이등변삼각형과 증명 연습Isosceles Triangles & Proof Practice

밑각 정리로 두 밑각이 같으므로 각각

검산: $70 + 55 + 55 = 180$ ✓.

By the Base Angles Theorem the base angles are equal, so each is

Check: $70 + 55 + 55 = 180$ ✓.

밑각 정리로 나머지 밑각도 $65°$이므로 꼭지각은 $180 - 65 - 65 = 50°$.

검산: $65 + 65 + 50 = 180$ ✓.

By the Base Angles Theorem the other base angle is also $65°$, so the apex is $180 - 65 - 65 = 50°$.

Check: $65 + 65 + 50 = 180$ ✓.

두 각이 같으므로 밑각 정리의 역(판정)에 의해 마주 보는 두 변이 같다 — $\angle B$의 대변은 $AC$, $\angle C$의 대변은 $AB$이므로 $AC = AB = 7$.

성질이 아니라 역을 썼다는 점을 확인하라 — 각에서 변으로 가는 방향이다.

The angles are equal, so by the converse (the test), the sides facing them are equal — $\angle B$ faces $AC$ and $\angle C$ faces $AB$, hence $AC = AB = 7$.

Note it was the converse at work, not the property — the direction runs from angles to sides.

$AB = AC$에서 $\angle B = \angle C$(밑각 정리), $BA = BC$에서 $\angle A = \angle C$(밑각 정리) — 세 각이 전부 같다. 내각합 $180°$를 셋이 똑같이 나누므로 각각 $60°$.

정삼각형을 이등변의 특수한 경우로 삼은 포함적 정의 덕에, 밑각 정리를 곧바로 두 번 빌려 쓸 수 있었다.

From $AB = AC$, $\angle B = \angle C$ (Base Angles Theorem); from $BA = BC$, $\angle A = \angle C$ — all three angles equal. The $180°$ sum splits three ways: $60°$ each.

The inclusive definition, making equilateral a special case of isosceles, is exactly what let the theorem be borrowed twice without ceremony.

밑각 정리로 $\angle C = \angle B = (3x + 10)°$. 내각합에서

$\angle A = 40°$, $\angle B = \angle C = 70°$.

검산: $40 + 70 + 70 = 180$ ✓.

By the Base Angles Theorem, $\angle C = \angle B = (3x + 10)°$. The angle sum gives

So $\angle A = 40°$ and $\angle B = \angle C = 70°$.

Check: $40 + 70 + 70 = 180$ ✓.

$\angle A$의 대변은 $BC$, $\angle B$의 대변은 $AC$다. 두 각이 같으므로 판정에 의해 대변끼리 같다:

$BC = 2(4) + 9 = 17$. 검산: $AC = 5(4) - 3 = 17$ — 일치 ✓.

같은 각 쌍이라도 어느 변이 마주 보는지를 짚는 것이 먼저다 — $\angle A = \angle B$이면 같아지는 건 $AB$가 아니라 $BC$와 $AC$다.

$\angle A$ faces $BC$ and $\angle B$ faces $AC$. Equal angles, so by the test the facing sides match:

$BC = 2(4) + 9 = 17$. Check: $AC = 5(4) - 3 = 17$ — agreed ✓.

First identify which sides face the equal angles — with $\angle A = \angle B$, the equal pair is $BC$ and $AC$, not $AB$.

밑각 정리로 $\angle ABC = \angle C = \frac{180 - 36}2 = 72°$, 이등분으로 $\angle ABD = \angle DBC = 36°$.

$\angle BDC$는 $\triangle ABD$의 $D$에서의 외각이므로 외각 정리로

검산: $\triangle BDC$에서 $36 + 72 + 72 = 180$ ✓.

덤으로 두 가지가 보인다 — $\triangle ABD$는 $\angle A = \angle ABD = 36°$라 $DA = DB$(판정), $\triangle BCD$는 $\angle C = \angle BDC = 72°$라 $BD = BC$(판정). $36°$-$72°$-$72°$ 삼각형은 이등분선 하나로 자기와 닮은 새끼 삼각형을 낳는다 — 정오각형과 황금비의 문 앞에 서 있는 도형이다.

By the Base Angles Theorem, $\angle ABC = \angle C = \frac{180 - 36}2 = 72°$; the bisector gives $\angle ABD = \angle DBC = 36°$.

$\angle BDC$ is an exterior angle of $\triangle ABD$ at $D$, so by the Exterior Angle Theorem

Check: in $\triangle BDC$, $36 + 72 + 72 = 180$ ✓.

Two bonuses surface — $\triangle ABD$ has $\angle A = \angle ABD = 36°$, so $DA = DB$ (the test); $\triangle BCD$ has $\angle C = \angle BDC = 72°$, so $BD = BC$ (the test again). The $36°$-$72°$-$72°$ triangle spawns a smaller copy of its own shape from a single bisector — a figure standing at the doorstep of the regular pentagon and the golden ratio.

본문의 거울 논법 — 이번에는 어느 조건인가?

The lesson's mirror argument — which criterion this time?

$\triangle ABC$와 $\triangle ACB$(같은 삼각형의 거울 읽기)를 비교한다.

$\blacksquare$

성질은 SAS 거울, 역은 ASA 거울 — 같은 발상이 두 방향을 다 처리한다.

채점 기준. ① 자기 자신과의 대응 설정(1점) ② ASA 재료 셋(반사성 포함)(1점) ③ 대응변 수확(1점). 꼭지각 이등분선 등 보조선 경로도 논리가 완전하면 만점.

Compare $\triangle ABC$ with $\triangle ACB$ (the same triangle, read in the mirror).

$\blacksquare$

The property used the SAS mirror; the converse uses the ASA mirror — one idea, both directions.

Grading. ① Sets up the self-correspondence (1 pt) ② assembles the three ASA ingredients, reflexivity included (1 pt) ③ harvests the sides (1 pt). Auxiliary-line routes (e.g. the apex bisector) earn full credit when complete.

$\triangle S_1S_2L$을 보면, $S_2$에서의 각 $2\alpha$는 이 삼각형의 외각이다(진행 방향 쪽으로 잰 각이므로). 외각 정리로

$\angle S_1 = \angle L = \alpha$이므로 밑각 정리의 역(판정)에 의해 마주 보는 변이 같다:

방금 항해한 거리(배의 속력 × 시간으로 안다)가 곧 등대까지의 거리다 — "배각법"이라 불리며 실제로 쓰여 온 항해술이다. 외각 정리가 각을 만들고, 판정이 거리를 내놓는다.

In $\triangle S_1S_2L$, the angle $2\alpha$ at $S_2$ is an exterior angle of the triangle (it is measured toward the direction of travel). By the Exterior Angle Theorem,

Since $\angle S_1 = \angle L = \alpha$, the converse of the Base Angles Theorem (the test) makes the facing sides equal:

The distance just sailed — known from speed and time — is the distance to the lighthouse. Sailors call this "doubling the angle on the bow," and it has served at sea for real. The Exterior Angle Theorem manufactures the angle; the test delivers the distance.

큰 삼각형의 밑각부터 — 그다음 작은 이등변삼각형의 밑각.

Base angles of the big triangle first — then base angles of the small isosceles one.

큰 삼각형에서 밑각 정리로 $\angle ABC = \angle ACB = \frac{180 - 20}2 = 80°$.

$\triangle BCD$는 $BC = BD$인 이등변삼각형이고 밑변이 $CD$이므로 $\angle BDC = \angle BCD = 80°$. 내각합으로

검산: $\angle ABD = \angle ABC - \angle DBC = 80 - 20 = 60°$, $\triangle ABD$에서 $20 + 60 + \angle ADB = 180 \implies \angle ADB = 100°$, 그리고 $\angle ADB + \angle BDC = 100 + 80 = 180°$ ✓ — $D$가 $AC$ 위의 점이라는 사실(선형쌍)과 정합.

이등변 두 채가 겹치면 밑각 정리를 번갈아 쓰게 된다 — 각 사냥의 표준 리듬이다.

In the big triangle, the Base Angles Theorem gives $\angle ABC = \angle ACB = \frac{180 - 20}2 = 80°$.

$\triangle BCD$ is isosceles with $BC = BD$ and base $CD$, so $\angle BDC = \angle BCD = 80°$. The angle sum gives

Check: $\angle ABD = 80 - 20 = 60°$; in $\triangle ABD$, $20 + 60 + \angle ADB = 180$ gives $\angle ADB = 100°$; and $\angle ADB + \angle BDC = 100 + 80 = 180°$ ✓ — consistent with $D$ lying on $AC$ (a linear pair).

When two isosceles triangles overlap, the Base Angles Theorem gets used in alternation — the standard rhythm of an angle chase.

A, C, D′ 세 점이 어떻게 놓이는가 — 그리고 삼각형 ABD′은 어떤 삼각형인가?

How do the points $A$, $C$, $D'$ line up — and what kind of triangle is $ABD'$?

안내대로 포개면 $E$는 $B$에, $F$는 $C$에 겹치고 $\triangle DEF$는 $\triangle D'BC$가 된다($D'B = DE$, $\angle BCD' = \angle F = 90°$).

1단계 — 일직선. $\angle ACB + \angle BCD' = 90 + 90 = 180°$이므로 $A$, $C$, $D'$은 한 직선 위에 있다(평각).

2단계 — 큰 이등변. $\triangle ABD'$에서 $BA = AB = DE = BD'$ — 두 빗변이 같으므로 이등변이다. 밑각 정리로 $\angle A = \angle D'$.

3단계 — 합동. $\triangle ABC$와 $\triangle D'BC$에서 $\angle A = \angle D'$, $\angle ACB = \angle D'CB = 90°$, $BC$ 공통(반사성) — AAS로 $\triangle ABC \cong \triangle D'BC$. 그런데 $\triangle D'BC$는 $\triangle DEF$를 그대로 옮긴 것이므로 $\triangle ABC \cong \triangle DEF$. $\blacksquare$

지난 차시에 "피타고라스로 갚겠다"던 빚을 밑각 정리가 먼저 갚았다 — 한 빚에 상환 경로가 둘이면 그 정리는 그만큼 튼튼히 얽혀 있는 것이다.

채점 기준. ① 평각 논증으로 $A$, $C$, $D'$ 일직선(1점) ② 빗변 두 개로 이등변 구성 + 밑각 정리(1점) ③ AAS 마무리(1점). 포개는 과정의 서술이 정확하면 형식은 자유.

After the move, $E$ lands on $B$ and $F$ on $C$, and $\triangle DEF$ becomes $\triangle D'BC$ (with $D'B = DE$ and $\angle BCD' = \angle F = 90°$).

Step 1 — collinear. $\angle ACB + \angle BCD' = 90 + 90 = 180°$, so $A$, $C$, $D'$ lie on one line (a straight angle).

Step 2 — a big isosceles triangle. In $\triangle ABD'$, $BA = AB = DE = BD'$ — the two hypotenuses are equal, so it is isosceles. The Base Angles Theorem gives $\angle A = \angle D'$.

Step 3 — congruence. In $\triangle ABC$ and $\triangle D'BC$: $\angle A = \angle D'$, $\angle ACB = \angle D'CB = 90°$, and $BC$ is shared (reflexivity) — AAS gives $\triangle ABC \cong \triangle D'BC$. And $\triangle D'BC$ is just $\triangle DEF$ relocated, so $\triangle ABC \cong \triangle DEF$. $\blacksquare$

The debt booked "payable by Pythagoras" got paid early by the Base Angles Theorem — and a theorem with two repayment routes is a theorem woven that much more tightly into the fabric.

Grading. ① The straight-angle argument putting $A$, $C$, $D'$ in a line (1 pt) ② the isosceles triangle from the two hypotenuses, plus the Base Angles Theorem (1 pt) ③ the AAS finish (1 pt). Any format with the relocation described precisely earns full credit.

$\angle B = \beta$로 놓고 이등변 세 채의 밑각을 전부 $\beta$로 표현해 보라 — 외각 정리가 다리를 놓는다.

Set $\angle B = \beta$ and express every base angle of all three isosceles triangles in terms of $\beta$ — the Exterior Angle Theorem builds the bridge.

$\angle B = \beta$라 하자. $AB = AC$이므로 $\angle C = \beta$(밑각 정리).

$\triangle ABD$에서 $AD = BD$이므로 $\angle BAD = \angle B = \beta$. 외각 정리로 $D$에서의 외각

$\triangle ACD$에서 $DC = CA$이므로 $\angle DAC = \angle ADC = 2\beta$(밑각 정리 — 밑변은 $AD$).

이제 $\angle A = \angle BAD + \angle DAC = \beta + 2\beta = 3\beta$이고, 내각합으로

검산: $\angle A = 108°$, $\angle ADB = 180 - 36 - 36 = 108°$, $\angle ADC = 72° = 2\beta$ ✓, $\triangle ACD$: $72 + 72 + 36 = 180$ ✓.

$36°$ — 정오각형의 각들이 숨어 있는 수다. 이등변 세 채가 맞물린 이 그림은 황금비가 사는 집이기도 한데, 그 이야기는 닮음에서 잇는다.

Let $\angle B = \beta$. Since $AB = AC$, $\angle C = \beta$ (Base Angles Theorem).

In $\triangle ABD$, $AD = BD$ gives $\angle BAD = \angle B = \beta$. The Exterior Angle Theorem at $D$ then gives

In $\triangle ACD$, $DC = CA$ gives $\angle DAC = \angle ADC = 2\beta$ (Base Angles Theorem, base $AD$).

Now $\angle A = \angle BAD + \angle DAC = \beta + 2\beta = 3\beta$, and the angle sum gives

Check: $\angle A = 108°$; $\angle ADB = 180 - 36 - 36 = 108°$; $\angle ADC = 72° = 2\beta$ ✓; in $\triangle ACD$, $72 + 72 + 36 = 180$ ✓.

$36°$ — the number where the regular pentagon's angles hide. This nest of three interlocking isosceles triangles is also where the golden ratio lives; that thread continues in similarity.

연장하는 순간 맞꼭지각 SAS가 보인다 — 그다음 이등변 판정이 마무리한다.

The moment you extend, a vertical-angle SAS appears — then the isosceles test closes the argument.

$M$은 $\overline{AC}$의 중점. $\overline{BM}$을 연장해 $MB' = BM$인 $B'$을 잡는다.

1단계. $\triangle AMB'$과 $\triangle CMB$에서 $AM = CM$(중점), $MB' = MB$(설계), $\angle AMB' = \angle CMB$(맞꼭지각) — SAS로 $\triangle AMB' \cong \triangle CMB$. 대응 부분에서

2단계. 가정에서 $\angle ABM = \angle CBM$이므로 $\angle ABM = \angle AB'M$ — 즉 $\triangle ABB'$에서 두 각($\angle ABB'$과 $\angle AB'B$)이 같다. 밑각 정리의 역으로

3단계. 1단계의 $AB' = CB$와 이으면 $AB = CB$. $\blacksquare$

중선을 두 배로 늘이기 — 중점이 보이면 그 너머로 복제해 맞꼭지각 SAS를 여는 이 수법은, 이름을 붙여 도구함에 넣어 둘 가치가 있다. 다음 단원(삼각형의 성질)에서도 여러 번 꺼내 쓴다.

채점 기준. ① 연장 구성과 SAS 합동(1점) ② 이등분 가정과 대응각을 이어 $\triangle ABB'$이 이등변임을 판정(1점) ③ 등식 연결로 결론(1점).

$M$ is the midpoint of $\overline{AC}$. Extend $\overline{BM}$ to $B'$ with $MB' = BM$.

Step 1. In $\triangle AMB'$ and $\triangle CMB$: $AM = CM$ (midpoint), $MB' = MB$ (by construction), $\angle AMB' = \angle CMB$ (vertical angles) — SAS gives $\triangle AMB' \cong \triangle CMB$. From corresponding parts,

Step 2. The hypothesis says $\angle ABM = \angle CBM$, so $\angle ABM = \angle AB'M$ — in $\triangle ABB'$, two angles ($\angle ABB'$ and $\angle AB'B$) are equal. By the converse of the Base Angles Theorem,

Step 3. Chain with Step 1's $AB' = CB$ to get $AB = CB$. $\blacksquare$

Doubling the median — when a midpoint appears, clone past it and unlock a vertical-angle SAS. The move deserves a name and a permanent spot in the toolbox; the next unit (triangle properties) will reach for it repeatedly.

Grading. ① The extension construction and the SAS congruence (1 pt) ② links the bisection hypothesis to the corresponding angle, certifying $\triangle ABB'$ isosceles (1 pt) ③ chains the equalities to the conclusion (1 pt).