평행선의 판정Proving Lines Parallel

가정과 결론이 맞바뀌었다 — 역이다. 역은 원래 명제와 별도로 참·거짓이 판정되어야 하고, 이 차시에서 플레이페어 공리를 써서 참임을 증명했다. 그 덕에 이 문장은 평행의 판정 도구가 된다.

Hypothesis and conclusion have traded places — a converse. A converse must stand its own trial, and this lesson proved it true using Playfair's postulate. That is what turns the sentence into a test for parallelism.

동위각이 같으므로 동위각 판정 정리에 의해 평행하다.

Equal corresponding angles — parallel by the corresponding angles test.

엇각이 같으므로 엇각 판정 정리에 의해 평행하다.

Equal alternate interior angles — parallel by the alternate interior angles test.

동측내각의 판정 조건은 "같음"이 아니라 "합이 $180°$"다. $95 + 95 = 190 \neq 180$이므로 평행이 아니다 — 평행이었다면 동측내각 정리에 의해 합이 $180°$였어야 한다(대우).

"같으니까 평행"이라는 반사작용이 저지르는 대표 실수다. 판정 전에 어느 쌍인지부터.

The co-interior test asks not for equality but for a sum of $180°$. Since $95 + 95 = 190 \neq 180$, the lines are not parallel — had they been, the co-interior angles theorem would demand a $180°$ sum (contrapositive).

This is the classic slip of the "equal, therefore parallel" reflex. Before testing, identify which pair you have.

(a) 동위각이 같다 — 평행. (b) 엇각이 다르다 — 평행 아님(대우). (c) $110 + 70 = 180$ — 동측내각 판정으로 평행. (d) 맞꼭지각은 한 교차점 안의 이야기라 다른 직선과의 평행에 대해 아무 정보가 없다 — 판정 불가.

(a) Equal corresponding angles — parallel. (b) Unequal alternate angles — not parallel (contrapositive). (c) $110 + 70 = 180$ — parallel by the co-interior test. (d) Vertical angles are a one-crossing story; they carry no information about parallelism with another line — no verdict.

동측내각 판정: 합이 $180°$여야 한다.

두 각은 $2(30) + 35 = 95°$와 $3(30) - 5 = 85°$.

검산: $95 + 85 = 180$ ✓.

The co-interior test demands a sum of $180°$:

The angles are $2(30) + 35 = 95°$ and $3(30) - 5 = 85°$.

Check: $95 + 85 = 180$ ✓.

엇각 판정: 두 각이 같아야 한다.

검산: $4(25) - 18 = 82°$, $3(25) + 7 = 82°$ — 일치 ✓.

The alternate interior test demands equality:

Check: $4(25) - 18 = 82°$ and $3(25) + 7 = 82°$ — equal ✓.

동측내각 중 하나를 선형쌍으로 갈아 끼우면 어떤 쌍이 남는가?

Swap one co-interior angle for its linear-pair partner — what pair remains?

동측내각을 $\angle 1$(위 교차점), $\angle 2$(아래 교차점)라 하고 $\angle 1 + \angle 2 = 180°$가 주어졌다고 하자. $\angle 2$와 선형쌍을 이루는 각을 $\angle 3$이라 하면 — $\angle 3$은 $\angle 1$의 동위각 위치에 있다.

③에서 U2 첫 차시의 정리가 그대로 일했다 — "같은 각($\angle 2$)의 보각인 두 각은 서로 같다". 쌓아 둔 정리는 이렇게 예고 없이 재등장한다.

채점 기준. ① 선형쌍(또는 평각)으로 두 번째 $180°$ 등식 확보(1점) ② 두 등식에서 동위각(또는 엇각) 쌍의 같음을 끌어냄(1점) ③ 판정 정리로 마무리 + 전 단계 근거(1점). 엇각 경유 등 논리가 완전한 다른 경로도 만점.

Call the co-interior angles $\angle 1$ (upper crossing) and $\angle 2$ (lower crossing), with $\angle 1 + \angle 2 = 180°$ given. Let $\angle 3$ be the linear-pair partner of $\angle 2$ — then $\angle 3$ sits in the corresponding position to $\angle 1$.

Look at ③ — the very theorem from this unit's first lesson, back on duty: "supplements of the same angle ($\angle 2$) are equal." Stacked theorems reappear without warning.

Grading. ① Secures the second $180°$ equation via a linear pair (1 pt) ② extracts an equal corresponding (or alternate) pair from the two equations (1 pt) ③ closes with a test theorem, reasons throughout (1 pt). Any complete route — e.g. via alternate angles — earns full credit.

두 직각은 어떤 각 쌍의 위치에 있는가?

In which pair-position do the two right angles sit?

$t$는 $a$, $b$를 가로지르는 횡단선이고, 수직의 정의로 $t$가 $a$, $b$와 이루는 각은 각각 $90°$다. 이 두 직각은 동위각 위치에 있고 $90° = 90°$로 같으므로, 동위각 판정 정리에 의해 $a \parallel b$.

방향 비교: 지난 차시 문제는 평행을 알고 수직을 얻는 성질 방향($\parallel \Rightarrow \perp$ 전달)이었고, 이 문제는 수직 둘로 평행을 얻는 판정 방향($\perp$ 두 번 $\Rightarrow \parallel$)이다. 같은 그림, 반대 화살표 — 성질과 판정의 왕복이 수직에서도 성립한다.

채점 기준. ① 수직의 정의에서 직각 두 개 추출(1점) ② 동위각 판정 적용(1점) ③ 두 문장의 방향 차이 설명(1점).

$t$ is a transversal of $a$ and $b$, and by the definition of perpendicular it makes a $90°$ angle with each. Those two right angles sit in corresponding positions and $90° = 90°$, so by the corresponding angles test, $a \parallel b$.

Direction check: last lesson's problem ran in the property direction — parallelism known, perpendicularity delivered ($\parallel \Rightarrow \perp$ carried across). This one runs in the test direction — two perpendiculars produce parallelism ($\perp$ twice $\Rightarrow \parallel$). Same picture, opposite arrows: the property/test round trip works for perpendicularity too.

Grading. ① Extracts the two right angles from the definition (1 pt) ② applies the corresponding angles test (1 pt) ③ explains the difference in direction (1 pt).

먼저 판정: $t$가 만든 동위각이 같으므로 $a \parallel b$(동위각 판정 정리).

이제 성질을 쓸 자격이 생겼다: 평행선 $a$, $b$를 가로지르는 $s$의 동위각은 같으므로, $s$는 $b$와도 예각 $51°$로 만난다.

$68°$는 평행을 확보하는 데만 쓰이고 답에는 등장하지 않는다 — 정보의 역할 분담을 읽는 것이 이 문제의 절반이다.

Test first: the corresponding angles at $t$ are equal, so $a \parallel b$ (corresponding angles test).

That earns the property: the corresponding angles that $s$ makes with the parallel lines $a$, $b$ are equal, so $s$ meets $b$ at $51°$ too.

The $68°$ serves only to secure parallelism and never enters the answer — reading each piece of information's job is half the problem.

$P$를 지나 $\ell$에 평행한 보조선을 긋고, $85°$가 어떻게 갈라지는지 보라.

Draw the auxiliary line through $P$ parallel to $\ell$, and watch how the $85°$ splits.

$P$를 지나 $\ell$에 평행한 직선 $k$를 긋자(플레이페어 공리 — 존재가 보장된다).

$k \parallel \ell$이므로 엇각 정리(성질)에 의해 $\overline{PA}$가 $k$와 이루는 각은 $35°$. 그러면 $\angle APB = 85°$의 나머지, 즉 $\overline{PB}$가 $k$와 이루는 각은 $85 - 35 = 50°$다.

이제 $k$와 $m$을 보면: 횡단선 $\overline{PB}$가 만드는 엇각이 $50°$와 $50°$로 같다 — 엇각 판정 정리로 $k \parallel m$.

$\ell \parallel k$이고 $k \parallel m$이므로 평행의 추이성에 의해 $\ell \parallel m$. $\blacksquare$

채점 기준. ① 보조 평행선 도입(1점) ② 성질로 $35°$ 배분, 나머지 $50°$ 계산(1점) ③ 판정으로 $k \parallel m$, 추이성으로 결론(1점). 보조선을 $m$에 평행하게 긋는 대칭 풀이도 만점.

Draw the line $k$ through $P$ parallel to $\ell$ (Playfair's postulate guarantees it exists).

Since $k \parallel \ell$, the alternate angles theorem (property) gives the angle between $\overline{PA}$ and $k$ as $35°$. The rest of $\angle APB = 85°$ — the angle between $\overline{PB}$ and $k$ — is then $85 - 35 = 50°$.

Now look at $k$ and $m$: the transversal $\overline{PB}$ makes alternate angles of $50°$ and $50°$ — equal, so $k \parallel m$ by the alternate angles test.

From $\ell \parallel k$ and $k \parallel m$, transitivity gives $\ell \parallel m$. $\blacksquare$

Grading. ① Introduces the auxiliary parallel (1 pt) ② distributes $35°$ by the property and computes the remaining $50°$ (1 pt) ③ applies the test for $k \parallel m$ and closes with transitivity (1 pt). The symmetric solution with $k \parallel m$ first earns full credit.

첫 진행선과 마지막 진행선에 대해, 쿠션 하나를 횡단선으로 삼아 보라.

Treat one cushion as a transversal of the first and last travel lines.

처음 방향과 평행하다.

튕기는 각을 $\theta$라 하자. 첫 진행선은 위 쿠션 $\ell$과 $\theta$를 이루고, $\ell \parallel m$이므로 (첫 진행선을 횡단선으로 보면) 동위각 정리에 의해 첫 진행선이 $m$과 이루는 각도 $\theta$다.

두 번 튕긴 뒤의 진행선은 아래 쿠션 $m$에서 각 $\theta$로 떠난다. 그러면 $m$을 횡단선으로 삼을 때, 첫 진행선과 마지막 진행선이 $m$과 이루는 엇각이 $\theta$로 같다 — 엇각 판정 정리에 의해 두 진행선은 평행하다.

한 번 튕기면 방향이 꺾이지만 두 번 튕기면 원래 방향이 복원된다 — 평행한 거울(잠망경)이 상을 똑바로 보여 주는 원리이기도 하다.

It is parallel to the original direction.

Let the bounce angle be $\theta$. The first travel line makes $\theta$ with the top cushion $\ell$; since $\ell \parallel m$, viewing that travel line as a transversal, the corresponding angles theorem says it also makes $\theta$ with $m$.

The travel line after the second bounce leaves the bottom cushion $m$ at angle $\theta$ as well. Now take $m$ itself as the transversal: the first and last travel lines make equal alternate angles $\theta$ with it — so they are parallel, by the alternate angles test.

One bounce bends the path; two bounces restore the direction. This is also why a periscope's pair of parallel mirrors shows the world upright.

만나지 않는다고 하면 어떤 공리가 깨지는가?

Suppose it didn't — which postulate breaks?

$c$가 $b$와 만나지 않는다고 가정하자 — 그러면 $c \parallel b$다. $c$와 $a$가 만나는 점을 $P$라 하면, $P$를 지나면서 $b$에 평행한 직선이 $a$와 $c$로 둘이 된다($a \parallel b$는 가정, $c \parallel b$는 방금의 가정). 플레이페어 공리 위반 — 모순이다. 그러므로 $c$는 $b$와 만난다.

평행선 문제에서 "횡단선이 두 직선 모두와 만난다"고 태연히 말할 수 있는 근거가 바로 이 사실이다 — 하나를 가로지르면 그 평행선도 가로지를 수밖에 없다.

Suppose $c$ never meets $b$ — then $c \parallel b$. Let $P$ be the point where $c$ meets $a$. Now two lines through $P$ are parallel to $b$: the line $a$ (given) and the line $c$ (just supposed). That violates Playfair's postulate — contradiction. So $c$ meets $b$.

This fact is what lets us say, so casually, that a transversal "meets both lines" in parallel-line problems — cross one of a parallel pair and you have no choice but to cross the other.