넓이의 비와 테크닉Area Ratios & Techniques

세로로 두 토막 내 더해도 같다 — 빼기와 쪼개기는 언제나 같은 답에 이른다(분할 가산).

Splitting into two vertical slabs and adding gives the same — subtracting and dissecting always agree (additivity).

곡선이 껴도 빼기는 그대로다 — 사분원 넓이만 정확히 세면 된다.

Curves change nothing about subtraction — only the quarter circle needs counting.

$\overline{AD}$는 중선 — 밑변을 반씩 나누고 높이는 공통이므로 넓이도 반:

밑변 비 $=$ 넓이 비의 가장 기본 사용법이다.

$\overline{AD}$ is a median — half the base, shared height, half the area:

The most basic use of base ratio $=$ area ratio.

이등변의 축이 밑변 $6$을 이등분하므로 높이는 $\sqrt{5^2 - 3^2} = 4$:

내접원은 두 방법 공식으로:

검산: $\frac12 \times \frac32 \times 16 = 12$ ✓. 높이는 피타고라스가, 반지름은 넓이 등식이 — 길이 두 개를 서로 다른 무기가 낚았다.

The isosceles axis bisects the base $6$, so the height is $\sqrt{5^2 - 3^2} = 4$:

The incircle comes from the measure-twice formula:

Check: $\frac12 \times \frac32 \times 16 = 12$ ✓. Pythagoras fished out the height, the area equation fished out the radius — two lengths, two different weapons.

중심을 기준으로 $180°$ 회전을 생각하자. 원은 자기 자신에 포개지고, S자 경계(반원 두 개)도 — 위 반원이 아래 반원으로, 아래가 위로 — 자기 자신에 포개진다. 그 회전이 두 조각을 서로 맞바꾸므로 두 조각은 합동이고, 넓이는 각각 절반:

곡선 조각의 넓이를 단 한 번도 재지 않았다 — 대칭이 계산을 통째로 대신한 것이다. 경계가 아무리 복잡해도, "회전이 도형과 경계를 함께 보존하는가"만 확인하면 된다.

Consider the $180°$ rotation about the center. The circle maps to itself, and so does the S-boundary — the upper semicircle onto the lower, the lower onto the upper. The rotation swaps the two pieces, so they are congruent, each half the circle:

No curved area was ever measured — symmetry did the entire computation. However intricate the boundary, one question suffices: does the rotation preserve both the figure and the cut?

$\overline{DE} \parallel \overline{BC}$이므로 $\triangle ADE \sim \triangle ABC$이고 닮음비는 $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac23$:

비율($k^2$)과 빼기의 2단 조합 — 넓이 문제의 가장 흔한 리듬이다. 검산: $20 : 25 = 4 : 5$, 즉 $4 : (9-4)$ ✓.

Since $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$, we have $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ with ratio $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac23$:

Ratio ($k^2$) then subtraction — the most common two-beat rhythm in area problems. Check: $20 : 25 = 4 : 5$, i.e. $4 : (9-4)$ ✓.

사분원 네 개는 합쳐서 완전한 원 하나($\frac14 \times 4 = 1$)와 같고, 반지름 $2$끼리는 서로 겹치지 않는다(이웃 중심 사이 거리 $4 = 2 + 2$ — 닿기만 한다):

"조각들이 겹치는가"의 확인이 빼기의 전제 조건이다 — 겹치면 포함–배제로 넘어가야 한다.

The four quarter circles amount to one full circle ($\frac14 \times 4 = 1$), and radius-$2$ pieces never overlap (adjacent centers are $4 = 2 + 2$ apart — they only touch):

Checking for overlap is subtraction's precondition — with overlap, inclusion–exclusion takes over.

같은 넓이를 두 밑변으로 재면:

긴 변일수록 높이는 짧다 — 곱이 $60$으로 고정돼 있기 때문이다. 넓이 하나가 (밑변, 높이) 쌍 두 벌을 관리한다.

Measure the same area on each base:

The longer base carries the shorter height — their product is pinned at $60$. One area manages both (base, height) pairs.

비율을 두 번 — 먼저 $D$로, 다음 $E$로.

Ratio twice — first through $D$, then through $E$.

1단 — $D$. $\triangle ADC$와 $\triangle ABC$는 높이(꼭짓점 $A$)를 공유하고 밑변 비가 $DC : BC = 2 : 3$:

2단 — $E$. $\triangle ADE$와 $\triangle ADC$는 꼭짓점 $D$를 공유하고 밑변 $\overline{AE}$, $\overline{AC}$가 한 직선 위 — 비 $1 : 2$:

비율 무기를 두 변에서 연달아 — 좌표도 길이도 없이 넓이가 확정된다. 나누는 점들의 비만이 정보의 전부다.

Step 1 — $D$. $\triangle ADC$ and $\triangle ABC$ share the height from $A$ with base ratio $DC : BC = 2 : 3$:

Step 2 — $E$. $\triangle ADE$ and $\triangle ADC$ share the vertex $D$, with bases $\overline{AE}$, $\overline{AC}$ on one line — ratio $1 : 2$:

The ratio weapon fired twice on two different sides — no coordinates, no lengths, and the area is pinned. The splitting ratios are the entire information content.

반원 네 개의 합은 정사각형을 덮고, 꽃잎은 정확히 두 번씩 세어진다.

The four semicircles cover the square, with the petals counted exactly twice.

반원 네 개(반지름 $3$)의 넓이 합은

네 반원은 정사각형 전체를 덮는데, 꽃잎 부분만 두 반원에 속해 두 번 세어진다. 그러므로

(덮음의 근거: 정사각형 안 임의의 점은 중심에서 어느 변까지의 거리 중 최소가 $3$ 이하 — 가장 가까운 변의 반원 안에 든다.)

포함–배제가 곡선 네 개를 한 줄로 정리했다 — 겹침이 목적일 때는 "합 $-$ 전체"가 곧 답이다.

The four semicircles (radius $3$) total

They cover the square entirely, and only the petals belong to two semicircles — counted twice. Hence

(Why they cover: any interior point's least distance to a side is at most $3$, putting it inside the nearest side's semicircle.)

Inclusion–exclusion tidies four curves into one line — when the overlap is the target, "sum $-$ whole" is the answer itself.

정육각형에서 $\triangle ACE$를 빼면 어떤 조각 세 개가 남는가?

Remove $\triangle ACE$ from the hexagon — what three pieces remain?

정육각형에서 $\triangle ACE$를 빼면 모서리 삼각형 세 개($\triangle ABC$, $\triangle CDE$, $\triangle EFA$)가 남는다. 각각은 두 변이 $2$, 끼인각이 내각 $120°$인 이등변:

정육각형 전체는 $6 \times \dfrac{\sqrt3}{4} \times 4 = 6\sqrt3$이므로

검산 — 직접: $\triangle ACE$는 한 변이 $2\sqrt3$(내각 $120°$ 꼭짓점을 낀 이등변의 밑변 $= 2 \times 2\sin 60°$)인 정삼각형, 넓이 $\dfrac{\sqrt3}{4} \times 12 = 3\sqrt3$ ✓. 빼기와 직접 계산이 만난다 — 정육각형에 숨은 정삼각형은 정확히 절반을 가져간다.

Removing $\triangle ACE$ leaves three corner triangles ($\triangle ABC$, $\triangle CDE$, $\triangle EFA$), each isosceles with sides $2$, $2$ and included interior angle $120°$:

The hexagon totals $6 \times \dfrac{\sqrt3}{4} \times 4 = 6\sqrt3$, so

Check directly: $\triangle ACE$ is equilateral with side $2\sqrt3$ (the base of a $120°$ isosceles corner $= 2 \times 2\sin 60°$), area $\dfrac{\sqrt3}{4} \times 12 = 3\sqrt3$ ✓. Subtraction and direct computation agree — the equilateral triangle hidden in a hexagon claims exactly half.

꼭짓점과 중점을 잇는 선분의 길이는 $3\sqrt5$ — 그 선분을 빗변으로 보면 $h = \frac{ab}{c}$가 보인다.

Each vertex-to-midpoint segment has length $3\sqrt5$ — treat it as a hypotenuse and $h = \frac{ab}{c}$ appears.

꼭짓점–중점 선분은 다리가 $6$, $3$인 직각삼각형의 빗변으로 길이 $\sqrt{36 + 9} = 3\sqrt5$다.

이웃한 두 선분은 수직이다(한 선분의 기울기가 $\frac12$꼴, 다음 것이 $-2$꼴 — 방향이 $90°$ 회전 관계). 가운데 정사각형의 한 변은, 한 선분 위에서 이웃 선분 두 개가 잘라내는 조각이다.

다리 $6$, $3$, 빗변 $3\sqrt5$인 직각삼각형에서 직각 꼭짓점의 수선 $h = \dfrac{ab}{c} = \dfrac{6 \times 3}{3\sqrt5} = \dfrac{6}{\sqrt5}$ — 평행한 두 이웃 선분 사이 간격이 바로 이 값이고, 그것이 작은 정사각형의 한 변이다:

검산 — 좌표로: $(0,0)$–$(6,3)$과 $(0,6)$–$(3,0)$의 교점 $(2.4, 1.2)$, $(0,0)$–$(6,3)$과 $(6,0)$–$(3,6)$의 교점 $(4.8, 2.4)$ 사이 거리의 제곱 $= 5.76 + 1.44 = 7.2$ ✓.

전체의 $\dfrac{7.2}{36} = \dfrac15$ — 넷으로 잘린 나머지 조각들을 옮겨 붙이면 같은 정사각형 넉 장이 더 나오는, 다섯 등분의 명작이다.

A vertex-to-midpoint segment is the hypotenuse over legs $6$ and $3$: length $\sqrt{36 + 9} = 3\sqrt5$.

Adjacent segments are perpendicular (slopes of the form $\frac12$ and $-2$ — directions a $90°$ rotation apart). The central square's side is the piece cut from one segment by its two neighbors.

In the right triangle with legs $6$, $3$ and hypotenuse $3\sqrt5$, the altitude from the right angle is $h = \dfrac{ab}{c} = \dfrac{6 \times 3}{3\sqrt5} = \dfrac{6}{\sqrt5}$ — exactly the gap between two parallel neighboring segments, which is the small square's side:

Check by coordinates: $(0,0)$–$(6,3)$ meets $(0,6)$–$(3,0)$ at $(2.4, 1.2)$ and meets $(6,0)$–$(3,6)$ at $(4.8, 2.4)$; the squared distance is $5.76 + 1.44 = 7.2$ ✓.

That is $\dfrac{7.2}{36} = \dfrac15$ of the whole — a masterpiece of five-part dissection: the four leftover pieces reassemble into four more copies of the central square.

평행사변형은 중심에 대해 점대칭이다 — S자 목장 문제의 논증을 재사용하라.

A parallelogram is point-symmetric about its center — reuse the S-curve pasture argument.

이등분 증명. 평행사변형은 중심 $O$(대각선의 교점)에 대한 $180°$ 회전으로 자기 자신에 포개진다 — 각 꼭짓점이 맞은편 꼭짓점으로 가기 때문이다(대각선이 서로를 이등분한다는 성질 그 자체).

$O$를 지나는 직선 $\ell$도 이 회전으로 자기 자신에 포개진다($O$ 중심 회전은 $O$ 지나는 직선을 보존). 그러므로 회전은 $\ell$이 가른 두 조각을 서로 맞바꾼다 — 두 조각은 합동이고 넓이가 같다. $\blacksquare$

케이크 문제. 케이크의 중심과 초콜릿의 중심을 잇는 직선으로 자르면 된다. 그 직선은 두 중심을 모두 지나므로, 방금의 정리에 의해 케이크도 초콜릿도 각각 이등분된다. (두 중심이 일치하면 그 점을 지나는 아무 직선이나 된다.)

계산이 단 한 번도 없다 — 점대칭 하나가 도형 두 개를 동시에 처리한다. 초콜릿이 케이크의 어디에 어떤 각도로 놓여 있어도 통하는 것이 이 풀이의 힘이다.

채점 기준 (논리가 맞는 다른 풀이도 만점)

• 평행사변형의 점대칭($180°$ 회전) 근거 (1점)
• 직선 보존 → 두 조각 합동 논증 (1점)
• 두 중심을 잇는 직선으로 케이크 문제 해결 (1점)

The bisection proof. A parallelogram coincides with itself under the $180°$ rotation about its center $O$ (the diagonals' intersection) — each vertex maps to the opposite one, which is exactly the diagonals-bisect-each-other property.

Any line $\ell$ through $O$ also maps to itself under this rotation (a rotation about $O$ preserves lines through $O$). The rotation therefore swaps the two pieces $\ell$ creates — congruent pieces, equal areas. $\blacksquare$

The cake. Cut along the line joining the cake's center to the chocolate's center. That line passes through both centers, so by the theorem it bisects the cake and the chocolate simultaneously. (If the centers coincide, any line through the common point works.)

Not one computation — a single point symmetry handles two figures at once. And it works wherever the chocolate sits, at any angle: that indifference is the argument's power.

Rubric (any logically correct proof earns full credit)

• The parallelogram's point symmetry ($180°$ rotation) justified (1 pt)
• Line preserved → pieces congruent (1 pt)
• The two-centers line solving the cake problem (1 pt)