삼각형을 합동으로 다지고 성질과 부등식까지 훑었으니, 무대를 넓힐 차례다.
한 평면 위의 세 개 이상의 선분이 끝점끼리 차례로 이어져 닫힌 도형을 이룰 때(이웃하지 않는 변끼리는 만나지 않는다), 이를 다각형이라 한다. 변이 개인 다각형을 각형, 이웃하지 않는 두 꼭짓점을 잇는 선분을 대각선이라 한다.
다각형 중에서도 모든 내각이 보다 작은 것을 볼록(convex) 다각형이라 한다 — 어느 변을 따라 걸어도 항상 같은 쪽으로만 꺾이는 도형이다. 한 각이 를 넘어 안으로 팬 것은 오목(concave)이다. 이번 차시의 정리들은 볼록을 기본 무대로 증명한다 — 오목에서 무엇이 살아남는지는 그때그때 정직하게 표시하겠다.
대각선부터 세어 두자. 한 꼭짓점에서는 자기 자신과 양옆 이웃을 뺀 개의 꼭짓점으로 대각선을 그을 수 있다. 꼭짓점 개가 각각 개씩 — 그런데 대각선 하나를 양 끝이 한 번씩, 두 번 세었으므로
검산은 손으로: 사각형 개 ✓, 오각형 개 ✓.
삼각형의 내각합 를 증명하던 날, 다각형은 예고로 남겨 두었다. 오늘 그 빚을 갚는다 — 방법은 다각형 증명의 제1 수법, 삼각형으로 쪼개기다.
정리 — 볼록 각형의 내각의 합은 다.
증명. 꼭짓점 하나 를 고르고, 에서 그을 수 있는 대각선 개를 모두 긋는다. 볼록성 덕분에 이 대각선들은 전부 다각형 내부를 지나고, 다각형은 겹침 없이 삼각형 개로 나뉜다(변 개 중 에 붙은 두 변이 첫·끝 삼각형에 하나씩, 나머지 개 변이 삼각형 하나씩의 밑변이 된다).
각 삼각형의 내각합은 이고, 이 각들을 전부 모으면 정확히 다각형의 내각들이 된다 — 대각선 둘레에 생긴 각들은 의 내각과 각 꼭짓점의 내각 안에서 조각으로 합쳐질 뿐, 새 각을 만들지 않는다. 그러므로
이면 — 삼각형 정리가 특수 사례로 들어온다. 면 : 사각형에 대각선 하나를 그어 삼각형 둘로 쪼개 본 사람에게는 이미 당연하다.
오목 다각형에서도 내각합 공식은 성립한다 — 다만 "한 꼭짓점에서 전부 쪼개기"가 실패할 수 있어(대각선이 밖으로 나간다), 증명에는 더 조심스러운 분할이 필요하다. 모든 다각형이 삼각형으로 분할된다는 사실 자체는 참이지만 그 일반 증명은 이 과정의 범위 밖이다 — 여기서는 볼록의 경우를 증명했고, 오목은 사실만 적어 둔다.
꼭짓점마다 내각의 이웃, 즉 한 변의 연장선과 다음 변이 이루는 각이 외각이다(내각 외각 ). 내각합은 에 따라 커지는데, 외각합은 놀랍게도 붙박이다.
정리 — 볼록 다각형의 외각의 합은 (꼭짓점마다 하나씩 취할 때) 항상 다.
증명. 꼭짓점마다 내각과 외각이 평각을 이루므로, 개 꼭짓점 전체에서
내각합 정리를 대입하면
이 식에서 통째로 지워졌다 — 삼각형이든 백각형이든 외각합은 다. 직관으로도 볼 수 있다: 다각형 둘레를 한 바퀴 걸으면 꼭짓점마다 외각만큼 방향을 꺾고, 제자리에 돌아왔을 때 몸은 정확히 한 바퀴() 돌아 있다. 변이 많아질수록 조금씩 자주 꺾을 뿐, 꺾음의 총량은 같다.
변의 길이가 모두 같고 내각도 모두 같은 다각형이 정다각형이다. 각이 전부 같으므로 합을 개수로 나누면 끝이다:
(1) 정오각형의 한 내각은? (2) 한 내각이 인 정다각형은 몇각형인가?
풀이. (1) .
(2) 내각으로 세운 방정식 도 풀리지만, 외각으로 건너가면 나눗셈 한 번이다: 외각 이고
검산: 정십이각형 내각합 , ✓. 정다각형의 각 문제는 외각 쪽 문이 늘 더 가깝다.
"정다각형"의 두 조건 — 등변과 등각 — 은 서로를 함의하지 않는다. 마름모는 등변이지만 등각이 아니고, 직사각형은 등각이지만 등변이 아니다. 삼각형에서만 두 조건이 서로를 끌어낸다(밑각 정리와 그 역의 선물). 사각형부터는 두 조건을 다 확인해야 "정"자를 붙일 수 있다 — 다음 차시들에서 이 두 조건의 조합이 만드는 도형들(마름모·직사각형·정사각형)을 하나씩 만난다.
With triangles settled — congruence, properties, inequalities — it is time to widen the stage.
When three or more segments in a plane are joined end to end in order to enclose a closed figure (non-adjacent sides never meeting), the figure is a polygon. A polygon with sides is an -gon, and a segment joining two non-adjacent vertices is a diagonal.
A polygon whose interior angles are all less than is convex — walking its boundary, you always turn the same way. If some angle exceeds , denting inward, the polygon is concave. This lesson proves its theorems on the convex stage — and marks honestly, case by case, what survives in the concave world.
Count the diagonals first. From one vertex you can draw diagonals to all vertices except itself and its two neighbors: of them. With vertices contributing each — but every diagonal counted once by each end —
Check by hand: a quadrilateral has ✓, a pentagon ✓.
On the day we proved a triangle's angles sum to , polygons were left as a promise. Today the debt is paid — by the first tool of all polygon proofs, cutting into triangles.
Theorem — The interior angles of a convex -gon sum to .
Proof. Choose a vertex and draw all diagonals from it. Convexity keeps every one of these diagonals inside the polygon, and they cut it, without overlap, into triangles (of the sides, the two at serve the first and last triangles, and each of the other sides serves as the base of one triangle).
Each triangle contributes , and gathering all their angles reproduces exactly the polygon's interior angles — the angles created along the diagonals merely assemble, piece by piece, inside the angle at and at each vertex; nothing new appears. Hence
For this reads — the triangle theorem returns as a special case. For it reads : anyone who has drawn one diagonal of a quadrilateral has already seen the two triangles.
The formula holds for concave polygons too — but "cut everything from one vertex" can fail there (a diagonal may exit the polygon), so the proof needs a more careful triangulation. That every polygon can be triangulated is true, but its general proof lies beyond this course — here we have proved the convex case and recorded the concave fact.
At each vertex, the angle between one side's extension and the next side is the exterior angle (interior exterior ). The interior sum grows with ; the exterior sum, remarkably, is bolted down.
Theorem — The exterior angles of a convex polygon (one per vertex) always sum to .
Proof. At every vertex the interior and exterior angles form a straight angle, so over all vertices
Substituting the interior angle sum theorem,
The canceled out of the formula entirely — triangle or hundred-gon, the exterior angles total . Intuition agrees: walk once around the boundary, turning by the exterior angle at each vertex; back at the start, your body has turned exactly one full lap. More sides only means smaller, more frequent turns — the total turning never changes.
A polygon with all sides equal and all interior angles equal is regular. Equal angles let us divide the sum by the count:
(1) What is each interior angle of a regular pentagon? (2) A regular polygon has interior angles of — how many sides?
Solution. (1) .
(2) The interior-angle equation works, but crossing to the exterior side makes it one division: the exterior angle is , so
Check: its interior sum is , and ✓. For regular-polygon angle problems, the exterior door is always the nearer one.
The two conditions in "regular" — equilateral and equiangular — do not imply each other. A rhombus is equilateral but not equiangular; a rectangle is equiangular but not equilateral. Only in triangles does each condition deliver the other (a gift of the base angle theorem and its converse). From quadrilaterals onward, both boxes must be checked before the word "regular" applies — and the coming lessons meet, one by one, the figures each combination creates (rhombus, rectangle, square).
칠각형에 대해 다음을 구하여라.
(1) 내각의 합 (2) 대각선의 개수
For a heptagon (7-gon), find:
(1) the sum of the interior angles (2) the number of diagonals
(1) .
(2) 개.
한 꼭짓점에서 대각선 개 — 칠각형이 삼각형 개로 쪼개진다는 뜻이고, 와 정확히 맞물린다.
(1) .
(2) .
Four diagonals leave each vertex — meaning the heptagon splits into triangles, meshing exactly with .
(1) 정구각형의 한 외각과 한 내각의 크기를 각각 구하여라. (2) 정이십각형의 한 내각의 크기를 구하여라.
(1) Find one exterior angle and one interior angle of a regular nonagon (9-gon). (2) Find one interior angle of a regular icosagon (20-gon).
(1) 외각 , 내각 .
(2) 외각 이므로 내각 .
내각 공식 으로도 같은 값이 나온다 — : ✓. 그러나 외각 경유가 언제나 계산이 짧다.
(1) Exterior , so interior .
(2) Exterior , so interior .
The interior formula agrees — for (1): ✓. But the exterior route is always the shorter computation.
내각의 합이 인 다각형은 몇각형인가?
A polygon's interior angles sum to . How many sides does it have?
에서
검산: 십각형의 내각합 ✓. 내각합은 언제나 의 배수 — 으로 나누어떨어지지 않는 값이 나왔다면 문제를 다시 읽어야 한다.
From ,
Check: a decagon's interior sum is ✓. An interior sum is always a multiple of — a value that fails that test means the problem was misread.
사각형의 네 내각의 크기의 비가 일 때, 네 내각을 각각 구하여라.
The four interior angles of a quadrilateral are in the ratio . Find all four.
네 각을 로 놓으면 내각합에서
— 네 각은 다. 검산: 합 ✓, 전부 미만이므로 볼록 사각형으로 실제 존재한다. 비례 배분에서 "한 칸"을 구한 뒤 마지막 확인(합·볼록성)까지가 한 세트다.
Set the angles as ; the interior sum gives
— the angles are . Check: they total ✓ and all stay below , so a convex quadrilateral genuinely exists. Ratio problems end with that final audit — sum and convexity — not with finding "one part."
어떤 정다각형에서 한 외각의 크기가 한 내각의 크기의 이다. 이 정다각형은 몇각형인가?
In a certain regular polygon, each exterior angle is of each interior angle. How many sides does the polygon have?
내각과 외각의 합은 언제나 다.
An interior and exterior angle always total .
외각을 라 하면 내각은 이고, 둘은 평각을 이루므로
외각이 인 정다각형은
검산: 정십각형 내각 ✓. 내각·외각의 관계식(합 )이 비율 조건을 방정식 하나로 바꿨다.
Let the exterior angle be ; the interior is then , and together they form a straight angle:
A regular polygon with exterior angles has
Check: a regular decagon's interior angle is ✓. The straight-angle relation turned the ratio condition into a one-line equation.
볼록 육각형의 내각의 합이 임을, 한 꼭짓점에서 대각선을 그어 증명하여라.
Prove that the interior angles of a convex hexagon sum to , using diagonals from one vertex.
한 꼭짓점에서 대각선을 몇 개 그을 수 있고, 삼각형이 몇 개 생기는가?
How many diagonals leave one vertex, and how many triangles do they create?
볼록 육각형 에서 꼭짓점 를 고르고 대각선 , , 를 긋는다. 볼록성에 의해 세 대각선은 모두 내부를 지나며, 육각형은 겹침 없이 네 삼각형
로 나뉜다. 네 삼각형의 내각을 전부 모으면: 에서는 네 조각이 하나로 합쳐지고, ··에서는 두 조각씩이 그 꼭짓점의 내각으로 합쳐지며, 와 의 각은 그대로다 — 즉 정확히 육각형의 여섯 내각이 된다. 그러므로
채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점 — 예: 내부 한 점에서 여섯 삼각형으로 쪼개고 가운데 를 빼는 방법)
In convex hexagon , choose vertex and draw the diagonals , , . By convexity all three run through the interior, cutting the hexagon without overlap into four triangles:
Gather all their angles: at , four pieces reassemble into the single angle ; at , , , two pieces each merge into that vertex's interior angle; the angles at and stand unchanged — precisely the six interior angles of the hexagon, nothing more, nothing less. Hence
Rubric (any logically correct proof earns full credit — e.g. six triangles from an interior point, minus the central )
오각형의 네 내각이 , , , 일 때, 나머지 한 내각의 크기를 구하여라.
Four interior angles of a pentagon measure , , , and . Find the fifth.
오각형의 내각합은 이므로
검산: ✓, 이므로 볼록 오각형으로 성립한다.
A pentagon's interior angles total , so
Check: ✓, and keeps the pentagon convex.
바닥 타일을 한 종류의 정다각형으로만 깔아 빈틈도 겹침도 없이 채우려 한다(꼭짓점은 꼭짓점끼리 만난다).
(1) 정오각형 타일로는 불가능함을 설명하여라. (2) 한 꼭짓점에 정확히 세 장이 모이는 정다각형 타일은 무엇인가?
We want to tile a floor with copies of a single regular polygon — no gaps, no overlaps, vertices meeting vertices.
(1) Explain why regular pentagons cannot do it. (2) Which regular polygon tiles with exactly three copies meeting at each vertex?
한 꼭짓점에 모인 각들의 합이 정확히 여야 한다.
The angles gathered at one vertex must total exactly .
꼭짓점 하나에 타일 장이 모이면, 그 각들의 합이 빈틈도 겹침도 없이 정확히 여야 한다 — 즉 내각이 의 약수 구실을 해야 한다.
(1) 정오각형의 내각은 다. (틈 가 남고), (겹친다) — 어떤 장수로도 를 정확히 채울 수 없다. 그러므로 불가능하다.
(2) 세 장이 모이려면 내각이 — 내각 인 정다각형은 외각 , 즉 : 정육각형이다. (벌집이 정확히 이 답을 쓰고 있다.)
채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)
If tiles meet at a vertex, their angles must fill exactly — no gap, no overlap — so the interior angle must fit evenly into .
(1) A regular pentagon's interior angle is . Three tiles give (a gap remains); four give (overlap) — no count of tiles lands exactly on . Impossible.
(2) Three tiles meeting requires an interior angle of — that means an exterior angle of , so : the regular hexagon. (Honeycombs run on exactly this arithmetic.)
Rubric (any logically correct explanation earns full credit)
오각형의 다섯 내각이 공차가 인 등차수열을 이룬다. 가장 작은 내각의 크기를 구하여라.
The five interior angles of a pentagon form an arithmetic sequence with common difference . Find the smallest angle.
등차수열의 합은 (개수) × (가운데 항)이다.
An arithmetic sequence sums to (count) × (middle term).
다섯 각을 가운데 항 을 중심으로 로 쓰면, 이 상쇄되어 합은 이다:
가장 작은 각은 . 다섯 각은 — 검산: 합 ✓, 최대 라 볼록으로 성립 ✓.
홀수 개의 등차수열은 가운데 항이 곧 평균 — 짝짓기가 합을 한 번에 무너뜨린다. (가 정오각형의 내각인 것은 우연이 아니다 — 평균이 같으면 합이 같다.)
Write the five angles around the middle term : . The pairs cancel, so the sum is :
The smallest angle is , the five being — check: total ✓, maximum keeps it convex ✓.
An odd-length arithmetic sequence has its middle term as its average — pairing collapses the sum instantly. (That equals the regular pentagon's angle is no accident: equal averages, equal sums.)
볼록 다각형에서 예각( 미만)인 내각은 많아야 개임을 증명하여라.
Prove that a convex polygon has at most acute interior angles (angles under ).
내각이 예각이면 그 외각은 어떤 각인가? 외각의 합을 기억하라.
If an interior angle is acute, what kind of angle is its exterior angle? Remember what the exterior angles must total.
내각이 미만이면 그 꼭짓점의 외각은 에서 뺀 값이므로 보다 크다.
예각인 내각이 개 이상이라고 가정하자. 그러면 를 넘는 외각이 개 이상 있고, 볼록 다각형의 외각은 모두 양수이므로
그러나 외각의 합은 정확히 다 — 모순. 그러므로 예각인 내각은 많아야 개다.
(개는 실제로 가능하다 — 예각 셋을 가진 삼각형이 그 증인이고, 사각형에서도 가 성립한다. 검산: 합 ✓.)
채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)
If an interior angle is under , its exterior angle — the supplement — is greater than .
Suppose four or more interior angles were acute. Then four or more exterior angles would exceed , and since every exterior angle of a convex polygon is positive,
But the exterior angles sum to exactly — contradiction. Hence at most interior angles are acute.
(Three is genuinely achievable — any acute triangle is a witness, and quadrilaterals manage it too: , which sums to ✓.)
Rubric (any logically correct proof earns full credit)
한 내각의 크기가 **정수 도(°)**인 정다각형은 모두 몇 종류인가? (삼각형부터 센다.)
For how many regular polygons is each interior angle a whole number of degrees? (Count from triangles up.)
내각이 정수 ⟺ 외각이 정수 ⟺ 이 의 약수.
Integer interior ⟺ integer exterior ⟺ divides .
내각 이므로, 내각이 정수 외각 이 정수 이 의 약수다.
의 약수는 개. 다각형이 되려면 이어야 하므로 약수 과 를 제외하면
검산 — 경계 사례: (내각 ) ✓, (내각 ) ✓, 반면 은 이 정수가 아니라 탈락( ). 약수 개수 공식이 각도 문제의 마침표를 찍는다.
Since the interior angle is , it is an integer the exterior angle is divides .
The divisors of number . A polygon needs , so discard the divisors and :
Boundary checks: (interior ) ✓ and (interior ) ✓, while fails since isn't whole (interior ). The divisor-counting formula putting the period on an angle problem.
어떤 볼록 다각형에서 한 내각을 제외한 나머지 내각들의 합이 였다. 제외된 내각의 크기를 구하여라.
In a certain convex polygon, the interior angles minus one of them sum to . Find the excluded angle.
내각합은 의 배수이고, 빠진 각은 보다 크고 보다 작다.
The full sum is a multiple of , and the missing angle lies strictly between and .
전체 내각합을 , 빠진 각을 라 하면
즉 내각합은 보다 크되 보다 작은 의 배수 — 그 구간의 의 배수는 하나뿐이다(, , ).
이때 , 즉 십칠각형이다. 검산: ✓, ✓ — 볼록성 조건이 답을 유일하게 못 박았다. "의 배수"라는 구조적 사실과 "빠진 각의 범위"가 만나 을 몰라도 각이 먼저 나오는 문제다.
Write the full sum as and the missing angle as :
So the full sum is a multiple of strictly between and — and that window contains exactly one such multiple, (since , , ).
Then : a -gon. Check: ✓ and ✓ — convexity pinned the answer uniquely. The structural fact "multiples of " meets the range of the missing angle, and the angle emerges before does.
정오각형 에서 대각선 와 가 점 에서 만난다. 의 크기를 구하여라.
In regular pentagon , diagonals and meet at point . Find .
대각선이 잘라낸 삼각형들이 전부 이등변이다 — 정오각형의 변들이 같으므로.
The triangles the diagonals cut off are all isosceles — the pentagon's sides are equal.
정오각형의 내각은 다.
— 는 (정오각형의 변)인 이등변이고 꼭지각 이므로 밑각은
— 같은 논법으로 에서 이고,
의 내각합 —
검산 — 맞꼭지각 쪽에서: 인데, 대칭으로 사각형 쪽 각들과 정합적이다. 또 에서 — 즉 자체가 인 이등변이다(정오각형 대각선 교점들이 또 다른 정오각형과 황금비를 낳는 구조의 입구다).
"정다각형의 같은 변 → 이등변 → 밑각" — 각 추적의 표준 사슬이 대각선 교점각까지 데려다준다.
The regular pentagon's interior angle is .
— Triangle is isosceles with (sides of the pentagon) and apex , so each base angle is
— The same argument in gives , so
Angle sum in —
Check from the vertical angle: , consistent with the symmetric quadrilateral region. Also — triangle is itself isosceles with (the doorway to how a pentagon's diagonal intersections spawn another pentagon and the golden ratio).
"Equal sides of a regular polygon → isosceles → base angles" — the standard chase chain carries you all the way to a diagonal intersection angle.