 번에 실어 나르는 이 배달이, 수법이 그토록 강력했던 이유다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점 — 예: $\triangle AMC \cong \triangle DMB$를 SAS로 세워 직접 증명)

• $ABDC$의 대각선이 $\overline{AD}$, $\overline{BC}$임을 식별 (1점)
• 두 중점 조건을 확인하고 판정 3 적용 (1점)
• 성질 1로 $BD = AC$, 평행까지 결론 (1점)

In quadrilateral $ABDC$ (vertex order $A \to B \to D \to C$), the diagonals are $\overline{AD}$ and $\overline{BC}$.

• $M$ is the midpoint of $\overline{BC}$ (hypothesis — the median's definition).
• $M$ is the midpoint of $\overline{AD}$ (we extended so that $AM = MD$).

The diagonals bisect each other at $M$, so by Test 3, $ABDC$ is a parallelogram. Property 1 then gives, for opposite sides,

This is the true identity of the maneuver we have run since the isosceles unit under the name doubling the median — the very figure where vertical-angle SAS used to hand us congruence. The instant you double, a parallelogram is born, and a copy of the far side ($AC$) is delivered across to $B$'s side as $BD$ — carrying its length and direction at once. That delivery is why the maneuver was always so powerful.

Rubric (any logically correct proof earns full credit — e.g. the direct route via $\triangle AMC \cong \triangle DMB$ by SAS)

• Identifies the diagonals of $ABDC$ as $\overline{AD}$, $\overline{BC}$ (1 pt)
• Verifies both midpoint conditions and applies Test 3 (1 pt)
• Concludes $BD = AC$ and the parallelism via Property 1 (1 pt)

$ABCD$의 대각선 교점 $O$가 $AECF$에서도 무슨 역할을 하는지 보라.

What role does the diagonal intersection $O$ of $ABCD$ play inside $AECF$?

$ABCD$의 두 대각선의 교점을 $O$라 하자. 성질 3에 의해 $O$는 $\overline{AC}$의 중점이고 $\overline{BD}$의 중점이다: $OB = OD$.

$E$와 $F$는 $\overline{BD}$ 위에서 양 끝으로부터 같은 거리에 있으므로

— 즉 $O$는 $\overline{EF}$의 중점이기도 하다($E$, $F$는 $O$의 양쪽에 있다).

이제 사각형 $AECF$의 두 대각선 $\overline{AC}$와 $\overline{EF}$가 모두 $O$를 중점으로 가진다 — 서로를 이등분한다. 판정 3에 의해 $AECF$는 평행사변형이다. $\blacksquare$

판정 3이 두 번 일했다: 한 번은 $ABCD$에서 $O$의 정체(두 중점)를 성질로 거두고, 한 번은 $AECF$를 판정으로 세웠다. 대각선 위 대칭점 문제는 거의 언제나 이 왕복 한 세트로 끝난다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점 — 예: $\triangle ABE \cong \triangle CDF$(SAS, 엇각)로 $AE = CF$·$AE \parallel CF$를 보이고 판정 2)

• $O$가 $\overline{AC}$·$\overline{BD}$의 중점임을 성질 3으로 확보 (1점)
• $OE = OF$ 계산 (1점)
• $AECF$의 대각선을 식별하고 판정 3으로 마무리 (1점)

Let $O$ be the intersection of $ABCD$'s diagonals. By Property 3, $O$ is the midpoint of $\overline{AC}$ and of $\overline{BD}$: $OB = OD$.

Since $E$ and $F$ sit on $\overline{BD}$ at equal distances from its two ends,

— so $O$ is the midpoint of $\overline{EF}$ as well ($E$ and $F$ flank $O$).

Now the diagonals of quadrilateral $AECF$ — namely $\overline{AC}$ and $\overline{EF}$ — both have $O$ as midpoint: they bisect each other. By Test 3, $AECF$ is a parallelogram. $\blacksquare$

Test 3 worked a double shift: once as a property, harvesting $O$'s identity inside $ABCD$, and once as a test, certifying $AECF$. Symmetric-points-on-a-diagonal problems almost always end with exactly this round trip.

Rubric (any logically correct proof earns full credit — e.g. $\triangle ABE \cong \triangle CDF$ by SAS with alternate angles, then $AE = CF$, $AE \parallel CF$ and Test 2)

• Secures $O$ as midpoint of both $\overline{AC}$ and $\overline{BD}$ via Property 3 (1 pt)
• Computes $OE = OF$ (1 pt)
• Identifies $AECF$'s diagonals and closes with Test 3 (1 pt)